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Fiche d'exercices Logimaths

Probabilités conditionnelles

Probabilité conditionnelle, arbre pondéré, probabilités totales et formule de Bayes ; 6 exercices corrigés, Niveau Terminale Techno.

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Exercice 1 : Probabilité conditionnelle à partir d'un tableau

Un lycée compte 200 élèves en Terminale : 120 filles et 80 garçons. Parmi les filles, 90 pratiquent un sport en club ; parmi les garçons, 56 en pratiquent un. On choisit un élève au hasard parmi ces 200 élèves. On note F l'événement « l'élève est une fille » et S l'événement « l'élève pratique un sport en club ».
Sport en club (S)Pas de sport (non-S)Total
Filles (F)9030120
Garçons (non-F)562480
Total14654200
🎭 Outil : masque le tableau pour trouver la bonne fraction
Ce sont exactement les données de l'énoncé ci-dessus. Choisis un « sachant » : tout ce qui n'appartient pas à la bande est masqué. Le dénominateur devient le total de la bande, le numérateur reste la case d'intersection. Sers-t'en pour vérifier les questions c) et d).
Ω 200 F 120 S 146 90
  1. Calculer P(F) et P(S).
  2. Calculer P(F\cap S).
  3. En déduire P_F(S), puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
  4. Calculer P_S(F), la probabilité qu'un élève soit une fille sachant qu'il pratique un sport en club. Comparer avec P_F(S).
Voir la correction
a)\begin{aligned}P(F) &= \dfrac{120}{200} \\ &= \mathbf{0{,}6}\end{aligned} et \begin{aligned}P(S) &= \dfrac{146}{200} \\ &= \mathbf{0{,}73}\end{aligned}
b)90 élèves sont à la fois filles et pratiquantes d'un sport, donc \begin{aligned}P(F\cap S) &= \dfrac{90}{200} \\ &= \mathbf{0{,}45}\end{aligned}
c)\begin{aligned}P_F(S) &= \dfrac{P(F\cap S)}{P(F)} \\ &= \dfrac{0{,}45}{0{,}6} \\ &= \mathbf{0{,}75}\end{aligned} Ainsi, parmi les filles du lycée, 75\,\% pratiquent un sport en club (on retrouve directement \frac{90}{120}=0{,}75 par lecture du tableau).
d)\begin{aligned}P_S(F) &= \dfrac{P(F\cap S)}{P(S)} \\ &= \dfrac{0{,}45}{0{,}73} \\ &\approx \mathbf{0{,}616}\end{aligned} On constate que P_F(S)\approx0{,}75 et {P_S(F)\approx0{,}616} sont bien différentes : c'est normal, ce ne sont pas les mêmes événements conditionnants (attention à ne jamais confondre P_A(B) et P_B(A)).

Exercice 2 : Arbre pondéré à construire et exploiter

Une entreprise de livraison traite des colis dans deux zones : 65\,\% en zone urbaine (U) et 35\,\% en zone rurale (R). Le taux de retard de livraison est de 8\,\% en zone urbaine et de 20\,\% en zone rurale. On note T l'événement « la livraison est en retard ».
  1. Construire l'arbre pondéré associé à cette situation (deux niveaux : zone, puis retard/pas de retard).
  2. Calculer P(U\cap T) et P(R\cap T).
  3. En déduire P(T).
  4. Un client constate que sa livraison est en retard. Quelle est la probabilité qu'elle provienne de la zone urbaine ?
Voir la correction
a)1er niveau : P(U)=0{,}65 et P(R)=0{,}35 (somme = 1). 2ᵉ niveau, depuis U : {P_U(T)=0{,}08} et P_U(\bar T)=0{,}92 ; depuis R : P_R(T)=0{,}20 et P_R(\bar T)=0{,}80.
b)Par la règle du produit sur chaque chemin : \begin{aligned}P(U\cap T) &= 0{,}65\times0{,}08 \\ &= \mathbf{0{,}052}\end{aligned} et \begin{aligned}P(R\cap T) &= 0{,}35\times0{,}20 \\ &= \mathbf{0{,}07}\end{aligned}
c)U et R forment une partition de l'univers, donc par la formule des probabilités totales : \begin{aligned}P(T) &= P(U\cap T)+P(R\cap T) \\ &= 0{,}052+0{,}07 \\ &= \mathbf{0{,}122}\end{aligned}
d)On cherche \begin{aligned}P_T(U) &= \dfrac{P(U\cap T)}{P(T)} \\ &= \dfrac{0{,}052}{0{,}122} \\ &\approx \mathbf{0{,}426}\end{aligned} Sachant que la livraison est en retard, elle a environ 42{,}6\,\% de chances de venir de la zone urbaine (et donc environ 57{,}4\,\% de la zone rurale, bien que celle-ci ne représente que 35\,\% du volume total : les retards y sont proportionnellement plus fréquents).

Exercice 3 : Vrai ou faux ? (justifier chaque réponse)

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier. A et B désignent deux événements d'un même univers, de probabilités non nulles.
  1. Pour tout événement A de probabilité non nulle : P_A(B)+P_A(\bar B)=1.
  2. Si A et B sont incompatibles (A\cap B=\emptyset), alors A et B sont indépendants.
  3. Pour tout événement B : {P(B)=P(A\cap B)+P(\bar A\cap B)}.
  4. En général, P_A(B)=P_B(A).
  5. Si A et B sont indépendants, alors \bar A et \bar B le sont aussi.
Voir la correction
1)Vrai. Dans l'univers réduit à A, les événements B et \bar B forment une partition, donc leurs probabilités conditionnelles sachant A s'additionnent à 1 (c'est la règle des nœuds appliquée après le nœud A sur l'arbre).
2)Faux. Si A\cap B=\emptyset, alors P(A\cap B)=0. Or P(A)\times P(B)\neq0 puisque les deux probabilités sont non nulles. Donc {P(A\cap B)\neq P(A)\times P(B)} : les événements ne sont pas indépendants. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.
3)Vrai. A et \bar A forment une partition de l'univers, donc la formule des probabilités totales appliquée à B donne exactement cette égalité.
4)Faux en général. On a P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)} et P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} : ces deux quantités ne coïncident que si P(A)=P(B). C'est l'erreur classique de confusion entre les deux probabilités conditionnelles.
5)Vrai. C'est une propriété du cours : lorsque A et B sont indépendants, chacun des couples (\bar A,B), (A,\bar B) et (\bar A,\bar B) l'est également.

Exercice 4 : Formule des probabilités totales

Une usine fabrique des pièces sur trois lignes de production : la ligne A produit 45\,\% des pièces, la ligne B en produit 35\,\% et la ligne C en produit 20\,\%. Les taux de pièces défectueuses sont respectivement 3\,\%, 5\,\% et 6\,\%. On prélève une pièce au hasard dans la production totale et on note D l'événement « la pièce est défectueuse ».
  1. Vérifier que les événements « la pièce vient de A », « vient de B », « vient de C » forment une partition de l'univers.
  2. Calculer la probabilité qu'une pièce prise au hasard vienne de la ligne C et soit défectueuse.
  3. Montrer que P(D)=0{,}043.
  4. Sachant que la pièce est défectueuse, quelle est la probabilité qu'elle provienne de la ligne C ?
Voir la correction
a)\begin{aligned}P(A)+P(B)+P(C) &= 0{,}45+0{,}35+0{,}20 \\ &= 1\end{aligned} les trois événements sont deux à deux incompatibles (une pièce provient d'une seule ligne) et couvrent tout l'univers : ils forment bien une partition.
b)\begin{aligned}P(C\cap D) &= P(C)\times P_C(D) \\ &= 0{,}20\times0{,}06 \\ &= \mathbf{0{,}012}\end{aligned}
c)D'après la formule des probabilités totales : P(D)=P(A)P_A(D)+P(B)P_B(D)+P(C)P_C(D), soit \begin{aligned}P(D) &= 0{,}45\times0{,}03+0{,}35\times0{,}05+0{,}20\times0{,}06 \\ &= 0{,}0135+0{,}0175+0{,}012 \\ &= \mathbf{0{,}043}\end{aligned}
d)\begin{aligned}P_D(C) &= \dfrac{P(C\cap D)}{P(D)} \\ &= \dfrac{0{,}012}{0{,}043} \\ &\approx \mathbf{0{,}279}\end{aligned} Sachant qu'une pièce est défectueuse, elle a donc environ 27{,}9\,\% de chances de provenir de la ligne C.

Exercice 5 : Problème : contrôle qualité en usine

Une usine d'électronique fabrique des composants sur deux chaînes de production. La chaîne 1 assure 70\,\% de la production avec un taux de défaut de 2\,\% ; la chaîne 2 assure les 30\,\% restants avec un taux de défaut de 5\,\%. On prélève un composant au hasard dans la production totale. On note C_1, C_2 et D les événements « le composant vient de la chaîne 1 », « vient de la chaîne 2 » et « le composant est défectueux ».

Partie A : Modélisation par un arbre

  1. Construire l'arbre pondéré de cette situation.
  2. Calculer P(C_1\cap D) et P(C_2\cap D).
  3. En déduire que P(D)=0{,}029.
Voir la correction : Partie A
a)1er niveau : P(C_1)=0{,}7, P(C_2)=0{,}3. 2ᵉ niveau depuis C_1 : P_{C_1}(D)=0{,}02, {P_{C_1}(\bar D)=0{,}98} ; depuis C_2 : P_{C_2}(D)=0{,}05, {P_{C_2}(\bar D)=0{,}95}.
b)\begin{aligned}P(C_1\cap D) &= 0{,}7\times0{,}02 \\ &= \mathbf{0{,}014}\end{aligned} et \begin{aligned}P(C_2\cap D) &= 0{,}3\times0{,}05 \\ &= \mathbf{0{,}015}\end{aligned}
c)C_1,C_2 formant une partition, \begin{aligned}P(D) &= P(C_1\cap D)+P(C_2\cap D) \\ &= 0{,}014+0{,}015 \\ &= \mathbf{0{,}029}\end{aligned}

Partie B : Probabilité conditionnelle (formule de Bayes)

  1. Un contrôle qualité détecte qu'un composant est défectueux. Calculer la probabilité qu'il provienne de la chaîne 2.
  2. En déduire la probabilité qu'il provienne de la chaîne 1. Commenter.
Voir la correction : Partie B
a)\begin{aligned}P_D(C_2) &= \dfrac{P(C_2\cap D)}{P(D)} \\ &= \dfrac{0{,}015}{0{,}029} \\ &\approx \mathbf{0{,}517}\end{aligned}
b)Comme C_1 et C_2 forment une partition, \begin{aligned}P_D(C_1) &= 1-P_D(C_2) \\ &\approx 1-0{,}517 \\ &= \mathbf{0{,}483}\end{aligned} Bien que la chaîne 2 ne produise que 30\,\% des composants, elle est responsable d'environ la moitié des pièces défectueuses : son taux de défaut, plus de deux fois supérieur à celui de la chaîne 1, compense largement son plus faible volume de production.

Partie C : Deux prélèvements indépendants

  1. On prélève deux composants au hasard dans la production totale, de manière indépendante (production supposée suffisamment grande pour assimiler ces tirages à des tirages avec remise). Calculer la probabilité qu'aucun des deux composants ne soit défectueux.
  2. En déduire la probabilité qu'au moins un des deux composants soit défectueux.
Voir la correction : Partie C
a)Chaque prélèvement est non défectueux avec probabilité \begin{aligned}P(\bar D) &= 1-0{,}029 \\ &= 0{,}971\end{aligned} Les deux tirages étant indépendants, \begin{aligned}P(\bar D_1\cap \bar D_2) &= 0{,}971\times0{,}971 \\ &= 0{,}971^2 \\ &\approx \mathbf{0{,}943}\end{aligned}
b)L'événement « au moins un défectueux » est l'événement contraire de « aucun défectueux » : \begin{aligned}P(\text{au moins un défectueux}) &= 1-0{,}971^2 \\ &\approx 1-0{,}943 \\ &= \mathbf{0{,}057}\end{aligned}

Exercice 6 : Indépendance : lancers de dé

On lance un dé équilibré à 6 faces et on note le résultat. Soit A l'événement « obtenir un nombre pair » et B l'événement « obtenir un multiple de 3 ».
  1. Donner P(A) et P(B).
  2. Déterminer l'événement A\cap B et calculer sa probabilité.
  3. Les événements A et B sont-ils indépendants ? Justifier.
  4. Soit C l'événement « obtenir 1 ». Les événements A et C sont-ils indépendants ?
Voir la correction
a)A=\{2,4,6\} donc \begin{aligned}P(A) &= \dfrac{3}{6} \\ &= \dfrac{1}{2}\end{aligned} B=\{3,6\} donc \begin{aligned}P(B) &= \dfrac{2}{6} \\ &= \dfrac{1}{3}\end{aligned}
b)A\cap B=\{6\} (seul multiple de 3 qui soit pair parmi 1 à 6), donc P(A\cap B)=\dfrac{1}{6}.
c)\begin{aligned}P(A)\times P(B) &= \dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3} \\ &= \dfrac{1}{6} \\ &= P(A\cap B)\end{aligned} L'égalité P(A\cap B)=P(A)\times P(B) étant vérifiée, A et B sont indépendants.
d)C=\{1\}, donc P(C)=\dfrac{1}{6}. Or A\cap C=\emptyset (1 n'est pas pair), donc P(A\cap C)=0. Comme \begin{aligned}P(A)\times P(C) &= \dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{6} \\ &= \dfrac{1}{12} \\ &\neq 0\end{aligned} on a P(A\cap C)\neq P(A)\times P(C) : les événements A et C ne sont pas indépendants (ils sont même incompatibles, ce qui : comme vu à l'exercice 3 : exclut l'indépendance puisque leurs probabilités sont non nulles).

Fiche d'exercices rédigée par Logimaths.