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Fiche d'exercices Logimaths

Fonction logarithme népérien

Simplifier, résoudre, dériver, étudier une fonction : Niveau Terminale Générale.

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Exercice 1 : Simplifier une expression logarithmique

  1. Rappeler les valeurs de \ln(e), \ln(1) et \ln\left(\dfrac1e\right).
  2. Simplifier A = \ln(e^3) - \ln\left(\dfrac1e\right) + \ln(1).
Voir la correction
a)\ln(e)=1, \ln(1)=0, \begin{aligned}\ln\left(\dfrac1e\right) &= \ln(e^{-1}) \\ &= -1\end{aligned}
b)\begin{aligned}A &= 3-(-1)+0 \\ &= \mathbf{4}\end{aligned}

Exercice 2 : Équation, domaine et dérivée

  1. Résoudre l'équation \ln(x-1)=2.
  2. Déterminer le domaine de définition de g(x) = \ln(3x+2).
  3. Calculer g'(x).
Voir la correction
a)\begin{aligned}\ln(x-1) &= 2 \\ &\Leftrightarrow x-1 = e^2 \\ &\Leftrightarrow x = \mathbf{e^2+1}\end{aligned}
b)Il faut 3x+2>0, soit x>-\dfrac23 : {D_g = \mathbf{\left]-\dfrac23\,;+\infty\right[}}.
c)g'(x) = \mathbf{\dfrac{3}{3x+2}}.

Exercice 3 : Étude d'une fonction avec ln

On considère la fonction {f(x) = \ln(x^2-4x+5)}.

  1. Montrer que f est définie sur \mathbb R tout entier.
  2. Calculer f'(x) et étudier son signe.
  3. Dresser le tableau de variations de f et donner son minimum.
Voir la correction
a)Le trinôme u(x)=x^2-4x+5 a pour discriminant \Delta = (-4)^2-4\times1\times5 = 16-20=-4<0. Comme \Delta<0 et que le coefficient dominant est positif, u(x)>0 pour tout réel x. Donc D_f=\mathbf{\mathbb R}.
b)Avec u(x)=x^2-4x+5 et u'(x)=2x-4, on a \begin{aligned}f'(x) &= \dfrac{u'(x)}{u(x)} \\ &= \mathbf{\dfrac{2x-4}{x^2-4x+5}}\end{aligned} Le dénominateur étant toujours strictement positif, f'(x) est du signe de 2x-4 : négatif sur ]-\infty;2[, nul en x=2, positif sur ]2;+\infty[.
c)f est donc décroissante sur ]-\infty;2] et croissante sur [2;+\infty[. Le minimum est atteint en x=2 : \begin{aligned}f(2) &= \ln(4-8+5) \\ &= \ln(1) \\ &= \mathbf{0}\end{aligned} Aux bornes, u(x)\to+\infty quand x\to\pm\infty, donc f(x)\to+\infty des deux côtés.

Exercice 4 : Vrai ou faux : bien connaître le domaine et les propriétés

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant.

  1. \ln(-3) est un nombre réel.
  2. Pour tous réels a>0 et b>0, {\ln(a+b)=\ln a+\ln b}.
  3. La fonction \ln est strictement croissante sur ]0;+\infty[.
  4. \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0.
  5. L'équation \ln(x)=-1 admet pour unique solution x=\dfrac1e.
Voir la correction
1.Faux. \ln est définie uniquement sur ]0;+\infty[ ; comme -3\leqslant0, \ln(-3) n'existe pas.
2.Faux. La propriété correcte est {\ln(ab)=\ln a+\ln b} (produit, pas somme). Contre-exemple : \begin{aligned}\ln(1+1) &= \ln2 \\ &\approx 0{,}693\end{aligned} alors que \ln1+\ln1=0.
3.Vrai. C'est une propriété fondamentale de \ln, cohérente avec (\ln x)'=\dfrac1x>0 sur tout le domaine.
4.Vrai. C'est le théorème des croissances comparées : à l'infini, x l'emporte sur \ln x.
5.Vrai. \begin{aligned}\ln(x) = -1 &\iff x = e^{-1} \\ &\iff x = \dfrac1e\end{aligned} et cette valeur est bien strictement positive donc valide.

Exercice 5 : Lecture graphique et algorithme Python

On donne ci-dessous l'allure de la courbe représentative de f(x)=\ln x sur ]0;+\infty[.

(1;0)

Courbe de f(x)=\ln x, strictement croissante sur ]0;+\infty[.

  1. Par lecture graphique, donner le signe de f(x) selon les valeurs de x.
  2. On exécute l'algorithme Python suivant. Que renvoie-t-il ? Interpréter le résultat.
import math

n = 1
while math.log(n) < 5:
    n = n + 1
print(n)
Voir la correction
a)D'après la courbe (et la propriété du cours), f(x)<0 sur ]0;1[, f(1)=0, et {f(x)>0} sur ]1;+\infty[.
b)La boucle incrémente n tant que \ln(n)<5 : l'algorithme cherche donc le plus petit entier n tel que \ln(n)\geqslant5. Or \begin{aligned}\ln(n) \geqslant 5 &\iff n \geqslant e^5 \end{aligned} et e^5\approx148{,}41. On vérifie : \ln(148)\approx4{,}997<5 et \begin{aligned}\ln(149) &\approx 5{,}004 \\ &\geqslant 5\end{aligned} L'algorithme renvoie donc \mathbf{n=149}.

Exercice 6 : Problème type Bac : étude complète et tangente

Partie A. On considère la fonction g définie sur ]0;+\infty[ par g(x)=x-1-\ln x.

  1. Étudier les variations de g sur ]0;+\infty[.
  2. En déduire le signe de g(x) pour tout {x>0}.

Partie B. On considère la fonction f définie sur ]0;+\infty[ par f(x)=\ln x-x+2, de courbe représentative \mathcal C_f.

  1. Déterminer les limites de f en 0 et en +\infty.
  2. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations.
  3. Montrer que l'équation {f(x)=0} admet exactement deux solutions sur ]0;+\infty[.

Partie C. On note T la tangente à \mathcal C_f au point d'abscisse 1.

  1. Déterminer une équation de T.
  2. En utilisant la partie A, étudier la position de \mathcal C_f par rapport à T.
Voir la correction : Partie A
1.\begin{aligned}g'(x) &= 1-\dfrac1x \\ &= \dfrac{x-1}{x}\end{aligned} Comme {x>0}, g'(x) est du signe de x-1 : g décroît sur ]0;1] et croît sur [1;+\infty[.
2.g admet donc un minimum en {x=1}, qui vaut \begin{aligned}g(1) &= 1-1-\ln1 \\ &= 0\end{aligned} Ainsi g(x)\geqslant0 pour tout {x>0}, c'est-à-dire \mathbf{x-1\geqslant\ln x}, avec égalité uniquement en {x=1}.
Voir la correction : Partie B
1.Quand x\to0,x>0 : \ln x\to-\infty et {-x+2\to2}, donc \lim_{x\to0}f(x)=\mathbf{-\infty}. Quand x\to+\infty, on factorise f(x)=x\left(\dfrac{\ln x}{x}-1+\dfrac2x\right) ; comme \dfrac{\ln x}{x}\to0 et \dfrac2x\to0, la parenthèse tend vers -1 et x\to+\infty, donc \lim_{x\to+\infty}f(x)=\mathbf{-\infty}.
2.\begin{aligned}f'(x) &= \dfrac1x-1 \\ &= \dfrac{1-x}{x}\end{aligned} du signe de 1-x car {x>0} : f croît sur ]0;1] puis décroît sur [1;+\infty[, avec un maximum \begin{aligned}f(1) &= \ln1-1+2 \\ &= \mathbf{1}\end{aligned}
3.Sur ]0;1], f est continue et strictement croissante, de -\infty à f(1)=1>0 : par le théorème des valeurs intermédiaires, {f(x)=0} admet une unique solution \alpha_1 sur ]0;1[. Sur [1;+\infty[, f est continue et strictement décroissante, de f(1)=1>0 à -\infty : il existe de même une unique solution \alpha_2 sur ]1;+\infty[. L'équation {f(x)=0} admet donc exactement deux solutions sur ]0;+\infty[ (on peut vérifier à la calculatrice que \alpha_1\approx0{,}16 et \alpha_2\approx3{,}15).
Voir la correction : Partie C
1.f(1)=1 et \begin{aligned}f'(1) &= \dfrac{1-1}{1} \\ &= 0\end{aligned} La tangente T en {x=1} a pour équation {y=f(1)+f'(1)(x-1)}, soit \mathbf{y=1} (tangente horizontale, cohérent avec le maximum trouvé en B.2).
2.On étudie le signe de \begin{aligned}f(x)-1 &= \ln x-x+1 \\ &= -(x-1-\ln x) \\ &= -g(x)\end{aligned} D'après la partie A, g(x)\geqslant0 pour tout {x>0}, donc f(x)-1\leqslant0 : la courbe \mathcal C_f est entièrement située en dessous de sa tangente T, et elles ne se touchent qu'au point d'abscisse 1 (là où g(x)=0).

Fiche d'exercices rédigée par Logimaths.