Fiche d'exercices Logimaths | Terminale spécialité
Fiche d'exercices : Les suites (limites)
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Limites à vue⭐
Donne la limite de chaque suite (terme général) :
- n^3 + 2n
- 7 - \dfrac{3}{n}
- \dfrac{5}{\sqrt{n}}
- (-1)^n \times 2
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. +\infty + \infty = +\infty.
2. 3/n \to 0 : limite 7.
3. \sqrt{n} \to +\infty : limite 0.
4. La suite oscille entre 2 et −2 : pas de limite (divergente sans limite).
2. 3/n \to 0 : limite 7.
3. \sqrt{n} \to +\infty : limite 0.
4. La suite oscille entre 2 et −2 : pas de limite (divergente sans limite).
Exercice 2 : FI : détecter puis lever⭐
Pour chaque limite, dis s'il y a une forme indéterminée, puis conclus :
- \lim\,(n^2 + 3n)
- \lim\,(n - n^2)
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. +\infty + \infty : pas de FI, limite +\infty.
2. FI « ∞ − ∞ ». On factorise par le terme dominant : n - n^2 = n^2\left(\tfrac{1}{n} - 1\right).
Or n^2 \to +\infty et \tfrac{1}{n} - 1 \to -1 : limite -\infty.
2. FI « ∞ − ∞ ». On factorise par le terme dominant : n - n^2 = n^2\left(\tfrac{1}{n} - 1\right).
Or n^2 \to +\infty et \tfrac{1}{n} - 1 \to -1 : limite -\infty.
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Lever les indéterminations⭐⭐
Détermine chaque limite en factorisant :
- u_n = 2n^2 - 7n + 3
- v_n = \dfrac{3n + 1}{n + 2}
- w_n = \dfrac{n^2 + 1}{2n}
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. n^2\left(2 - \tfrac{7}{n} + \tfrac{3}{n^2}\right) \to +\infty \times 2 = +\infty.
2. \begin{aligned}\dfrac{n(3 + 1/n)}{n(1 + 2/n)} &= \dfrac{3 + 1/n}{1 + 2/n} \to \dfrac{3}{1} \\ &= 3\end{aligned}
3. \dfrac{n^2(1 + 1/n^2)}{2n} = \dfrac{n(1 + 1/n^2)}{2} \to +\infty.
2. \begin{aligned}\dfrac{n(3 + 1/n)}{n(1 + 2/n)} &= \dfrac{3 + 1/n}{1 + 2/n} \to \dfrac{3}{1} \\ &= 3\end{aligned}
3. \dfrac{n^2(1 + 1/n^2)}{2n} = \dfrac{n(1 + 1/n^2)}{2} \to +\infty.
Exercice 4 : Comparaison⭐⭐
- Justifie que n^2 + \sin(n) \geq n^2 - 1 pour tout n.
- Déduis-en \lim\,(n^2 + \sin n).
- Pourquoi le théorème des gendarmes n'était-il pas nécessaire ici ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. \sin(n) \geq -1 pour tout n, d'où l'inégalité.
2. n^2 - 1 \to +\infty, donc par comparaison n^2 + \sin n \to +\infty.
3. Pour une limite INFINIE, un seul gendarme (minorant) suffit : l'encadrement complet ne sert que pour les limites finies.
2. n^2 - 1 \to +\infty, donc par comparaison n^2 + \sin n \to +\infty.
3. Pour une limite INFINIE, un seul gendarme (minorant) suffit : l'encadrement complet ne sert que pour les limites finies.
Exercice 5 : Gendarmes⭐⭐
Soit u_n = 4 + \dfrac{(-1)^n}{n} pour n ≥ 1.
- Encadre \dfrac{(-1)^n}{n}.
- Détermine \lim u_n en citant le théorème utilisé.
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. -1 \leq (-1)^n \leq 1 donc -\tfrac{1}{n} \leq \tfrac{(-1)^n}{n} \leq \tfrac{1}{n}.
2. Les deux bornes tendent vers 0 : par le théorème des gendarmes, \tfrac{(-1)^n}{n} \to 0 et donc u_n \to 4.
2. Les deux bornes tendent vers 0 : par le théorème des gendarmes, \tfrac{(-1)^n}{n} \to 0 et donc u_n \to 4.
Exercice 6 : Suites géométriques et q^n⭐⭐
Donne la limite de chaque suite :
- 0{,}85^n
- 5 \times 1{,}02^n
- 3 - 2 \times 0{,}5^n
- (-2)^n
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. |q| < 1 : limite 0.
2. q > 1 : 1{,}02^n \to +\infty, limite +\infty (même une croissance de 2 % finit par exploser !).
3. 0{,}5^n \to 0 : limite 3.
4. q ≤ −1 : pas de limite (oscillations de plus en plus violentes).
2. q > 1 : 1{,}02^n \to +\infty, limite +\infty (même une croissance de 2 % finit par exploser !).
3. 0{,}5^n \to 0 : limite 3.
4. q ≤ −1 : pas de limite (oscillations de plus en plus violentes).
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Convergence monotone (type bac)⭐⭐⭐
La suite (u_n) vérifie u_0 = 0 et {u_{n+1} = \sqrt{3u_n + 4}}.
- On admet (récurrences classiques) que (u_n) est croissante et que u_n \leq 4 pour tout n. Que peut-on conclure ?
- On admet que la limite L vérifie {L = \sqrt{3L + 4}}. Détermine L.
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. Croissante ET majorée (par 4) : d'après le théorème de convergence monotone, la suite converge vers une limite L ≤ 4.
2. {L = \sqrt{3L + 4}} donne L^2 = 3L + 4, soit \begin{aligned}L^2 - 3L - 4 &= 0 \\ &= (L-4)(L+1)\end{aligned} D'où L = 4 ou L = −1.
Comme la suite est positive (racine carrée), L = 4.
2. {L = \sqrt{3L + 4}} donne L^2 = 3L + 4, soit \begin{aligned}L^2 - 3L - 4 &= 0 \\ &= (L-4)(L+1)\end{aligned} D'où L = 4 ou L = −1.
Comme la suite est positive (racine carrée), L = 4.
🧮 Rappel Calculatrice
Pour l'exercice 8, la table de ta calculatrice donne le rang directement : entre la suite sous forme explicite m_n = 200 \times 0{,}9^n, puis fais défiler jusqu'à passer sous 50 (tu dois trouver n = 14). Le nom du menu change d'une marque à l'autre : voici le rappel express, modèle par modèle.
NumWorks (l'appli Suites)
- touche 🏠, appli Suites, ajoute une suite en forme explicite : u(n) = 200×0.9^n ;
- onglet Tableau : fais défiler la colonne des termes jusqu'à passer sous 50.
Casio Graph 35+E II (même chemin sur Graph 90+E)
- MENU → Récurrence, puis F3 TYPE pour choisir la forme explicite an = et saisis 200×0.9^n ;
- F5 SET : Start 0, End 20, puis F6 TABLE.
TI-83 Premium CE (commandes en français)
- mode : passe le type de tracé sur SUITE ;
- touche f(x) : nMin = 0 et u(n) = 200×0.9^n, puis 2nde graphe (table).
Le pas à pas complet, y compris pour une suite définie par récurrence, est dans la fiche de cours, bloc 🧮.
Attention : la table donne le rang, elle ne le justifie pas. Au bac, il faut le calcul (ln pour les suites géométriques).
Exercice 8 : Le seuil et la décroissance radioactive⭐⭐⭐
Un échantillon perd 10 % de sa masse chaque année : m_n = 200 \times 0{,}9^n (en grammes).
- Quelle est la limite de (m_n) ? Interprète.
- Écris un algorithme (langage naturel ou Python) qui renvoie le premier rang n tel que m_n < 50.
- Vérifie que n = 14 convient (à la calculatrice : 0{,}9^{13} \approx 0{,}254 et {0{,}9^{14} \approx 0{,}229}).
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. 0 < 0,9 < 1 donc 0{,}9^n \to 0 et m_n \to 0 : la masse s'épuise (sans jamais s'annuler exactement).
2.
3. \begin{aligned}m_{13} &= 200 \times 0{,}254 \\ &\approx 50{,}9 \\ &\geq 50\end{aligned} et m_{14} \approx 45{,}8 < 50 : le seuil est bien franchi au rang 14.
2.
n = 0 ; m = 200 ; tant que m >= 50 : n = n + 1 ; m = 0.9 * m ; renvoyer n.3. \begin{aligned}m_{13} &= 200 \times 0{,}254 \\ &\approx 50{,}9 \\ &\geq 50\end{aligned} et m_{14} \approx 45{,}8 < 50 : le seuil est bien franchi au rang 14.