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Fiche d'exercices Logimaths

Fonction inverse

Limites et fonctions de type inverse : Niveau Terminale Techno.

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Exercice 1 : Limites de la fonction inverse

On donne f(x) = \dfrac1x.
  1. Calculer \displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x) et \displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x).
  2. Calculer \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x).
Voir la correction
a)\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac1x = \mathbf{+\infty}.   \displaystyle\lim_{x\to0^-}\dfrac1x = \mathbf{-\infty}.
b)\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac1x = \mathbf{0}.

Exercice 2 : Fonction de type inverse translatée

On donne g(x) = \dfrac{3}{x-2}+1.
  1. Déterminer l'ensemble de définition de g.
  2. Calculer g(5).
Voir la correction
a)Il faut x-2\neq0, soit x\neq2 : D_g = \mathbf{\mathbb R\setminus\{2\}}.
b)\begin{aligned}g(5) &= \dfrac{3}{3}+1 \\ &= 1+1 \\ &= \mathbf{2}\end{aligned}

Exercice 3 : Sens de variation et asymptotes

On considère la fonction h(x) = \dfrac{4}{x-1}-2, définie sur D_h = \mathbb R\setminus\{1\}.
  1. Justifier que h est bien définie sur D_h.
  2. Calculer \displaystyle\lim_{x\to1^+}h(x) et \displaystyle\lim_{x\to1^-}h(x). En déduire une asymptote.
  3. Calculer \displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x) et \displaystyle\lim_{x\to-\infty}h(x). En déduire une autre asymptote.
  4. Donner, sans calcul de dérivée, le sens de variation de h sur chacun des deux intervalles de D_h (on justifiera à partir des propriétés de la fonction inverse).
Voir la correction
a)h(x) existe si et seulement si x-1\neq0, c'est-à-dire x\neq1. On a bien D_h=\mathbb{R}\setminus\{1\}.
b)Quand x\to1^+, x-1\to0^+ donc {\dfrac{4}{x-1}\to+\infty}, donc \displaystyle\lim_{x\to1^+}h(x)=\mathbf{+\infty}. Quand x\to1^-, x-1\to0^- donc \dfrac{4}{x-1}\to-\infty, donc \displaystyle\lim_{x\to1^-}h(x)=\mathbf{-\infty}. La droite x=1 est donc asymptote verticale à la courbe de h.
c)Quand x\to\pm\infty, x-1\to\pm\infty donc \dfrac{4}{x-1}\to0, donc \begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x) &= \displaystyle\lim_{x\to-\infty}h(x) \\ &= \mathbf{-2}\end{aligned} La droite y=-2 est donc asymptote horizontale à la courbe de h, en +\infty comme en -\infty.
d)h(x)=\dfrac{4}{x-1}-2 s'obtient à partir de la fonction inverse \dfrac1X (avec X=x-1) multipliée par 4>0, puis translatée de -2. Multiplier par un nombre positif ne change pas le sens de variation, donc h a le même sens de variation que la fonction inverse : h est strictement décroissante sur ]-\infty;1[ et strictement décroissante sur ]1;+\infty[ (et non décroissante sur D_h tout entier, puisque ce n'est pas un intervalle).

Exercice 4 : Dérivée d'une fonction du type 1/u

On considère les fonctions p(x) = \dfrac{1}{x^2+3} définie sur \mathbb R, et q(x) = \dfrac{1}{2x-6} définie sur D_q=\mathbb R\setminus\{3\}.
  1. Calculer p'(x) à l'aide de la formule \left(\dfrac1u\right)'=-\dfrac{u'}{u^2}.
  2. En déduire le signe de p'(x) et le sens de variation de p sur \mathbb R.
  3. Calculer q'(x) sur chacun des intervalles de D_q.
Voir la correction
a)On pose u(x)=x^2+3, donc u'(x)=2x. Comme u ne s'annule jamais sur \mathbb R (car {x^2+3\geqslant3>0}), on peut appliquer la formule : p'(x)=-\dfrac{2x}{(x^2+3)^2}.
b)Le dénominateur (x^2+3)^2 est toujours strictement positif. Le signe de p'(x) est donc l'opposé du signe de 2x : p'(x)>0 pour x<0 et p'(x)<0 pour x>0. Donc p est strictement croissante sur ]-\infty;0] et strictement décroissante sur [0;+\infty[, avec un maximum en x=0 valant p(0)=\dfrac13.
c)On pose u(x)=2x-6, donc u'(x)=2. Sur chaque intervalle de D_q : q'(x)=-\dfrac{2}{(2x-6)^2}. Cette dérivée est strictement négative pour tout x\neq3, donc q est strictement décroissante sur ]-\infty;3[ et sur ]3;+\infty[.

Exercice 5 : Vrai/Faux : bien maîtriser les propriétés

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier. On rappelle que f(x)=\dfrac1x est la fonction inverse.
  1. La fonction inverse est décroissante sur \mathbb R^*.
  2. Pour tout x>0, on a f(x)>0.
  3. \displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=+\infty.
  4. La courbe de f admet l'origine O comme centre de symétrie.
  5. Si u est dérivable et strictement positive sur I, alors \dfrac1u est strictement décroissante sur I si u est strictement croissante sur I.
Voir la correction
1.Faux. \mathbb R^* n'est pas un intervalle : f est décroissante sur chacun des intervalles {]-\infty;0[} et ]0;+\infty[, mais pas globalement (contre-exemple : f(-1)=-1<f(1)=1 alors que -1<1, ce qui contredirait une décroissance globale).
2.Vrai. Si x>0, alors \dfrac1x est aussi strictement positif (l'inverse d'un nombre strictement positif est strictement positif).
3.Faux. La limite à droite est +\infty mais la limite à gauche est -\infty : les deux limites étant différentes, f n'a pas de limite (globale) en 0.
4.Vrai. Pour tout x\neq0, \begin{aligned}f(-x) &= \dfrac{1}{-x} \\ &= -\dfrac1x \\ &= -f(x)\end{aligned} f est impaire, donc sa courbe est symétrique par rapport à O.
5.Vrai. D'après la formule \left(\dfrac1u\right)'=-\dfrac{u'}{u^2}, si u est strictement croissante alors u'>0, et comme u^2>0 (car u ne s'annule pas), on a -\dfrac{u'}{u^2}<0 : donc 1/u est strictement décroissante sur I. C'est le principe général de « composition avec l'inverse qui renverse le sens de variation ».

Exercice 6 : Lecture graphique

On donne ci-dessous la courbe représentative \mathcal C d'une fonction r définie sur \mathbb R\setminus\{-1\}, obtenue à partir de la fonction inverse par translation.
x y x=-1 y=0

Courbe de r : asymptote verticale en x=-1, asymptote horizontale en y=0.

  1. Par lecture graphique, donner \displaystyle\lim_{x\to-1^+}r(x) et \displaystyle\lim_{x\to-1^-}r(x).
  2. Donner l'équation de l'asymptote horizontale visible sur le graphique.
  3. Sachant que r(x)=\dfrac{a}{x+1} pour un certain réel a, et que la courbe passe par le point (0\,;\,2), déterminer a.
Voir la correction
a)D'après le graphique, la branche de droite (pour x>-1) monte vers +\infty quand {x\to-1^+} : \displaystyle\lim_{x\to-1^+}r(x)=\mathbf{+\infty}. La branche de gauche (pour x<-1) descend vers -\infty quand {x\to-1^-} : \displaystyle\lim_{x\to-1^-}r(x)=\mathbf{-\infty}.
b)Les deux branches se rapprochent de l'axe des abscisses aux extrémités : l'asymptote horizontale est la droite \mathbf{y=0}.
c)La courbe passe par (0\,;\,2) donc r(0)=2, soit \dfrac{a}{0+1}=2, donc a=\mathbf{2}. On a donc {r(x)=\dfrac{2}{x+1}} (ce qui est cohérent avec une branche positive pour x>-1, comme observé sur le graphique).

Exercice 7 : Sujet type bac : coût moyen de production

Une entreprise fabrique un objet artisanal. Pour une production de x centaines d'objets (x>0), le coût total de fabrication, en centaines d'euros, est modélisé par {C(x) = x + 4 + \dfrac{9}{x}}. Le coût moyen par centaine d'objets est M(x)=\dfrac{C(x)}{x}.

Partie A : Étude du coût total C

  1. Calculer C'(x) pour x>0 (on utilisera la formule de dérivée de 1/x).
  2. Étudier le signe de C'(x) sur ]0;+\infty[ (on pourra mettre C'(x) au même dénominateur et étudier le signe du numérateur, une expression du second degré).
  3. En déduire le tableau de variation de C sur ]0;+\infty[, et donner le coût minimal.

Partie B : Comportement asymptotique

  1. Calculer \displaystyle\lim_{x\to0^+}C(x).
  2. Montrer que la droite \Delta d'équation {y=x+4} est asymptote oblique à la courbe de C en +\infty (on montrera que {C(x)-(x+4)\to0}).

Partie C : Interprétation économique

  1. Pour quelle quantité produite (en nombre d'objets) le coût total est-il minimal ? Quel est ce coût minimal en euros ?
  2. Calculer M(3) puis expliquer, sans calcul supplémentaire, pourquoi {M(x)=1+\dfrac4x+\dfrac9{x^2}}.
Voir la correction

Partie A

a)C(x)=x+4+\dfrac9x. La dérivée de x est 1, celle de la constante 4 est 0, et celle de {\dfrac9x=9\times\dfrac1x} est 9\times\left(-\dfrac1{x^2}\right)=-\dfrac9{x^2}. Donc {C'(x)=1-\dfrac{9}{x^2}}.
b)On met au même dénominateur : \begin{aligned}C'(x) &= \dfrac{x^2-9}{x^2} \\ &= \dfrac{(x-3)(x+3)}{x^2}\end{aligned} Sur ]0;+\infty[, x^2>0 et x+3>0, donc le signe de C'(x) est celui de x-3 : C'(x)<0 sur ]0;3[ et C'(x)>0 sur ]3;+\infty[, avec C'(3)=0.
c)C est donc strictement décroissante sur ]0;3] puis strictement croissante sur [3;+\infty[. Le minimum est atteint en x=3 : \begin{aligned}C(3) &= 3+4+\dfrac93 \\ &= 3+4+3 \\ &= \mathbf{10}\end{aligned} (soit 1000 €, car C est exprimé en centaines d'euros).

Partie B

a)Quand x\to0^+, \dfrac9x\to+\infty et x+4\to4, donc par somme \displaystyle\lim_{x\to0^+}C(x)=\mathbf{+\infty}.
b)C(x)-(x+4)=\dfrac9x. Or \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac9x=0, donc {C(x)-(x+4)\to0} quand x\to+\infty : la courbe de C se rapproche donc indéfiniment de la droite \Delta:y=x+4, qui est bien asymptote oblique en +\infty.

Partie C

a)Le coût est minimal pour x=3 centaines d'objets, soit 300 objets, pour un coût minimal de C(3)=10 centaines d'euros, soit 1000 €.
b)\begin{aligned}M(3) &= \dfrac{C(3)}{3} \\ &= \dfrac{10}{3} \\ &\approx 3{,}33\end{aligned} (centaines d'euros par centaine d'objets). De plus, \begin{aligned}M(x) &= \dfrac{C(x)}{x} \\ &= \dfrac{x+4+\frac9x}{x} \\ &= \dfrac{x}{x}+\dfrac{4}{x}+\dfrac{9}{x^2} \\ &= 1+\dfrac4x+\dfrac9{x^2}\end{aligned} en divisant chaque terme du numérateur par x.

Fiche d'exercices rédigée par Logimaths.