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Fiche d'exercices Logimaths

Lois à densité

Loi uniforme et loi exponentielle ; 6 exercices corrigés : Niveau Terminale Générale.

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Exercice 1 : Loi uniforme

X suit la loi uniforme sur [2\,;10].
  1. Rappeler la formule {P(c\leqslant X\leqslant d) = \dfrac{d-c}{b-a}} pour une loi uniforme sur [a\,;b].
  2. Calculer P(4\leqslant X\leqslant7).
Voir la correction
a){P(c\leqslant X\leqslant d) = \dfrac{d-c}{b-a}}.
b)\begin{aligned}P(4\leqslant X\leqslant7) &= \dfrac{7-4}{10-2} \\ &= \dfrac38 \\ &= \mathbf{0{,}375}\end{aligned}

Exercice 2 : Loi exponentielle

X suit la loi exponentielle de paramètre {\lambda=0{,}5}.
  1. Rappeler la formule P(X\leqslant x) = 1-e^{-\lambda x}.
  2. Calculer P(X\leqslant4) (donner la valeur exacte, puis une valeur approchée).
Voir la correction
a)P(X\leqslant x) = 1-e^{-\lambda x}.
b)\begin{aligned}P(X\leqslant4) &= 1-e^{-0{,}5\times4} \\ &= 1-e^{-2} \\ &\approx \mathbf{0{,}865}\end{aligned}

Exercice 3 : Loi uniforme : temps d'attente

Un bus passe toutes les 12 minutes à un arrêt. On suppose que le temps d'attente X (en minutes) d'un usager arrivant à un instant aléatoire suit la loi uniforme sur [0\,;12].
  1. Calculer l'espérance E(X) et interpréter le résultat dans le contexte de l'énoncé.
  2. Calculer la probabilité que l'usager attende moins de 3 minutes.
  3. Calculer la probabilité que l'usager attende au moins 9 minutes.
  4. Calculer P(4\leqslant X\leqslant 8).
Voir la correction
a)Pour une loi uniforme sur [a\,;b], {E(X) = \dfrac{a+b}{2}}. Ici \begin{aligned}E(X) &= \dfrac{0+12}{2} \\ &= \mathbf{6}\end{aligned} En moyenne, l'usager attend 6 minutes, soit la moitié de l'intervalle entre deux bus.
b)\begin{aligned}P(X<3) &= P(0\leqslant X\leqslant3) \\ &= \dfrac{3-0}{12-0} \\ &= \dfrac{3}{12} \\ &= \mathbf{0{,}25}\end{aligned}
c)\begin{aligned}P(X\geqslant9) &= P(9\leqslant X\leqslant12) \\ &= \dfrac{12-9}{12-0} \\ &= \dfrac{3}{12} \\ &= \mathbf{0{,}25}\end{aligned}
d)\begin{aligned}P(4\leqslant X\leqslant8) &= \dfrac{8-4}{12-0} \\ &= \dfrac{4}{12} \\ &= \dfrac13 \\ &\approx \mathbf{0{,}333}\end{aligned}

Exercice 4 : Loi exponentielle : durée d'appel

La durée X (en minutes) d'un appel téléphonique suit la loi exponentielle de paramètre \lambda = 0{,}2.
  1. Calculer l'espérance E(X) et interpréter le résultat.
  2. Calculer la probabilité qu'un appel dure plus de 5 minutes (arrondir à 10^{-3}).
  3. Calculer la probabilité qu'un appel dure entre 3 et 6 minutes (arrondir à 10^{-3}).
Voir la correction
a)Pour une loi exponentielle de paramètre \lambda, E(X) = \dfrac{1}{\lambda}. Ici \begin{aligned}E(X) &= \dfrac{1}{0{,}2} \\ &= \mathbf{5}\end{aligned} Un appel dure en moyenne 5 minutes.
b)\begin{aligned}P(X>5) &= e^{-\lambda\times5} \\ &= e^{-0{,}2\times5} \\ &= e^{-1} \\ &\approx \mathbf{0{,}368}\end{aligned}
c)\begin{aligned}P(3\leqslant X\leqslant6) &= P(X\leqslant6) - P(X\leqslant3) \\ &= \left(1-e^{-1{,}2}\right) - \left(1-e^{-0{,}6}\right) \\ &= e^{-0{,}6} - e^{-1{,}2} \\ &\approx 0{,}5488 - 0{,}3012 \\ &\approx \mathbf{0{,}248}\end{aligned}

Exercice 5 : Vrai ou faux

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
  1. Si X suit la loi uniforme sur [a\,;b], alors P(X=a) = \dfrac{1}{b-a}.
  2. Si X suit la loi exponentielle de paramètre \lambda, alors pour tout x\geqslant0, P(X\geqslant x) = e^{-\lambda x}.
  3. Pour une loi à densité, augmenter l'espérance E(X) d'une loi exponentielle revient à augmenter le paramètre \lambda.
  4. La fonction densité f d'une loi uniforme sur [a\,;b] vérifie \displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = 1.
  5. Pour une variable aléatoire X à densité, P(X = c) peut être strictement positive pour un réel c donné.
Voir la correction
1.Faux. Pour une loi à densité, la probabilité qu'une variable aléatoire prenne une valeur précise est toujours nulle : P(X=a) = 0 (contrairement à une loi discrète).
2.Vrai. \begin{aligned}P(X\geqslant x) &= 1-P(X\leqslant x) \\ &= 1-\left(1-e^{-\lambda x}\right) \\ &= e^{-\lambda x}\end{aligned}
3.Faux. Comme E(X) = \dfrac{1}{\lambda}, l'espérance et \lambda varient en sens contraire : augmenter E(X) revient à diminuer \lambda.
4.Vrai. C'est la condition que doit vérifier toute fonction densité de probabilité sur l'intervalle considéré : l'aire totale sous la courbe de f vaut 1.
5.Faux. Par définition d'une loi à densité, \begin{aligned}P(X=c) &= \displaystyle\int_c^c f(t)\,\mathrm{d}t \\ &= 0\end{aligned} pour tout réel c : seules les probabilités sur des intervalles ont un sens non nul.

Exercice 6 : Durée de vie sans vieillissement

La durée de vie X (en années) d'un composant électronique suit la loi exponentielle de paramètre \lambda = 0{,}1. On rappelle que la loi exponentielle est la seule loi à densité vérifiant la propriété de durée de vie sans vieillissement : pour tous réels t\geqslant0 et h\geqslant0, P_{X\geqslant t}(X\geqslant t+h) = P(X\geqslant h).
  1. Calculer P(X\geqslant15) (arrondir à 10^{-3}).
  2. Le composant a déjà fonctionné 10 ans sans panne. Calculer la probabilité qu'il fonctionne encore au moins 15 ans, c'est-à-dire P_{X\geqslant10}(X\geqslant25).
  3. Commenter le résultat obtenu en le comparant à celui de la question a).
Voir la correction
a)\begin{aligned}P(X\geqslant15) &= e^{-\lambda\times15} \\ &= e^{-0{,}1\times15} \\ &= e^{-1{,}5} \\ &\approx \mathbf{0{,}223}\end{aligned}
b)D'après la propriété de durée de vie sans vieillissement, avec t=10 et h=15 : \begin{aligned}P_{X\geqslant10}(X\geqslant25) &= P(X\geqslant15) \\ &= e^{-1{,}5} \\ &\approx \mathbf{0{,}223}\end{aligned}
c)On retrouve exactement la même probabilité qu'à la question a) : le fait que le composant ait déjà fonctionné 10 ans sans tomber en panne ne modifie pas la probabilité qu'il fonctionne encore 15 années supplémentaires. Le composant ne « garde pas en mémoire » son passé : il ne s'use pas, conformément à la propriété de durée de vie sans vieillissement, caractéristique de la loi exponentielle.

Exercice 7 : Sujet type bac : durée de vie d'un appareil

Une entreprise fabrique des appareils électroniques. On modélise la durée de vie X d'un appareil, exprimée en années, par une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \lambda. Des essais ont montré que la durée de vie moyenne d'un appareil est de 8 ans.

Partie A : Détermination du paramètre

  1. Justifier que \lambda = 0{,}125.
Voir la correction
a)Pour une loi exponentielle de paramètre \lambda, l'espérance vaut E(X) = \dfrac{1}{\lambda}. La durée de vie moyenne étant de 8 ans, on a E(X) = 8, donc \begin{aligned}\lambda &= \dfrac{1}{8} \\ &= \mathbf{0{,}125}\end{aligned}

Partie B : Calculs de probabilités

  1. Calculer la probabilité qu'un appareil tombe en panne avant 4 ans (arrondir à 10^{-3}).
  2. Calculer la probabilité qu'un appareil fonctionne encore après 10 ans (arrondir à 10^{-3}).
  3. Sachant qu'un appareil a déjà fonctionné 8 ans, calculer la probabilité qu'il fonctionne encore au moins 10 années supplémentaires.
Voir la correction
a)\begin{aligned}P(X\leqslant4) &= 1-e^{-0{,}125\times4} \\ &= 1-e^{-0{,}5} \\ &\approx \mathbf{0{,}393}\end{aligned}
b)\begin{aligned}P(X\geqslant10) &= e^{-0{,}125\times10} \\ &= e^{-1{,}25} \\ &\approx \mathbf{0{,}287}\end{aligned}
c)D'après la propriété de durée de vie sans vieillissement, \begin{aligned}P_{X\geqslant8}(X\geqslant18) &= P(X\geqslant10) \\ &= e^{-1{,}25} \\ &\approx \mathbf{0{,}287}\end{aligned}

Partie C : Coût de garantie

L'entreprise propose une garantie de remplacement gratuit si l'appareil tombe en panne avant 2 ans. Un appareil coûte 150 € à produire.
  1. Calculer la probabilité p qu'un appareil doive être remplacé sous garantie (arrondir à 10^{-3}).
  2. On admet que le coût moyen de garantie par appareil vendu est donné par {C = 150p}. Calculer C et arrondir au centime.
Voir la correction
a)\begin{aligned}p &= P(X\leqslant2) \\ &= 1-e^{-0{,}125\times2} \\ &= 1-e^{-0{,}25} \\ &\approx \mathbf{0{,}221}\end{aligned}
b)\begin{aligned}C &= 150\times\left(1-e^{-0{,}25}\right) \\ &\approx 150\times0{,}2212 \\ &\approx \mathbf{33{,}18\ \text{€}}\end{aligned} Le coût moyen lié à la garantie représente donc environ 33,18 € par appareil vendu.

Exercice 8 : Une probabilité est une aire

On considère la fonction f définie sur [0\,;2] par f(x)=kx, et nulle en dehors de [0\,;2], où k est un réel.
x f(x) O 0,5 1 1,5 2 0,5 1 aire = P(1 ⩽ X ⩽ 2)
La densité f(x)=0{,}5x et l'aire à calculer. Un carreau du quadrillage vaut 0{,}5\times0{,}5=0{,}25 unité d'aire : la surface verte en couvre donc l'équivalent d'environ trois.
  1. Déterminer k pour que f soit une densité de probabilité.
  2. Calculer P(1\leqslant X\leqslant2) de deux façons : par une intégrale, puis en calculant l'aire d'un trapèze sur la figure.
  3. Calculer P(X\leqslant1). Que vaut P(X=1) ?
  4. La valeur f(2)=1 est-elle une probabilité ? Un élève écrit « P(X=2)=1 puisque f(2)=1 ». Expliquer son erreur.
  5. Calculer E(X) et V(X).
Voir la correction
a)Il faut f\geqslant0 (donc k\geqslant0) et une aire totale égale à 1 : \begin{aligned}\displaystyle\int_0^2 kx\,dx &= \left[\dfrac{kx^2}{2}\right]_0^2 \\ &= 2k \\ &= 1\end{aligned} d'où \mathbf{k=0{,}5}. La densité est donc f(x)=0{,}5x.
b)Par l'intégrale : \begin{aligned}P(1\leqslant X\leqslant2) &= \displaystyle\int_1^2 0{,}5x\,dx \\ &= \left[\dfrac{x^2}{4}\right]_1^2 \\ &= 1-0{,}25 \\ &= \mathbf{0{,}75}\end{aligned}
Par l'aire : la surface est un trapèze de bases f(1)=0{,}5 et f(2)=1, de hauteur 2-1=1 : \dfrac{(0{,}5+1)\times1}{2}=\mathbf{0{,}75}. Les deux méthodes donnent bien le même nombre : une intégrale, ici, n'est rien d'autre qu'une aire.
c)\begin{aligned}P(X\leqslant1) &= \displaystyle\int_0^1 0{,}5x\,dx \\ &= \left[\dfrac{x^2}{4}\right]_0^1 \\ &= \mathbf{0{,}25}\end{aligned} (on vérifie : 0{,}25+0{,}75=1).
P(X=1)=\mathbf{0} : la surface se réduit à un segment, sans épaisseur. C'est vrai pour toute loi à densité et pour toute valeur isolée.
d)Non, f(2)=1 n'est pas une probabilité : c'est une densité, une grandeur « par unité de longueur », et rien n'interdit qu'elle dépasse 1 (avec f(x)=2x sur [0\,;1] on aurait même f(1)=2).
L'élève confond la hauteur de la courbe et l'aire sous la courbe. Seule l'aire est une probabilité. Et justement, la probabilité en un point isolé vaut 0, pas 1 : sa conclusion est même l'exact opposé de la réalité.
e)\begin{aligned}E(X) &= \displaystyle\int_0^2 x\times0{,}5x\,dx \\ &= \int_0^2 0{,}5x^2\,dx \\ &= \left[\dfrac{x^3}{6}\right]_0^2 \\ &= \dfrac86 \\ &= \dfrac43 \\ &\approx \mathbf{1{,}33}\end{aligned}
\begin{aligned}\displaystyle\int_0^2 x^2\times0{,}5x\,dx &= \left[\dfrac{x^4}{8}\right]_0^2 \\ &= 2\end{aligned} donc \begin{aligned}V(X) &= 2-\left(\dfrac43\right)^2 \\ &= 2-\dfrac{16}{9} \\ &= \dfrac29 \\ &\approx \mathbf{0{,}222}\end{aligned} et \sigma(X)\approx0{,}471.
L'espérance est bien décalée vers la droite du milieu de l'intervalle (\tfrac43>1) : la densité croît, donc les grandes valeurs pèsent plus lourd.

Exercice 9 : Fonction de répartition et médiane

Le temps d'attente T (en minutes) avant qu'un guichet se libère suit la loi exponentielle de paramètre \lambda=0{,}25.
  1. Donner l'expression de la fonction de répartition F(t)=P(T\leqslant t) pour t\geqslant0, et préciser ses limites en 0 et en +\infty.
  2. Calculer P(T\leqslant5) puis P(2\leqslant T\leqslant6), arrondis au millième.
  3. Déterminer le temps d'attente médian, c'est-à-dire le réel m tel que F(m)=0{,}5.
  4. Comparer la médiane et l'espérance. Commenter.
  5. Le guichet affiche « attente moyenne : 4 minutes ». Quelle proportion des clients attend en réalité moins que cette moyenne ?
Voir la correction
a)\begin{aligned}F(t) &= \displaystyle\int_0^t 0{,}25e^{-0{,}25x}\,dx \\ &= \Big[-e^{-0{,}25x}\Big]_0^t \\ &= \mathbf{1-e^{-0{,}25t}}\end{aligned}
\begin{aligned}F(0) &= 1-e^{0} \\ &= 0\end{aligned} et \displaystyle\lim_{t\to+\infty}F(t)=1 (car e^{-0{,}25t}\to0) : l'aire accumulée part de 0 et tend vers 1 sans jamais l'atteindre.
b)\begin{aligned}P(T\leqslant5) &= 1-e^{-1{,}25} \\ &\approx \mathbf{0{,}713}\end{aligned}
\begin{aligned}P(2\leqslant T\leqslant6) &= F(6)-F(2) \\ &= \big(1-e^{-1{,}5}\big)-\big(1-e^{-0{,}5}\big) \\ &= e^{-0{,}5}-e^{-1{,}5} \\ &\approx 0{,}607-0{,}223 \\ &= \mathbf{0{,}384}\end{aligned}
Astuce : les deux « 1 » se simplifient, il reste une simple différence de deux queues.
c)\begin{aligned}1-e^{-0{,}25m} = 0{,}5 &\iff e^{-0{,}25m} = 0{,}5 \\ &\iff -0{,}25m = \ln 0{,}5 \\ &\iff -0{,}25m = -\ln 2\end{aligned} d'où \begin{aligned}m &= \dfrac{\ln 2}{0{,}25} \\ &= 4\ln 2 \\ &\approx \mathbf{2{,}77}\end{aligned} minutes.
d)\begin{aligned}E(T) &= \dfrac1{0{,}25} \\ &= 4\end{aligned} minutes, contre une médiane de 2{,}77 minutes. La médiane est nettement inférieure à l'espérance : la loi exponentielle est dissymétrique. Une minorité d'attentes très longues tire la moyenne vers le haut, exactement comme pour la loi géométrique dont elle est la version continue.
e)\begin{aligned}P(T\leqslant4) &= 1-e^{-1} \\ &\approx \mathbf{0{,}632}\end{aligned} Environ 63\,\% des clients attendent moins que « l'attente moyenne ». Ce n'est pas un paradoxe : pour une loi dissymétrique, la moyenne n'est pas la valeur qui coupe la population en deux. C'est la médiane qui joue ce rôle, et l'affichage serait plus honnête avec elle.

Pour s'entraîner en boucle

🎮 Loi exponentielle : calcul express
Réponds en écriture décimale, arrondie au millième. Rappels : P(X>t)=e^{-\lambda t}, {P(X\le t)=1-e^{-\lambda t}}, E(X)=\dfrac1\lambda.
🎮 Vrai ou faux : densité, aire, probabilité
Le seul réflexe qui compte : une probabilité est une aire, jamais une hauteur.

Fiche d'exercices rédigée par Logimaths.