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Fiche d'exercices Logimaths

Variables aléatoires

Espérance, variance et écart-type d'un jeu : Niveau Terminale Techno.

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Exercice 1 : Espérance d'un jeu

Un jeu rapporte un gain X prenant les valeurs -5\,;0\,;10 avec les probabilités 0{,}5\,;0{,}3\,;0{,}2.
  1. Vérifier que la somme des probabilités vaut 1.
  2. Calculer E(X).
  3. Ce jeu est-il favorable au joueur ? Justifier.
Voir la correction
a)0{,}5+0{,}3+0{,}2 = \mathbf{1} ✓.
b)\begin{aligned}E(X) &= -5\times0{,}5+0\times0{,}3+10\times0{,}2 \\ &= -2{,}5+0+2 \\ &= \mathbf{-0{,}5}\end{aligned}
c)E(X)<0 : le jeu est défavorable au joueur (en moyenne, il perd 0{,}5 par partie).

Exercice 2 : Variance et écart-type

On reprend la variable aléatoire X de l'exercice précédent (E(X)=-0{,}5).
  1. Calculer E(X^2).
  2. En déduire V(X), puis l'écart-type \sigma(X) (arrondi au centième).
Voir la correction
a)\begin{aligned}E(X^2) &= (-5)^2\times0{,}5+0^2\times0{,}3+10^2\times0{,}2 \\ &= 12{,}5+0+20 \\ &= \mathbf{32{,}5}\end{aligned}
b)\begin{aligned}V(X) &= 32{,}5-(-0{,}5)^2 \\ &= 32{,}5-0{,}25 \\ &= 32{,}25\end{aligned}   \begin{aligned}\sigma(X) &= \sqrt{32{,}25} \\ &\approx \mathbf{5{,}68}\end{aligned}

Exercice 3 : Compléter une loterie

Une association organise une tombola. La variable aléatoire X représente le gain (en euros) d'un billet. Sa loi de probabilité est donnée, incomplète, dans le tableau suivant :
x_i0520100
P(X=x_i)0{,}60{,}25a0{,}05
  1. Déterminer la valeur de a.
  2. Calculer l'espérance E(X) du gain d'un billet.
Voir la correction
a)La somme des probabilités vaut 1 : {0{,}6+0{,}25+a+0{,}05=1}, donc \begin{aligned}a &= 1-0{,}9 \\ &= \mathbf{0{,}10}\end{aligned}
b)\begin{aligned}E(X) &= 0\times0{,}6+5\times0{,}25+20\times0{,}10+100\times0{,}05 \\ &= 0+1{,}25+2+5 \\ &= \mathbf{8{,}25}\end{aligned} €.

Exercice 4 : Variance et écart-type d'une loterie

On reprend la variable aléatoire X de l'exercice 3, de loi complète P(X=0)=0{,}6\,;\ P(X=5)=0{,}25\,;\ P(X=20)=0{,}10\,;\ P(X=100)=0{,}05, avec E(X)=8{,}25.
  1. Calculer E(X^2).
  2. En déduire V(X) puis \sigma(X) (arrondi au centième).
Voir la correction
a)E(X^2) = 0^2\times0{,}6+5^2\times0{,}25+20^2\times0{,}10+100^2\times0{,}05
 = 0+6{,}25+40+500 = \mathbf{546{,}25}.
b)\begin{aligned}V(X) &= 546{,}25-8{,}25^2 \\ &= 546{,}25-68{,}0625 \\ &= \mathbf{478{,}1875}\end{aligned}
 \begin{aligned}\sigma(X) &= \sqrt{478{,}1875} \\ &\approx \mathbf{21{,}87}\end{aligned} €.

Exercice 5 : Vrai ou faux

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier (ou donner un contre-exemple).
  1. Si E(X)=0, alors la variable aléatoire X est nulle (elle ne prend que la valeur 0).
  2. La somme des probabilités d'une loi de probabilité vaut toujours 1.
  3. On a toujours V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2.
  4. Si a>0, alors \sigma(aX)=a\,\sigma(X).
  5. Un jeu d'argent est favorable au joueur lorsque E(X)<0.
Voir la correction
1.Faux. Contre-exemple : si X prend les valeurs -1 et 1 chacune avec probabilité 0{,}5, alors \begin{aligned}E(X) &= -0{,}5+0{,}5 \\ &= 0\end{aligned} mais X n'est pas la variable nulle.
2.Vrai. C'est une propriété fondamentale de toute loi de probabilité : les x_i décrivent tous les cas possibles, qui sont incompatibles, donc leurs probabilités s'ajoutent jusqu'à 1.
3.Vrai. C'est la formule de König-Huygens, toujours valable, obtenue en développant V(X)=\sum p_i(x_i-E(X))^2.
4.Vrai. En général \sigma(aX)=|a|\,\sigma(X) ; si a>0, alors |a|=a, donc \sigma(aX)=a\,\sigma(X).
5.Faux. Un jeu est favorable au joueur lorsque E(X)>0 (gain moyen positif). Si E(X)<0, le jeu est défavorable au joueur.

Exercice 6 : Jeu équitable : tombola associative

Une association vend des billets de tombola à 5€. Un unique lot de 500€ est à gagner, avec une probabilité de 0{,}01 pour un billet donné (sinon, le billet ne rapporte rien). On note X le gain algébrique (gain moins mise) d'un joueur.
  1. Donner la loi de probabilité de X.
  2. Calculer E(X). Le jeu est-il équitable ?
  3. L'association décide de baisser le prix du billet à 4€ (le lot et la probabilité de gain restent inchangés). Le jeu reste-t-il équitable ? Est-il maintenant favorable au joueur ?
Voir la correction
a)Si le joueur gagne (probabilité 0{,}01) : gain net 500-5=495 €. S'il perd (probabilité 0{,}99) : gain net -5 €.
x_i-5495
P(X=x_i)0{,}990{,}01
b)\begin{aligned}E(X) &= 0{,}99\times(-5)+0{,}01\times495 \\ &= -4{,}95+4{,}95 \\ &= \mathbf{0}\end{aligned} Le jeu est exactement équitable.
c)Avec un billet à 4€ : gain net 500-4=496 € en cas de succès, -4 € sinon.
 \begin{aligned}E(X) &= 0{,}99\times(-4)+0{,}01\times496 \\ &= -3{,}96+4{,}96 \\ &= \mathbf{1}\end{aligned} €.
Le jeu n'est plus équitable : comme {E(X)=1>0}, il devient favorable au joueur (ce qui serait risqué pour l'équilibre financier de l'association si elle vendait beaucoup de billets).

Exercice 7 : Problème : contrôle qualité en atelier

Une entreprise fabrique des composants électroniques. Chaque composant fini passe un test de contrôle qui détecte un certain nombre de défauts. On note X le nombre de défauts détectés sur un composant, avec la loi de probabilité suivante :
x_i0123
P(X=x_i)0{,}750{,}150{,}070{,}03

Partie A : Loi de X

  1. Vérifier que le tableau ci-dessus définit bien une loi de probabilité.
  2. Calculer l'espérance E(X) et interpréter le résultat dans le contexte.
  3. Calculer la variance V(X) puis l'écart-type \sigma(X) (arrondi au millième).
Voir la correction : Partie A
a)0{,}75+0{,}15+0{,}07+0{,}03 = \mathbf{1} ✓. Le tableau définit bien une loi de probabilité.
b)\begin{aligned}E(X) &= 0\times0{,}75+1\times0{,}15+2\times0{,}07+3\times0{,}03 \\ &= 0+0{,}15+0{,}14+0{,}09 \\ &= \mathbf{0{,}38}\end{aligned}
En moyenne, un composant présente 0{,}38 défaut, soit un peu moins d'un défaut par composant.
c)\begin{aligned}E(X^2) &= 0^2\times0{,}75+1^2\times0{,}15+2^2\times0{,}07+3^2\times0{,}03 \\ &= 0{,}15+0{,}28+0{,}27 \\ &= 0{,}70\end{aligned}
 \begin{aligned}V(X) &= 0{,}70-0{,}38^2 \\ &= 0{,}70-0{,}1444 \\ &= \mathbf{0{,}5556}\end{aligned}   \begin{aligned}\sigma(X) &= \sqrt{0{,}5556} \\ &\approx \mathbf{0{,}745}\end{aligned}

Partie B : Vers la loi binomiale

Un composant est déclaré accepté s'il ne présente aucun défaut (X=0), donc avec une probabilité p=0{,}75. On prélève un lot de n=50 composants fabriqués de façon indépendante, et on note Z le nombre de composants acceptés dans ce lot.
  1. Justifier que Z suit une loi binomiale, et donner ses paramètres.
  2. Calculer E(Z) et \sigma(Z) (arrondi au centième).
Voir la correction : Partie B
a)On répète n=50 fois, de manière indépendante, une épreuve de Bernoulli à deux issues (« accepté » / « refusé ») de même probabilité de succès p=0{,}75. Donc Z suit la loi binomiale \mathcal B(50\,;\,0{,}75).
b)\begin{aligned}E(Z) &= np \\ &= 50\times0{,}75 \\ &= \mathbf{37{,}5}\end{aligned} composants acceptés en moyenne.
 \begin{aligned}\sigma(Z) &= \sqrt{np(1-p)} \\ &= \sqrt{50\times0{,}75\times0{,}25} \\ &= \sqrt{9{,}375} \\ &\approx \mathbf{3{,}06}\end{aligned}

Partie C : Rentabilité de l'atelier

Chaque composant accepté rapporte un bénéfice net de 8€ à l'entreprise ; chaque composant refusé engendre un coût de reprise de 12€. Soit W le résultat financier (en euros) associé à un composant fabriqué.
  1. Donner la loi de probabilité de W.
  2. Calculer E(W) et conclure sur la rentabilité moyenne de la fabrication d'un composant.
Voir la correction : Partie C
a)W=8 si le composant est accepté (probabilité 0{,}75), W=-12 s'il est refusé (probabilité 0{,}25).
w_i-128
P(W=w_i)0{,}250{,}75
b)\begin{aligned}E(W) &= 0{,}75\times8+0{,}25\times(-12) \\ &= 6-3 \\ &= \mathbf{3}\end{aligned} €.
Comme E(W)>0, la fabrication d'un composant rapporte en moyenne 3€ à l'entreprise : le procédé est rentable malgré le coût de reprise des pièces défectueuses.

Fiche d'exercices rédigée par Logimaths.