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Fiche d'exercices Logimaths

Primitives et équations différentielles

Primitives, y'=ay et y'=ay+b ; 6 exercices corrigés : Niveau Terminale Générale.

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Exercice 1 : Équation différentielle y'=ay

  1. Rappeler la forme générale des solutions de y'=3y.
  2. Déterminer la solution telle que y(0)=5.
Voir la correction
a)Les solutions de y'=ay sont {y(x)=Ce^{ax}} : ici y(x) = \mathbf{Ce^{3x}}.
b)\begin{aligned}y(0) &= C \\ &= 5\end{aligned} Donc y(x) = \mathbf{5e^{3x}}.

Exercice 2 : Équation différentielle y'=ay+b

  1. Rappeler la forme générale des solutions de y'=2y+4 (solution particulière constante y_p vérifiant ay_p+b=0, plus la solution de y'=ay).
  2. Déterminer la solution telle que y(0)=1.
Voir la correction
a)Solution particulière constante : \begin{aligned}2y_p+4 &= 0 \\ &\Rightarrow y_p = -2\end{aligned} Solution générale : y(x) = \mathbf{Ce^{2x}-2}.
b)\begin{aligned}y(0) &= C-2 \\ &= 1 \\ &\Rightarrow C = 3\end{aligned} Donc y(x) = \mathbf{3e^{2x}-2}.

Exercice 3 : Calcul de primitives

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué.
  1. f(x) = 3x^2 - 4x + 5 sur \mathbb{R}.
  2. g(x) = e^{-3x} sur \mathbb{R}.
Voir la correction
a)On primitive terme à terme : une primitive de 3x^2 est x^3, une primitive de -4x est -2x^2, une primitive de 5 est 5x. D'où {F(x) = \mathbf{x^3 - 2x^2 + 5x + C}}, C \in \mathbb{R}.
b)Une primitive de e^{ax} est \frac{1}{a}e^{ax}. Ici a=-3, donc G(x) = \mathbf{-\frac{1}{3}e^{-3x} + C}, C \in \mathbb{R}.

Exercice 4 : Primitive avec condition initiale

On considère la fonction f(x) = 6x^2 - 2x + 1 définie sur \mathbb{R}.
  1. Déterminer l'ensemble des primitives de f sur \mathbb{R}.
  2. Déterminer la primitive F de f telle que F(0) = 4.
Voir la correction
a)Une primitive de 6x^2 est 2x^3, une primitive de -2x est -x^2, une primitive de 1 est x. Les primitives de f sont donc les fonctions F(x) = 2x^3 - x^2 + x + C, C \in \mathbb{R}.
b)\begin{aligned}F(0) &= C \\ &= 4\end{aligned} Donc F(x) = \mathbf{2x^3 - x^2 + x + 4}.

Exercice 5 : Vrai ou faux ?

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
  1. Une primitive de x \mapsto e^{2x} sur \mathbb{R} est {x \mapsto \frac{1}{2}e^{2x}}.
  2. Si a < 0, toutes les solutions non nulles de y'=ay tendent vers +\infty quand x tend vers +\infty.
  3. Si a \neq 0, l'équation y'=ay+b admet une unique solution constante.
  4. La fonction nulle est solution de l'équation y'=3y.
  5. Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante.
Voir la correction
a)Vrai. La dérivée de {x \mapsto \frac{1}{2}e^{2x}} est {x \mapsto \frac{1}{2}\times 2 e^{2x} = e^{2x}}, ce qui correspond bien à la fonction de départ.
b)Faux. Les solutions de y'=ay sont {y(x)=Ce^{ax}}. Si a<0, alors e^{ax} \to 0 quand x \to +\infty, donc y(x) \to 0 (et non +\infty), quel que soit C.
c)Vrai. Une solution constante y=y_p vérifie ay_p+b=0, soit y_p=-\frac{b}{a} (unique car a\neq0).
d)Vrai. La fonction nulle correspond au cas C=0 dans y(x)=Ce^{3x} : elle vérifie bien \begin{aligned}y' &= 0 \\ &= 3\times 0 \\ &= 3y\end{aligned}
e)Vrai. C'est une propriété fondamentale des primitives : si F et G sont deux primitives de f sur un intervalle I, alors \begin{aligned}(F-G)' &= f-f \\ &= 0\end{aligned} sur I, donc F-G est constante sur I.

Exercice 6 : Refroidissement d'un liquide (type sujet de bac)

On plonge un thermomètre dans un liquide chaud à la sortie du four. On note \theta(t) la température du liquide (en °C) à l'instant t (en minutes), et \theta_{ext}=20 la température ambiante constante de la pièce. La loi de refroidissement de Newton affirme que la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart de température avec le milieu ambiant : {\theta'(t) = -k\big(\theta(t)-\theta_{ext}\big)}, où k>0 est une constante caractéristique du liquide. On prendra {k=0,05} et on suppose qu'à l'instant t=0, la température du liquide est \theta(0)=90 °C.

Partie A : Mise en équation

  1. Montrer que \theta est solution d'une équation différentielle de la forme y'=ay+b, où l'on précisera a et b.
Voir la correction : Partie A
a)En développant \theta'(t) = -k\theta(t)+k\theta_{ext}, avec {k=0,05} et \theta_{ext}=20, on obtient {\theta'(t) = -0,05\,\theta(t) + 1}. C'est bien une équation de la forme y'=ay+b avec \mathbf{a=-0,05} et \mathbf{b=1}.

Partie B : Résolution

  1. Résoudre l'équation différentielle {y'=-0,05y+1}.
  2. En utilisant la condition initiale \theta(0)=90, déterminer l'expression de \theta(t).
Voir la correction : Partie B
a)Solution particulière constante : -0,05\,y_p+1=0 \Rightarrow y_p = \frac{1}{0,05}=20. Solution générale : y(t) = \mathbf{Ce^{-0,05t}+20}, C \in \mathbb{R}.
b)\begin{aligned}\theta(0) &= C+20 \\ &= 90 \\ &\Rightarrow C = 70\end{aligned} Donc \theta(t) = \mathbf{70e^{-0,05t}+20}.

Partie C : Étude et application numérique

  1. Étudier le sens de variation de \theta sur [0;+\infty[, et interpréter le résultat.
  2. Déterminer la limite de \theta(t) quand t \to +\infty, et interpréter concrètement ce résultat.
  3. Résoudre l'équation \theta(t)=55 et en déduire, à la minute près, au bout de combien de temps la température du liquide atteint 55 °C.
Voir la correction : Partie C
a)\theta'(t) = 70\times(-0,05)e^{-0,05t} = -3,5\,e^{-0,05t}. Comme e^{-0,05t}>0 pour tout t, on a \theta'(t)<0 sur [0;+\infty[ : \theta est strictement décroissante. Le liquide refroidit bien au cours du temps, ce qui est cohérent avec la situation physique.
b)Quand t \to +\infty, e^{-0,05t} \to 0, donc \theta(t) \to \mathbf{20}. Concrètement, la température du liquide se rapproche indéfiniment de la température ambiante de la pièce (20 °C), sans jamais réellement l'atteindre.
c)\begin{aligned}\theta(t) &= 55 \\ &\Leftrightarrow 70e^{-0,05t}+20 = 55 \\ &\Leftrightarrow e^{-0,05t} = \frac{35}{70} \\ &\Leftrightarrow e^{-0,05t} = \frac{1}{2}\end{aligned} En passant au logarithme népérien : -0,05t = \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2, donc \begin{aligned}t &= \frac{\ln 2}{0,05} \\ &= 20\ln 2 \\ &\approx \mathbf{13,86}\end{aligned} Le liquide atteint 55 °C au bout d'environ \mathbf{14} minutes.

Fiche d'exercices rédigée par Logimaths.