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Fiche d'exercices Logimaths

Fonctions exponentielles

Calculs, dérivées, QCM et modélisation ; 6 exercices corrigés : Niveau Terminale Techno.

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Exercice 1 : Modèle de croissance exponentielle

Une population de bactéries suit {N(t) = 100\,e^{0{,}3t}} (t en heures).
  1. Calculer N(0).
  2. Calculer N(5) (arrondir à l'unité).
Voir la correction
a)\begin{aligned}N(0) &= 100\,e^0 \\ &= \mathbf{100}\end{aligned}
b)\begin{aligned}N(5) &= 100\,e^{1{,}5} \\ &\approx 100\times4{,}4817 \\ &\approx \mathbf{448}\end{aligned}

Exercice 2 : Modèle de décroissance

Un modèle de désintégration s'écrit {f(t) = 500\,e^{-0{,}2t}}.
  1. Calculer f'(t).
  2. Étudier le signe de f'(t) et en déduire le sens de variation de f.
Voir la correction
a)\begin{aligned}f'(t) &= 500\times(-0{,}2)\,e^{-0{,}2t} \\ &= \mathbf{-100\,e^{-0{,}2t}}\end{aligned}
b)e^{-0{,}2t}>0 pour tout t, donc f'(t)<0 : f est strictement décroissante (modèle de décroissance, cohérent avec la désintégration).

Exercice 3 : Calculs et simplifications

Simplifier les expressions suivantes en utilisant les règles algébriques de l'exponentielle.
  1. Simplifier A=\dfrac{e^{3}\times e^{-2}}{e^{-4}}.
  2. Simplifier B=(e^{2x})^3\times e^{-x}.
  3. Résoudre l'équation e^{3x-1}=e^{x+5}.
  4. Résoudre l'inéquation e^{-2x+1}\leqslant e^{3}.
Voir la correction
a) On regroupe les exposants : \begin{aligned}A &= e^{3+(-2)-(-4)} \\ &= e^{3-2+4} \\ &= \mathbf{e^{5}}\end{aligned} (soit A\approx148{,}4).
b) (e^{2x})^3=e^{6x}, donc \begin{aligned}B &= e^{6x}\times e^{-x} \\ &= \mathbf{e^{5x}}\end{aligned}
c) La fonction exponentielle est strictement croissante, donc injective : \begin{aligned}e^{3x-1} = e^{x+5} &\iff 3x-1 = x+5 \\ &\iff 2x = 6 \\ &\iff x = 3 \end{aligned} S=\{3\}.
d) Par stricte croissance de l'exponentielle : \begin{aligned}e^{-2x+1} \leqslant e^{3} &\iff -2x+1 \leqslant 3 \\ &\iff -2x \leqslant 2 \\ &\iff x \geqslant -1 \end{aligned} (on change le sens de l'inégalité en divisant par -2). S=[-1;+\infty[.

Exercice 4 : QCM : vrai ou faux ?

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier.
  1. Pour tous réels a et b, e^{a+b}=e^a+e^b.
  2. Pour tout réel x, e^x>0.
  3. \lim_{x\to-\infty}e^x=-\infty.
  4. La dérivée de g(x)=e^{2x} est {g'(x)=2xe^{2x-1}}.
  5. e^{0{,}1}>1{,}1.
Voir la correction
1. Faux. La bonne règle est e^{a+b}=e^a\times e^b : l'exponentielle transforme les sommes en produits, pas en sommes.
2. Vrai. La fonction exponentielle est strictement positive sur \mathbb R tout entier, quelle que soit la valeur de x.
3. Faux. On a \lim_{x\to-\infty}e^x=0 (et non -\infty) : la courbe s'approche de l'axe des abscisses sans jamais devenir négative.
4. Faux. On applique (e^{u})'=u'e^{u} avec u(x)=2x, donc u'(x)=2 : g'(x)=2e^{2x}. On ne dérive pas l'exponentielle comme une puissance de x.
5. Vrai. Numériquement, e^{0{,}1}\approx1{,}1052, qui est bien supérieur à 1{,}1.

Exercice 5 : Modélisation : refroidissement d'un objet

Un objet sort d'un four à 80\,^\circ\text{C} et refroidit dans une pièce à 20\,^\circ\text{C}. La loi de refroidissement de Newton donne la température T(t) = 20 + 60\,e^{-0{,}05t}, où t est le temps en minutes.
  1. Vérifier que T(0)=80 et calculer \lim_{t\to+\infty}T(t). Interpréter.
  2. Calculer T'(t) et en déduire le sens de variation de T.
  3. Calculer la température au bout de 20 minutes (arrondir à 0,1 °C près).
  4. Résoudre l'équation T(t)=50 et interpréter le résultat.
Voir la correction
a)\begin{aligned}T(0) &= 20+60\,e^0 \\ &= 20+60 \\ &= \mathbf{80}\end{aligned} Comme \lim_{t\to+\infty}e^{-0{,}05t}=0, on a \lim_{t\to+\infty}T(t)=\mathbf{20} : la température de l'objet se rapproche de la température ambiante de la pièce (20 °C) sans jamais descendre en dessous.
b)\begin{aligned}T'(t) &= 60\times(-0{,}05)\,e^{-0{,}05t} \\ &= \mathbf{-3\,e^{-0{,}05t}}\end{aligned} Comme e^{-0{,}05t}>0 pour tout t, on a T'(t)<0 : T est strictement décroissante sur [0;+\infty[, ce qui est cohérent avec un refroidissement.
c)\begin{aligned}T(20) &= 20+60\,e^{-1} \\ &\approx 20+60\times0{,}3679 \\ &\approx 20+22{,}07 \\ &\approx \mathbf{42{,}1\,^\circ\text{C}}\end{aligned}
d)\begin{aligned}20+60\,e^{-0{,}05t} = 50 &\iff 60\,e^{-0{,}05t} = 30 \\ &\iff e^{-0{,}05t} = 0{,}5 \\ &\iff -0{,}05t = \ln(0{,}5) \\ &\iff t = \dfrac{\ln(0{,}5)}{-0{,}05} \\ &\iff t = \dfrac{\ln2}{0{,}05} \\ &\approx \mathbf{13{,}9}\end{aligned} minutes. L'objet atteint 50\,^\circ\text{C} environ 13,9 minutes après sa sortie du four.

Exercice 6 : Problème : concentration d'un médicament

Après l'injection d'un médicament, sa concentration dans le sang (en mg/L) est modélisée par C(t)=5t\,e^{-0{,}5t}, où t\geqslant0 est le temps écoulé en heures.

Partie A : Étude du modèle

  1. Calculer C(0) et interpréter.
  2. Montrer que C'(t)=5(1-0{,}5t)\,e^{-0{,}5t}.
  3. Étudier le signe de C'(t) sur [0;+\infty[ et dresser le tableau de variations de C (on admettra que \lim_{t\to+\infty}C(t)=0 par croissances comparées).
Voir la correction : Partie A
a)\begin{aligned}C(0) &= 5\times0\times e^0 \\ &= \mathbf{0}\end{aligned} À l'instant de l'injection, le médicament n'a pas encore diffusé dans le sang.
b) On écrit C(t)=5t\times e^{-0{,}5t}, produit de u(t)=5t (donc u'(t)=5) et v(t)=e^{-0{,}5t} (donc v'(t)=-0{,}5\,e^{-0{,}5t}). Par la formule (uv)'=u'v+uv' : \begin{aligned}C'(t) &= 5\,e^{-0{,}5t}+5t\times(-0{,}5)\,e^{-0{,}5t} \\ &= 5\,e^{-0{,}5t}-2{,}5t\,e^{-0{,}5t} \\ &= 5(1-0{,}5t)\,e^{-0{,}5t}\end{aligned} ce qui est bien la forme demandée.
c) Comme 5\,e^{-0{,}5t}>0 toujours, le signe de C'(t) est celui de 1-0{,}5t, qui s'annule en {t=2} : positif avant, négatif après. Donc C est croissante sur [0;2] puis décroissante sur [2;+\infty[, avec un maximum \begin{aligned}C(2) &= 5\times2\times e^{-1} \\ &= 10\,e^{-1} \\ &\approx \mathbf{3{,}68}\end{aligned} mg/L.
t02+\infty
C'(t)+0−
C(t)0↗10e^{-1}↘0

Partie B : Seuil d'efficacité

Le médicament est jugé efficace lorsque sa concentration dépasse 1 mg/L.
  1. À l'aide du tableau de variations, justifier qu'il existe bien un instant à partir duquel la concentration dépasse 1 mg/L.
  2. On donne C(0{,}3)\approx1{,}29 et {C(0{,}2)\approx0{,}90}. En déduire un encadrement à 0,1 h près de l'instant t_1 où le médicament devient efficace.
Voir la correction : Partie B
a) Sur [0;2], C est continue (car dérivable) et strictement croissante, de C(0)=0 à {C(2)\approx3{,}68}. Comme {0<1<3{,}68}, d'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire du TVI, cas strictement monotone), l'équation C(t)=1 admet une unique solution t_1 dans [0;2] : la concentration finit donc bien par dépasser 1 mg/L.
b) Comme C(0{,}2)\approx0{,}90<1 et {C(0{,}3)\approx1{,}29>1}, et que C est strictement croissante sur cet intervalle, on en déduit \mathbf{0{,}2<t_1<0{,}3} (heure), soit environ 12 à 18 minutes après l'injection.

Partie C : Durée d'action

On admet que C(7)\approx1{,}057 mg/L et {C(8)\approx0{,}733} mg/L.
  1. Justifier que le médicament redevient inefficace (concentration inférieure à 1 mg/L) entre t=7 et t=8 heures.
  2. En déduire la durée approximative pendant laquelle le médicament reste efficace (concentration supérieure ou égale à 1 mg/L).
Voir la correction : Partie C
a) Sur [2;+\infty[, C est strictement décroissante. Comme C(7)\approx1{,}057>1 et C(8)\approx0{,}733<1, la concentration franchit le seuil de 1 mg/L entre t=7 et t=8 : il existe donc un instant t_2\in]7;8[ tel que C(t_2)=1, après quoi le médicament redevient inefficace.
b) Le médicament est efficace entre {t_1\approx0{,}25} h et t_2\approx7{,}5 h (valeur médiane des encadrements), soit une durée d'action d'environ 7{,}5-0{,}25\approx\mathbf{7{,}25} heures, soit un peu plus de 7 heures.

Fiche d'exercices rédigée par Logimaths.