Fiche d'exercices Logimaths | Terminale maths expertes
Fiche d'exercices : Nombres complexes
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Forme algébrique⭐
Mets sous forme algébrique :
- z_1 = (3 - 2i) + (-1 + 5i)
- z_2 = (2 + 3i)(4 - i)
- z_3 = (1 + i)^2
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. z_1 = 2 + 3i.
2. \begin{aligned}z_2 &= 8 - 2i + 12i - 3i^2 \\ &= 8 + 10i + 3 \\ &= 11 + 10i\end{aligned}
3. \begin{aligned}z_3 &= 1 + 2i + i^2 \\ &= 2i\end{aligned} (à retenir : le carré de 1 + i est imaginaire pur).
2. \begin{aligned}z_2 &= 8 - 2i + 12i - 3i^2 \\ &= 8 + 10i + 3 \\ &= 11 + 10i\end{aligned}
3. \begin{aligned}z_3 &= 1 + 2i + i^2 \\ &= 2i\end{aligned} (à retenir : le carré de 1 + i est imaginaire pur).
Exercice 2 : Puissances de i⭐
- Calcule i^3, i^4 et i^5.
- Déduis-en i^{2026} (divise l'exposant par 4).
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. i^3 = -i, i^4 = 1, i^5 = i : cycle de longueur 4.
2. 2026 = 4 \times 506 + 2 donc \begin{aligned}i^{2026} &= i^2 \\ &= -1\end{aligned}
2. 2026 = 4 \times 506 + 2 donc \begin{aligned}i^{2026} &= i^2 \\ &= -1\end{aligned}
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Conjugué et quotients⭐⭐
- Mets \dfrac{1}{3 - i} sous forme algébrique.
- Mets \dfrac{2 + i}{1 - 2i} sous forme algébrique.
- Résous dans ℂ l'équation {(1 + i)z = 4 - 2i}.
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. \begin{aligned}\dfrac{3 + i}{(3-i)(3+i)} &= \dfrac{3 + i}{10} \\ &= \dfrac{3}{10} + \dfrac{1}{10}i\end{aligned}
2. \begin{aligned}\dfrac{(2+i)(1+2i)}{1 + 4} &= \dfrac{2 + 4i + i - 2}{5} \\ &= \dfrac{5i}{5} \\ &= i\end{aligned}
3. \begin{aligned}z &= \dfrac{4 - 2i}{1 + i} \\ &= \dfrac{(4-2i)(1-i)}{2} \\ &= \dfrac{4 - 4i - 2i - 2}{2} \\ &= \dfrac{2 - 6i}{2} \\ &= 1 - 3i\end{aligned}
2. \begin{aligned}\dfrac{(2+i)(1+2i)}{1 + 4} &= \dfrac{2 + 4i + i - 2}{5} \\ &= \dfrac{5i}{5} \\ &= i\end{aligned}
3. \begin{aligned}z &= \dfrac{4 - 2i}{1 + i} \\ &= \dfrac{(4-2i)(1-i)}{2} \\ &= \dfrac{4 - 4i - 2i - 2}{2} \\ &= \dfrac{2 - 6i}{2} \\ &= 1 - 3i\end{aligned}
Exercice 4 : Partie réelle, partie imaginaire, lieu⭐⭐
Soit z = x + iy (x, y réels) et {Z = (1 + i)z + 3}.
- Exprime Re(Z) et Im(Z) en fonction de x et y.
- Pour quels z le nombre Z est-il réel ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. \begin{aligned}Z &= x + iy + ix - y + 3 \\ &= (x - y + 3) + i(x + y)\end{aligned} : Re(Z) = x − y + 3 et Im(Z) = x + y.
2. Z réel ⟺ Im(Z) = 0 ⟺ y = −x : les affixes forment la droite d'équation y = −x du plan complexe.
2. Z réel ⟺ Im(Z) = 0 ⟺ y = −x : les affixes forment la droite d'équation y = −x du plan complexe.
Exercice 5 : Module et argument⭐⭐
Détermine le module et un argument de chaque nombre, puis sa forme exponentielle :
- z_1 = 1 + i\sqrt{3}
- z_2 = -5
- z_3 = -2i
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. \begin{aligned}|z_1| &= \sqrt{1 + 3} \\ &= 2\end{aligned} \cos\theta = \dfrac{1}{2},\ \sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2} donne \theta = \dfrac{\pi}{3} : z_1 = 2e^{i\pi/3}.
2. z_2 = 5e^{i\pi} (réel négatif : argument π).
3. z_3 = 2e^{-i\pi/2} (imaginaire pur vers le bas).
2. z_2 = 5e^{i\pi} (réel négatif : argument π).
3. z_3 = 2e^{-i\pi/2} (imaginaire pur vers le bas).
Exercice 6 : Produits et puissances en exponentielle⭐⭐
Soient z = 2e^{i\pi/6} et z' = 3e^{i\pi/3}.
- Donne la forme exponentielle de zz' puis sa forme algébrique.
- Donne la forme exponentielle de \dfrac{z'}{z}.
- Calcule z^6.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. \begin{aligned}zz' &= 6e^{i(\pi/6 + \pi/3)} \\ &= 6e^{i\pi/2} \\ &= 6i\end{aligned}
2. \begin{aligned}\dfrac{z'}{z} &= \dfrac{3}{2}e^{i(\pi/3 - \pi/6)} \\ &= \dfrac{3}{2}e^{i\pi/6}\end{aligned}
3. Moivre : \begin{aligned}z^6 &= 2^6 e^{i\pi} \\ &= -64\end{aligned}
2. \begin{aligned}\dfrac{z'}{z} &= \dfrac{3}{2}e^{i(\pi/3 - \pi/6)} \\ &= \dfrac{3}{2}e^{i\pi/6}\end{aligned}
3. Moivre : \begin{aligned}z^6 &= 2^6 e^{i\pi} \\ &= -64\end{aligned}
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Géométrie du plan complexe⭐⭐⭐
A, B, C ont pour affixes z_A = 1 + 2i, z_B = 4 + 2i et z_C = 1 + 6i.
- Calcule les distances AB, AC et BC (avec les modules).
- Quelle est la nature du triangle ABC ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. \begin{aligned}AB &= |z_B - z_A| \\ &= |3| \\ &= 3\end{aligned} \begin{aligned}AC &= |4i| \\ &= 4\end{aligned} \begin{aligned}BC &= |-3 + 4i| \\ &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5\end{aligned}
2. \begin{aligned}AB^2 + AC^2 &= 9 + 16 \\ &= 25 \\ &= BC^2\end{aligned} Triangle rectangle en A (réciproque de Pythagore), le fameux 3-4-5.
2. \begin{aligned}AB^2 + AC^2 &= 9 + 16 \\ &= 25 \\ &= BC^2\end{aligned} Triangle rectangle en A (réciproque de Pythagore), le fameux 3-4-5.
Exercice 8 : Synthèse type bac⭐⭐⭐
Soit z = \dfrac{\sqrt{6} - i\sqrt{2}}{2}.
- Calcule |z|.
- Montre que z = \sqrt{2}\,e^{-i\pi/6}.
- Détermine le plus petit entier n ≥ 1 tel que z^n soit réel.
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. \begin{aligned}|z|^2 &= \dfrac{6}{4} + \dfrac{2}{4} \\ &= 2\end{aligned} donc |z| = \sqrt{2}.
2. z = \sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2}i\right) et \cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2} ✔.
3. z^n = 2^{n/2} e^{-in\pi/6} est réel ⟺ \dfrac{n\pi}{6} est un multiple de π ⟺ n multiple de 6 : n = 6, et \begin{aligned}z^6 &= 8e^{-i\pi} \\ &= -8\end{aligned}
2. z = \sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2}i\right) et \cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2} ✔.
3. z^n = 2^{n/2} e^{-in\pi/6} est réel ⟺ \dfrac{n\pi}{6} est un multiple de π ⟺ n multiple de 6 : n = 6, et \begin{aligned}z^6 &= 8e^{-i\pi} \\ &= -8\end{aligned}