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Fiche d'exercices Logimaths

Fonction logarithme décimal

Propriétés, équations, vrai/faux et applications (pH, décibels, croissance) : Niveau Terminale Techno.

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Exercice 1 : Valeurs usuelles du logarithme décimal

  1. Rappeler la propriété \log(10^n)=n.
  2. Calculer \log(1000), \log(0{,}01) et \log(1).
Voir la correction
a)\log(10^n)=n pour tout entier n.
b)\begin{aligned}\log(1000) &= \log(10^3) \\ &= \mathbf3\end{aligned}   \begin{aligned}\log(0{,}01) &= \log(10^{-2}) \\ &= \mathbf{-2}\end{aligned}   \begin{aligned}\log(1) &= \log(10^0) \\ &= \mathbf0\end{aligned}

Exercice 2 : Application : niveau sonore en décibels

Le niveau sonore L (en dB) est donné par L=10\log\left(\dfrac{I}{I_0}\right), où I_0 est l'intensité de référence.
  1. Calculer L lorsque \dfrac{I}{I_0}=10^6.
  2. Résoudre \log(x)=2{,}5 (donner une valeur approchée de x).
Voir la correction
a)\begin{aligned}L &= 10\times\log(10^6) \\ &= 10\times6 \\ &= \mathbf{60}\end{aligned} dB.
b)\begin{aligned}x &= 10^{2{,}5} \\ &\approx \mathbf{316{,}2}\end{aligned}

Exercice 3 : Calculs avec les propriétés du logarithme

On donne les valeurs approchées {\log2\approx0{,}301} et \log3\approx0{,}477.
  1. Exprimer \log12 en fonction de \log2 et \log3, puis calculer sa valeur approchée.
  2. Calculer \log(0{,}75) sachant que 0{,}75=\dfrac34.
  3. Calculer \log(\sqrt6).
Voir la correction
a)\begin{aligned}12 &= 4\times3 \\ &= 2^2\times3\end{aligned} donc \begin{aligned}\log12 &= \log(2^2)+\log3 \\ &= 2\log2+\log3 \\ &\approx 2\times0{,}301+0{,}477 \\ &= \mathbf{1{,}079}\end{aligned}
b)\begin{aligned}\log(0{,}75) &= \log\left(\dfrac34\right) \\ &= \log3-\log4 \\ &= \log3-2\log2 \\ &\approx 0{,}477-0{,}602 \\ &= \mathbf{-0{,}125}\end{aligned}
c)\begin{aligned}\log(\sqrt6) &= \dfrac12\log6 \\ &= \dfrac12(\log2+\log3) \\ &\approx \dfrac12(0{,}301+0{,}477) \\ &= \dfrac{0{,}778}{2} \\ &= \mathbf{0{,}389}\end{aligned}

Exercice 4 : Résolution d'équation et d'inéquation

On travaille sur ]0;+\infty[.
  1. Résoudre l'équation \log(2x-1)=1.
  2. Résoudre l'inéquation {\log(x)+\log(x-3) \leqslant \log(4)}.
Voir la correction
a) Condition d'existence : {2x-1>0\iff x>\dfrac12}.
\begin{aligned}\log(2x-1) = 1 &\iff \log(2x-1) = \log(10) \\ &\iff 2x-1 = 10 \\ &\iff x = \dfrac{11}{2} \\ &\iff x = 5{,}5\end{aligned}
Comme 5{,}5>\dfrac12, la solution est S=\{5{,}5\}.
b) Condition d'existence : x>0 et x-3>0, donc x>3.
Sur ce domaine, {\log(x)+\log(x-3)=\log\big(x(x-3)\big)}.
L'inéquation devient \begin{aligned}\log\big(x(x-3)\big) \leqslant \log(4) &\iff x(x-3) \leqslant 4 \end{aligned} (stricte croissance de \log), soit {x^2-3x-4\leqslant0}.
Ce trinôme a pour racines x=-1 et x=4 (produit -4, somme 3), donc \begin{aligned}x^2-3x-4 \leqslant 0 &\iff -1 \leqslant x \leqslant 4\end{aligned}
En combinant avec la condition x>3, l'ensemble solution est S=\,]3;4].

Exercice 5 : Vrai ou faux ? (à justifier)

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier.
  1. Pour tous réels a>0 et b>0, {\log(a+b)=\log a+\log b}.
  2. \log(10^{-4})=-4.
  3. La fonction \log est strictement décroissante sur ]0;+\infty[.
  4. Pour tous réels x>0 et y>0, si {\log x=\log y} alors x=y.
  5. \log(1)=1.
Voir la correction
a)Faux. Le logarithme transforme les produits en sommes, pas les sommes. Contre-exemple : \begin{aligned}\log(2+3) &= \log5 \\ &\approx 0{,}699\end{aligned} alors que \begin{aligned}\log2+\log3 &\approx 0{,}301+0{,}477 \\ &= 0{,}778\end{aligned}
b)Vrai. Par définition, \log(10^n)=n pour tout entier n, donc \log(10^{-4})=-4.
c)Faux. La fonction \log est strictement croissante sur ]0;+\infty[ : sa dérivée \dfrac1{x\ln10} est strictement positive.
d)Vrai. La fonction \log est strictement croissante, donc injective sur ]0;+\infty[ : deux réels strictement positifs ayant la même image sont nécessairement égaux.
e)Faux. \log(1)=0 (c'est \log(10) qui vaut 1).

Exercice 6 : Application : calcul de pH

Le pH d'une solution aqueuse est donné par \text{pH}=-\log[\text{H}^+], où [\text{H}^+] est la concentration en ions oxonium, exprimée en mol/L.
  1. Une solution a une concentration {[\text{H}^+]=3{,}2\times10^{-3}} mol/L. Calculer son pH, arrondi au dixième.
  2. Un vinaigre a un pH de 2{,}5. Calculer sa concentration [\text{H}^+], arrondie à 10^{-4} près.
  3. De l'eau pure a un pH de 7. Sans calculatrice, retrouver la concentration [\text{H}^+] correspondante.
Voir la correction
a)\text{pH}=-\log(3{,}2\times10^{-3})=-\big(\log3{,}2+\log(10^{-3})\big)=-(0{,}505-3)=2{,}495\approx\mathbf{2{,}5}.
b)\text{pH}=-\log[\text{H}^+]\iff[\text{H}^+]=10^{-\text{pH}}=10^{-2{,}5}\approx\mathbf{3{,}1623\times10^{-3}} mol/L.
c)\begin{aligned}7 = -\log[\text{H}^+] &\iff \log[\text{H}^+] = -7 \\ &\iff [\text{H}^+] = 10^{-7} \end{aligned} mol/L.

Exercice 7 : Problème : croissance économique et dilution chimique

Ce problème comporte trois parties indépendantes.

Partie A : Croissance d'un chiffre d'affaires

Le chiffre d'affaires d'une entreprise augmente de 3\,\% chaque année. On note C_0 le chiffre d'affaires initial et C_n celui après n années, avec C_n=C_0\times1{,}03^n.
  1. Justifier que pour que le chiffre d'affaires double (C_n=2C_0), on doit résoudre 1{,}03^n=2.
  2. Résoudre cette équation en utilisant le logarithme décimal (on donne {\log2\approx0{,}301} et \log(1{,}03)\approx0{,}0128). Conclure, en arrondissant à l'année supérieure.
Voir la correction
a)\begin{aligned}C_n = 2C_0 &\iff C_0\times1{,}03^n = 2C_0 \\ &\iff 1{,}03^n = 2 \end{aligned} (en divisant par C_0>0).
b) En passant au logarithme décimal (croissant, donc l'équivalence est conservée) : \begin{aligned}\log(1{,}03^n) = \log(2) &\iff n\log(1{,}03) = \log(2) \\ &\iff n = \dfrac{\log2}{\log(1{,}03)} \\ &\approx \dfrac{0{,}301}{0{,}0128} \\ &\approx \mathbf{23{,}5}\end{aligned}
Le chiffre d'affaires double donc au bout de n=24 années (première année entière où le seuil est dépassé).

Partie B : Dilutions successives

Une solution mère a une concentration c_0=1 mol/L. On réalise des dilutions successives : à chaque étape, la concentration est divisée par 10. On note c_n la concentration après n dilutions.
  1. Exprimer c_n en fonction de n, puis \log(c_n) en fonction de n.
  2. Combien de dilutions faut-il pour atteindre une concentration de 10^{-6} mol/L ?
Voir la correction
a)\begin{aligned}c_n &= \dfrac{c_0}{10^n} \\ &= 10^{-n}\end{aligned} donc \begin{aligned}\log(c_n) &= \log(10^{-n}) \\ &= -n\end{aligned}
b)\begin{aligned}c_n = 10^{-6} &\iff 10^{-n} = 10^{-6} \\ &\iff n = \mathbf6 \end{aligned} Il faut donc 6 dilutions successives.

Partie C : Synthèse

En comparant les parties A et B, expliquer pourquoi le logarithme décimal est un outil particulièrement adapté à l'étude des phénomènes multiplicatifs (croissance à taux constant, dilutions en cascade).
Voir la correction
Dans les deux situations, la grandeur étudiée évolue selon une progression géométrique (multiplication par un facteur constant à chaque étape : 1{,}03 pour le chiffre d'affaires, 0{,}1 pour la concentration). Le logarithme décimal transforme cette progression géométrique (multiplicative) en progression arithmétique (additive) : \log(c_n)=-n est une fonction affine de n. C'est cette propriété qui permet de « linéariser » le problème et de résoudre facilement des équations du type q^n=k qui, sans logarithme, n'auraient pas de méthode de résolution directe.

Fiche d'exercices rédigée par Logimaths.