Fiche d'exercices Logimaths | Terminale spécialité
Fiche d'exercices : Fonctions trigonométriques
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Valeurs remarquables⭐
Sans calculatrice, donne :
- \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right), \sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) et \cos(\pi)
- \sin\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) et \cos\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) (pense au cercle !)
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. \dfrac{1}{2} ; \dfrac{\sqrt{2}}{2} ; −1.
2. \begin{aligned}\sin\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) &= \sin\!\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) \\ &= \sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \\ &= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned} \begin{aligned}\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) &= \cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) \\ &= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned} (cos est paire).
2. \begin{aligned}\sin\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) &= \sin\!\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) \\ &= \sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \\ &= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned} \begin{aligned}\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) &= \cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) \\ &= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned} (cos est paire).
Exercice 2 : cos² + sin² = 1⭐
On sait que \sin(x) = \dfrac{3}{5} avec x \in \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right].
- Calcule \cos(x).
- Pourquoi le signe de cos(x) est-il connu ici ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. \begin{aligned}\cos^2 x &= 1 - \sin^2 x \\ &= 1 - \dfrac{9}{25} \\ &= \dfrac{16}{25}\end{aligned} donc \cos x = \pm\dfrac{4}{5}. Sur \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right], cos est positif : \cos x = \dfrac{4}{5}.
2. Le point est dans le quart de cercle en haut à droite : abscisse positive. Sans l'intervalle, deux valeurs opposées seraient possibles.
2. Le point est dans le quart de cercle en haut à droite : abscisse positive. Sans l'intervalle, deux valeurs opposées seraient possibles.
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Équations sur un intervalle⭐⭐
Résous sur ]-\pi\,;\,\pi] :
- \cos(x) = \dfrac{1}{2}
- \sin(x) = -1
- \cos(x) = 2
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. Deux points du cercle d'abscisse \dfrac{1}{2} : S = \left\{-\dfrac{\pi}{3}\,;\,\dfrac{\pi}{3}\right\}.
2. Un seul point d'ordonnée −1 (le bas du cercle) : S = \left\{-\dfrac{\pi}{2}\right\}.
3. 2 > 1 : aucune solution, le cosinus ne dépasse jamais 1.
2. Un seul point d'ordonnée −1 (le bas du cercle) : S = \left\{-\dfrac{\pi}{2}\right\}.
3. 2 > 1 : aucune solution, le cosinus ne dépasse jamais 1.
Exercice 4 : Équation dans ℝ⭐⭐
Résous dans ℝ l'équation \sin(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} (donne les deux familles de solutions).
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
Sur un tour, l'ordonnée \dfrac{\sqrt{2}}{2} est atteinte en \dfrac{\pi}{4} et en \pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}.
Dans ℝ : x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi ou x = \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi, avec k \in \mathbb{Z} (le cercle se reparcourt à chaque tour).
Dans ℝ : x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi ou x = \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi, avec k \in \mathbb{Z} (le cercle se reparcourt à chaque tour).
Exercice 5 : Inéquation⭐⭐
Résous sur [0\,;\,2\pi[ l'inéquation {\cos(x) \geq \dfrac{1}{2}}.
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
Égalité en \dfrac{\pi}{3} et \dfrac{5\pi}{3}. On garde l'arc du cercle où l'abscisse dépasse \dfrac{1}{2} (autour de 0) :
S = \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{3}\right] \cup \left[\dfrac{5\pi}{3}\,;\,2\pi\right[.
S = \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{3}\right] \cup \left[\dfrac{5\pi}{3}\,;\,2\pi\right[.
Exercice 6 : Parité et périodicité⭐⭐
Soit f(x) = \sin(3x) + \sin(x).
- Montre que f est impaire.
- Montre que f est périodique de période 2π.
- Sur quel intervalle minimal suffit-il alors d'étudier f pour tout connaître ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. \begin{aligned}f(-x) &= \sin(-3x) + \sin(-x) \\ &= -\sin(3x) - \sin(x) \\ &= -f(x)\end{aligned} : impaire.
2. \begin{aligned}f(x + 2\pi) &= \sin(3x + 6\pi) + \sin(x + 2\pi) \\ &= \sin(3x) + \sin(x) \\ &= f(x)\end{aligned} (3 tours et 1 tour complets).
3. [0\,;\,\pi] : la parité donne [-\pi\,;\,0], puis la période 2π donne tout ℝ.
2. \begin{aligned}f(x + 2\pi) &= \sin(3x + 6\pi) + \sin(x + 2\pi) \\ &= \sin(3x) + \sin(x) \\ &= f(x)\end{aligned} (3 tours et 1 tour complets).
3. [0\,;\,\pi] : la parité donne [-\pi\,;\,0], puis la période 2π donne tout ℝ.
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Dérivées⭐⭐⭐
Dérive :
- f(x) = \cos(5x)
- g(x) = x\sin(x)
- h(x) = \sin^2(x) (forme u² !)
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. f'(x) = -5\sin(5x).
2. Produit : g'(x) = \sin(x) + x\cos(x).
3. (u^2)' = 2u'u avec u = \sin x : {h'(x) = 2\cos(x)\sin(x)}.
2. Produit : g'(x) = \sin(x) + x\cos(x).
3. (u^2)' = 2u'u avec u = \sin x : {h'(x) = 2\cos(x)\sin(x)}.
Exercice 8 : Étude complète type bac⭐⭐⭐
Soit f(x) = \sin(2x) sur \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right].
- Calcule f'(x).
- Étudie le signe de f′ sur l'intervalle (raisonne sur 2x).
- Dresse le tableau de variations et donne le maximum de f.
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. f'(x) = 2\cos(2x).
2. Quand x parcourt \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right], 2x parcourt [0\,;\,\pi]. Or cos est positif avant \dfrac{\pi}{2} et négatif après : f′ ≥ 0 sur \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{4}\right] et f′ ≤ 0 ensuite.
3. f croît de f(0) = 0 au maximum \begin{aligned}f\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) &= \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \\ &= 1\end{aligned} puis décroît jusqu'à \begin{aligned}f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) &= \sin(\pi) \\ &= 0\end{aligned}
2. Quand x parcourt \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right], 2x parcourt [0\,;\,\pi]. Or cos est positif avant \dfrac{\pi}{2} et négatif après : f′ ≥ 0 sur \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{4}\right] et f′ ≤ 0 ensuite.
3. f croît de f(0) = 0 au maximum \begin{aligned}f\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) &= \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \\ &= 1\end{aligned} puis décroît jusqu'à \begin{aligned}f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) &= \sin(\pi) \\ &= 0\end{aligned}