Nombres complexes (STI2D)

Exercice 1 : Opérations en forme algébrique

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1. Calculer z_1+z_2 et z_1\times z_2 sous forme algébrique.
2. Calculer \dfrac{z_1}{z_2} sous forme algébrique (on multipliera par le conjugué du dénominateur).
3. Calculer le module |z_1|.

Voir la correction

a)\begin{aligned}z_1+z_2 &= (3+1)+j(4-2) \\ &= \mathbf{4+2j}\end{aligned}
\begin{aligned}z_1\times z_2 &= (3+4j)(1-2j) \\ &= 3-6j+4j-8j^2 \\ &= 3-2j+8 \\ &= \mathbf{11-2j}\end{aligned} (on a utilisé j^2=-1).

b)Le conjugué de z_2=1-2j est \overline{z_2}=1+2j, et \begin{aligned}z_2\overline{z_2} &= 1^2+2^2 \\ &= 5\end{aligned}
\begin{aligned}\dfrac{z_1}{z_2} &= \dfrac{z_1\overline{z_2}}{z_2\overline{z_2}} \\ &= \dfrac{(3+4j)(1+2j)}{5} \\ &= \dfrac{3+6j+4j+8j^2}{5} \\ &= \dfrac{3+10j-8}{5} \\ &= \dfrac{-5+10j}{5} \\ &= \mathbf{-1+2j}\end{aligned}

c)\begin{aligned}|z_1| &= \sqrt{3^2+4^2} \\ &= \sqrt{9+16} \\ &= \sqrt{25} \\ &= \mathbf{5}\end{aligned}

Exercice 2 : Forme trigonométrique

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1. Calculer le module |z|.
2. Déterminer l'argument \arg(z) (justifier à l'aide du quadrant et des valeurs usuelles).
3. Donner la forme trigonométrique de z.

Voir la correction

a)\begin{aligned}|z| &= \sqrt{1^2+(\sqrt3)^2} \\ &= \sqrt{1+3} \\ &= \sqrt4 \\ &= \mathbf{2}\end{aligned}

b)\cos(\theta)=\dfrac12 et \sin(\theta)=\dfrac{\sqrt3}{2}, avec z dans le premier quadrant : \arg(z) = \mathbf{\dfrac{\pi}{3}}.

c)z = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right).

1. Calculer z^2 sous forme algébrique (développer (1+i\sqrt3)^2).
2. Retrouver ce résultat à l'aide de la forme trigonométrique (|z^2|=|z|^2, {\arg(z^2)=2\arg(z)}).

Voir la correction

d)\begin{aligned}z^2 &= 1+2i\sqrt3+(i\sqrt3)^2 \\ &= 1+2i\sqrt3-3 \\ &= \mathbf{-2+2i\sqrt3}\end{aligned}

e)\begin{aligned}|z^2| &= 2^2 \\ &= 4\end{aligned} \begin{aligned}\arg(z^2) &= 2\times\dfrac{\pi}{3} \\ &= \dfrac{2\pi}{3}\end{aligned} D'où \begin{aligned}z^2 &= 4\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right) \\ &= 4\left(-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}\right) \\ &= -2+2i\sqrt3\end{aligned} ✓.

Exercice 3 : Vrai ou faux

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1. Le conjugué de z=5-3j est {\overline z=-5-3j}.
2. Pour tous complexes non nuls z_1 et z_2, \arg(z_1\times z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)\ [2\pi].
3. Le module de l'impédance d'un condensateur \underline Z_C=\dfrac{-j}{C\omega} augmente quand la pulsation \omega augmente.
4. Dans un circuit RLC série, si L\omega=\dfrac1{C\omega}, alors l'impédance \underline Z est un réel pur (égale à R).
5. Pour deux complexes z_1 et z_2, on a toujours |z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|.

Voir la correction

1)Faux. Le conjugué de z=a+jb est {\overline z=a-jb} : seule la partie imaginaire change de signe. Ici \overline z=5+3j.

2)Vrai. C'est la propriété de l'argument d'un produit : les arguments s'additionnent modulo 2\pi (alors que ce sont les modules qui se multiplient).

3)Faux. |\underline Z_C|=\dfrac1{C\omega} : c'est une fonction décroissante de \omega. Plus la fréquence est grande, plus l'impédance d'un condensateur est petite (il « laisse mieux passer » les hautes fréquences).

4)Vrai. \underline Z=R+j\!\left(L\omega-\dfrac1{C\omega}\right) ; si L\omega=\dfrac1{C\omega}, la partie imaginaire s'annule et \underline Z=R. C'est la condition de résonance du circuit RLC série.

5)Faux. C'est une confusion fréquente : l'égalité des modules se comporte bien pour le produit (|z_1z_2|=|z_1||z_2|) mais pas pour la somme. Par exemple avec z_1=1 et z_2=j : \begin{aligned}|z_1+z_2| &= |1+j| \\ &= \sqrt2\end{aligned} alors que \begin{aligned}|z_1|+|z_2| &= 1+1 \\ &= 2 \\ &\neq \sqrt2\end{aligned}

Exercice 4 : Impédance d'un circuit RL série

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1. Donner l'impédance complexe \underline Z du circuit sous forme algébrique.
2. Calculer le module |\underline Z|.
3. Déterminer l'argument de \underline Z (en radians puis en degrés, arrondi au dixième).
4. Le courant est-il en avance ou en retard sur la tension dans ce circuit ? Justifier à partir du signe de l'argument.

Voir la correction

a)L'impédance d'une résistance est R et celle d'une bobine est jL\omega, et les deux dipôles étant en série, les impédances s'ajoutent : \begin{aligned}\underline Z &= R+jL\omega \\ &= \mathbf{40+30j}\ \Omega\end{aligned}

b)\begin{aligned}|\underline Z| &= \sqrt{40^2+30^2} \\ &= \sqrt{1600+900} \\ &= \sqrt{2500} \\ &= \mathbf{50\ \Omega}\end{aligned}

c)\begin{aligned}\cos\theta &= \dfrac{40}{50} \\ &= 0{,}8\end{aligned} et \begin{aligned}\sin\theta &= \dfrac{30}{50} \\ &= 0{,}6\end{aligned} donc \begin{aligned}\theta &= \arctan\!\left(\dfrac{30}{40}\right) \\ &\approx \mathbf{0{,}644\ \text{rad}\approx36{,}9°}\end{aligned}

d)L'argument de \underline Z représente le déphasage \varphi_u-\varphi_i de la tension par rapport à l'intensité. Ici \theta\approx36{,}9°>0, donc la tension est en avance sur l'intensité, ce qui revient à dire que le courant est en retard sur la tension (comportement inductif, cohérent avec la présence d'une bobine).

Exercice 5 : Circuit RLC série en régime sinusoïdal

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Partie A : Réactances

1. Calculer la réactance de la bobine {X_L=L\omega}.
2. Calculer la réactance du condensateur X_C=\dfrac1{C\omega}.

Voir la correction : Partie A

a)\begin{aligned}X_L &= L\omega \\ &= 0{,}1\times1000 \\ &= \mathbf{100\ \Omega}\end{aligned}

b)\begin{aligned}X_C &= \dfrac1{C\omega} \\ &= \dfrac1{50\times10^{-6}\times1000} \\ &= \dfrac1{0{,}05} \\ &= \mathbf{20\ \Omega}\end{aligned}

Partie B : Impédance complexe

1. Écrire l'impédance complexe \underline Z du circuit sous forme algébrique.
2. Calculer le module |\underline Z| et l'argument \varphi de \underline Z.
3. Écrire \underline Z sous forme exponentielle.

Voir la correction : Partie B

a)\begin{aligned}\underline Z &= R+j(X_L-X_C) \\ &= 60+j(100-20) \\ &= \mathbf{60+80j}\ \Omega\end{aligned}

b)\begin{aligned}|\underline Z| &= \sqrt{60^2+80^2} \\ &= \sqrt{3600+6400} \\ &= \sqrt{10000} \\ &= \mathbf{100\ \Omega}\end{aligned}
\begin{aligned}\cos\varphi &= \dfrac{60}{100} \\ &= 0{,}6\end{aligned} \begin{aligned}\sin\varphi &= \dfrac{80}{100} \\ &= 0{,}8\end{aligned} donc \begin{aligned}\varphi &= \arctan\!\left(\dfrac{80}{60}\right) \\ &\approx \mathbf{0{,}927\ \text{rad}\approx53{,}1°}\end{aligned} (positif car X_L>X_C : circuit à dominante inductive).

c)\underline Z=100\,e^{j\varphi} avec \varphi\approx0{,}927\ \text{rad}.

Partie C : Intensité du courant

1. Donner l'amplitude complexe de la tension \underline U.
2. En déduire l'amplitude complexe de l'intensité \underline I=\dfrac{\underline U}{\underline Z}, puis l'amplitude réelle I_{max} et la phase de i(t).
3. Écrire l'expression temporelle i(t).

Voir la correction : Partie C

a)Puisque u(t)=U_{max}\cos(\omega t) (phase nulle à l'origine), \begin{aligned}\underline U &= U_{max}e^{j0} \\ &= \mathbf{100}\end{aligned}

b)\begin{aligned}\underline I &= \dfrac{\underline U}{\underline Z} \\ &= \dfrac{100}{100\,e^{j\varphi}} \\ &= 1\times e^{-j\varphi}\end{aligned} Donc \begin{aligned}I_{max} &= |\underline I| \\ &= \mathbf{1\ \text{A}}\end{aligned} et la phase de i(t) est -\varphi\approx\mathbf{-0{,}927\ \text{rad}} : le courant est bien en retard sur la tension, ce qui confirme le caractère inductif trouvé en partie B.

c)\begin{aligned}i(t) &= I_{max}\cos(\omega t-\varphi) \\ &\approx \mathbf{\cos(1000t-0{,}927)}\end{aligned} (en ampères, t en secondes).

Exercice 6 : Association d'impédances en parallèle

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1. Rappeler la formule de l'impédance équivalente \underline Z de deux dipôles en parallèle.
2. Calculer \underline Z sous forme algébrique.
3. Calculer le module |\underline Z|.

Voir la correction

a)Pour deux dipôles en parallèle, les inverses des impédances s'additionnent : {\dfrac1{\underline Z}=\dfrac1{R}+\dfrac1{\underline Z_C}}, soit \underline Z=\dfrac{R\times\underline Z_C}{R+\underline Z_C}.

b)\begin{aligned}\underline Z &= \dfrac{30\times(-40j)}{30-40j} \\ &= \dfrac{-1200j}{30-40j}\end{aligned} En multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué 30+40j :
\begin{aligned}\underline Z &= \dfrac{-1200j(30+40j)}{30^2+40^2} \\ &= \dfrac{-36000j-48000j^2}{2500} \\ &= \dfrac{48000-36000j}{2500} \\ &= \mathbf{19{,}2-14{,}4j}\ \Omega\end{aligned}

c)\begin{aligned}|\underline Z| &= \sqrt{19{,}2^2+14{,}4^2} \\ &= \sqrt{368{,}64+207{,}36} \\ &= \sqrt{576} \\ &= \mathbf{24\ \Omega}\end{aligned}