Fonctions composées

Exercice 1 : Calculer une composée

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1. Exprimer (f\circ g)(x).
2. Calculer (f\circ g)(3).

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a)\begin{aligned}(f\circ g)(x) &= f\big(g(x)\big) \\ &= \mathbf{\sqrt{x^2+1}}\end{aligned}

b)\begin{aligned}(f\circ g)(3) &= \sqrt{9+1} \\ &= \mathbf{\sqrt{10}}\end{aligned}

Exercice 2 : Dériver une composée

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1. Exprimer h(x).
2. Calculer h'(x) à l'aide de la formule (u^2)'=2u'u.

Voir la correction

a)\begin{aligned}h(x) &= g\big(f(x)\big) \\ &= (2x+1)^2\end{aligned}

b)Avec u=2x+1, u'=2 : \begin{aligned}h'(x) &= 2\times2\times(2x+1) \\ &= \mathbf{4(2x+1)}\end{aligned}

Exercice 3 : Vrai ou faux ?

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1. (g\circ f)(3) = 49.
2. f\circ g = g\circ f.
3. L'ensemble de définition de u\circ v est [4;+\infty[.
4. Si a est décroissante sur I et b est décroissante sur b(I), alors b\circ a est décroissante sur I.
5. Pour h=g\circ u, on a h'(x)=u'(x)\times g'(x).

Voir la correction

a)Vrai. \begin{aligned}f(3) &= 2\times3+1 \\ &= 7\end{aligned} puis \begin{aligned}g(7) &= 7^2 \\ &= 49\end{aligned} donc (g\circ f)(3)=49.

b)Faux. \begin{aligned}(f\circ g)(x) &= f(x^2) \\ &= 2x^2+1\end{aligned} alors que \begin{aligned}(g\circ f)(x) &= (2x+1)^2 \\ &= 4x^2+4x+1\end{aligned} Ces deux expressions sont différentes (par exemple en x=1 : 3 contre 9), donc {f\circ g\neq g\circ f}.

c)Vrai. (u\circ v)(x)=\sqrt{x-4} est définie si et seulement si v(x)\ge0, soit x-4\ge0, donc x\ge4. L'ensemble de définition est bien [4;+\infty[.

d)Faux. D'après le théorème du sens de variation d'une composée, si a et b sont toutes deux décroissantes (même sens de variation), alors b\circ a est croissante, et non décroissante.

e)Faux. La formule correcte est {h'(x)=u'(x)\times g'\big(u(x)\big)} : il faut évaluer la dérivée de g en u(x), et non en x. C'est une erreur très fréquente.

Exercice 4 : Sens de variation d'une composée

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1. Écrire f comme une composée g\circ u en précisant u et g.
2. Étudier le sens de variation de u sur {]-\infty;0]} puis sur [0;+\infty[, et le sens de variation de g sur ]0;+\infty[.
3. En déduire le sens de variation de f sur chacun des deux intervalles.
4. Vérifier ce résultat en calculant f'(x).

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a)On pose u(x)=x^2+1 et g(X)=\dfrac1X, définie pour X\neq0. Comme \begin{aligned}u(x) &= x^2+1 \\ &\ge 1>0\end{aligned} pour tout x, f=g\circ u est bien définie sur \mathbb R.

b)u est une fonction du second degré de coefficient dominant positif : elle est décroissante sur {]-\infty;0]} et croissante sur [0;+\infty[. La fonction inverse g(X)=\dfrac1X est décroissante sur ]0;+\infty[.

c)Sur {]-\infty;0]} : u décroissante et g décroissante (sens identiques) \Rightarrow f croissante. Sur [0;+\infty[ : u croissante et g décroissante (sens contraires) \Rightarrow f décroissante.

d)Avec u'(x)=2x et g'(X)=-\dfrac1{X^2} : \begin{aligned}f'(x) &= u'(x)\times g'\big(u(x)\big) \\ &= 2x\times\left(-\dfrac1{(x^2+1)^2}\right) \\ &= \dfrac{-2x}{(x^2+1)^2}\end{aligned} Le dénominateur est toujours positif, donc f'(x) a le signe de -2x : positif si x<0 (donc f croissante), négatif si x>0 (donc f décroissante). Cela confirme bien le résultat de la question c).

Exercice 5 : Type Bac : étude complète d'une composée

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Partie A : Étude de la fonction intérieure

1. Résoudre l'inéquation -x^2+4x\ge0 et en déduire l'ensemble de définition D_f de f.
2. On pose u(x)=-x^2+4x. Étudier le sens de variation de u sur D_f=[0;4].

Partie B : Sens de variation de f

1. Écrire f sous la forme g\circ u et préciser le sens de variation de g.
2. En déduire le tableau de variations de f sur [0;4], ainsi que la valeur maximale de f.

Partie C : Dérivée et équation

1. Calculer f'(x) sur ]0;4[ et vérifier la cohérence avec la partie B.
2. Résoudre l'équation f(x)=\sqrt2 sur [0;4].

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Partie A

1)\begin{aligned}-x^2+4x &= x(4-x) \\ &\ge 0\end{aligned} Ce produit de deux facteurs est positif ou nul lorsque les facteurs sont de même signe (ou nuls) : en étudiant le signe, \begin{aligned}x(4-x) \ge 0 &\iff x\in[0;4]\end{aligned} Donc D_f=[0;4].

2)u(x)=-x^2+4x est une fonction du second degré de coefficient dominant négatif, de sommet en \begin{aligned}x &= -\dfrac{4}{2\times(-1)} \\ &= 2\end{aligned} avec \begin{aligned}u(2) &= -4+8 \\ &= 4\end{aligned} Ainsi u est croissante sur [0;2] et décroissante sur [2;4]. On note aussi u(0)=0 et u(4)=0.

Partie B

1)f=g\circ u avec g(X)=\sqrt X, qui est croissante sur [0;+\infty[ (et {u([0;4])=[0;4]\subset[0;+\infty[}, donc la composée est bien définie).

2)Sur [0;2] : u croissante et g croissante (même sens) \Rightarrow f croissante. Sur [2;4] : u décroissante et g croissante (sens contraires) \Rightarrow f décroissante. Le maximum est atteint en x=2 : \begin{aligned}f(2) &= \sqrt{u(2)} \\ &= \sqrt4 \\ &= \mathbf2\end{aligned} On a aussi \begin{aligned}f(0) &= f(4) \\ &= 0\end{aligned}

Partie C

1)Avec u'(x)=-2x+4 et la formule {(\sqrt u)'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}} : \begin{aligned}f'(x) &= \dfrac{-2x+4}{2\sqrt{-x^2+4x}} \\ &= \dfrac{2-x}{\sqrt{-x^2+4x}}\end{aligned} sur ]0;4[ (le dénominateur s'annule en 0 et 4). Le dénominateur est strictement positif sur ]0;4[, donc f'(x) a le signe de 2-x : positif sur ]0;2[, négatif sur ]2;4[. On retrouve exactement le sens de variation trouvé en partie B.

2)\begin{aligned}f(x) = \sqrt2 &\iff -x^2+4x = 2 \\ &\iff x^2-4x+2 = 0 \end{aligned} (les deux membres sont positifs, on peut élever au carré). Discriminant : \begin{aligned}\Delta &= 16-8 \\ &= 8\end{aligned} donc \sqrt\Delta=2\sqrt2. Les solutions sont \begin{aligned}x &= \dfrac{4-2\sqrt2}{2} \\ &= 2-\sqrt2\end{aligned} et x=2+\sqrt2. Comme \sqrt2\approx1{,}41, on a {2-\sqrt2\approx0{,}59} et 2+\sqrt2\approx3{,}41, deux valeurs bien dans [0;4]. L'équation admet donc deux solutions : \mathbf{x=2-\sqrt2} et \mathbf{x=2+\sqrt2}.

Exercice 6 : Contexte concret : décroissance d'une concentration

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1. Exprimer C(t) en fonction de t uniquement.
2. Déterminer le sens de variation de u sur [0;16] et celui de g sur \mathbb R, puis en déduire, sans calculer de dérivée, le sens de variation de C.
3. Calculer C'(t) et vérifier la cohérence avec la question précédente.

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a)\begin{aligned}C(t) &= g\big(u(t)\big) \\ &= e^{0{,}1\times(-0{,}5t+8)} \\ &= \mathbf{e^{-0{,}05t+0{,}8}}\end{aligned}

b)u(t)=-0{,}5t+8 est affine de coefficient directeur négatif : u est décroissante sur [0;16]. La fonction exponentielle g(x)=e^{0{,}1x} est croissante sur \mathbb R. Les sens de variation sont contraires, donc C=g\circ u est décroissante sur [0;16] : l'effet thérapeutique diminue bien avec le temps.

c)Avec u'(t)=-0{,}5 et g'(x)=0{,}1e^{0{,}1x} : \begin{aligned}C'(t) &= u'(t)\times g'\big(u(t)\big) \\ &= -0{,}5\times0{,}1\,e^{0{,}1u(t)} \\ &= \mathbf{-0{,}05\,e^{-0{,}05t+0{,}8}}\end{aligned} Comme l'exponentielle est toujours strictement positive, C'(t)<0 pour tout {t\in[0;16]} : C est bien décroissante, ce qui confirme la question b).