Fiche de cours Logimaths
Fiche de cours : La fonction inverse
Variations, limites et courbe (Terminale Technologique)
I. Définition
Définition
La fonction inverse est la fonction f(x)=\dfrac1x, définie sur \mathbb R^*=\mathbb R\setminus\{0\} (c'est-à-dire pour tout réel x différent de 0).
Remarque : 0 n'a pas d'inverse, car il n'existe aucun réel x tel que 0\times x=1. C'est pourquoi 0 est exclu de l'ensemble de définition.
Exemple
\begin{aligned}f(4) &= \dfrac14 \\ &= 0{,}25\end{aligned} \begin{aligned}f(-0{,}5) &= \dfrac{1}{-0{,}5} \\ &= -2\end{aligned} \begin{aligned}f\left(\dfrac23\right) &= \dfrac{1}{2/3} \\ &= \dfrac32\end{aligned}
II. Sens de variation
Théorème
La fonction inverse est strictement décroissante sur ]0;+\infty[ et strictement décroissante sur {]-\infty;0[}. Attention : elle n'est pas décroissante sur \mathbb R^* tout entier, car \mathbb R^* n'est pas un intervalle (il est « coupé » en deux par l'interdiction de 0).
Erreur classique : beaucoup d'élèves écrivent que « f est décroissante sur \mathbb R^* » et en déduisent, par exemple, que {-2<3 \Rightarrow f(-2)>f(3)}. C'est faux ici : f(-2)=-0{,}5 et {f(3)=0{,}33...}, donc f(-2)<f(3) ! La règle de décroissance ne s'applique que si les deux nombres comparés sont du même signe (tous les deux dans ]0;+\infty[, ou tous les deux dans {]-\infty;0[}).
Propriété (dérivée)
La fonction inverse est dérivable sur \mathbb R^* et f'(x)=-\dfrac1{x^2}. Comme x^2>0 pour tout x\neq0, on a f'(x)<0 sur chacun des deux intervalles, ce qui confirme la stricte décroissance.
| x | -\infty | 0 | +\infty | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | − | ‖ | − | |||
| f | ↘ | ‖ | ↘ | |||
Exemple
Comparer f(2) et f(5) : comme {0<2<5} (même signe) et que f est décroissante sur ]0;+\infty[, on a directement f(2)>f(5), soit \dfrac12>\dfrac15 (ce qui se vérifie : 0{,}5>0{,}2).
III. Limites et asymptotes
Propriété
\lim_{x\to0,x>0}\tfrac1x=+\infty, \lim_{x\to0,x<0}\tfrac1x=-\infty, \lim_{x\to\pm\infty}\tfrac1x=0. Asymptotes x=0 (verticale) et y=0 (horizontale).
Remarque : ces deux limites en 0 sont différentes ( +\infty à droite, -\infty à gauche), donc la fonction inverse n'a pas de limite en 0 : on ne peut parler que de limite à droite ou à gauche.
Méthode : déterminer les asymptotes
- Si \lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty (avec a fini), alors la droite x=a est asymptote verticale.
- Si \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell (fini), alors la droite y=\ell est asymptote horizontale.
Exemple
Soit g(x)=\dfrac{2}{x-3}+1. En posant {X=x-3}, quand x\to3, X\to0 donc {\tfrac2X\to\pm\infty} : la droite x=3 est asymptote verticale. Quand x\to\pm\infty, \tfrac{2}{x-3}\to0 donc g(x)\to1 : la droite y=1 est asymptote horizontale.
IV. Courbe représentative
Propriété
La courbe est une hyperbole de centre de symétrie O : f(-x)=-f(x) pour tout x\neq0 (fonction impaire). Les deux axes du repère sont les asymptotes de la courbe.
Exemple
Le point A(2\,;\,0{,}5) appartient à la courbe car f(2)=0{,}5. Par symétrie centrale par rapport à O, le point A'(-2\,;\,-0{,}5) appartient aussi à la courbe.
V. Dérivée d'une fonction du type \dfrac1u
Théorème
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I et ne s'annulant pas sur I, alors la fonction \dfrac1u est dérivable sur I et : \left(\dfrac1u\right)'=-\dfrac{u'}{u^2}
Remarque : c'est le cas particulier de la formule de dérivation d'un quotient \left(\dfrac{v}{u}\right)'=\dfrac{v'u-vu'}{u^2} avec v(x)=1 constante (donc v'=0).
Méthode
- Identifier u(x) à l'intérieur de l'expression \dfrac{1}{u(x)}.
- Calculer u'(x).
- Appliquer directement la formule -\dfrac{u'(x)}{[u(x)]^2}, sans oublier le signe - et le carré au dénominateur.
Exemple 1
Soit h(x)=\dfrac{1}{x^2+1} sur \mathbb R. Ici {u(x)=x^2+1} (jamais nul) et u'(x)=2x, donc h'(x)=-\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}.
Exemple 2
Soit k(x)=\dfrac{1}{3x-5} sur \left]\dfrac53;+\infty\right[. Ici u(x)=3x-5 et u'(x)=3, donc {k'(x)=-\dfrac{3}{(3x-5)^2}}, qui est strictement négative : k est décroissante sur cet intervalle.
VI. Étude d'une fonction rationnelle simple liée à l'inverse
Définition
Une fonction de la forme {g(x)=\dfrac{a}{x-b}+c} (avec a\neq0) est appelée fonction homographique simple. Son ensemble de définition est \mathbb R\setminus\{b\}.
Propriété
La courbe de {g(x)=\dfrac{a}{x-b}+c} est l'image de l'hyperbole y=\dfrac{a}{x} par la translation de vecteur \vec u(b\,;\,c). Elle admet pour asymptotes les droites x=b et y=c, et son centre de symétrie est le point \Omega(b\,;\,c).
Méthode : étudier {g(x)=\dfrac{a}{x-b}+c}
- Déterminer D_g=\mathbb R\setminus\{b\}.
- Calculer g'(x)=-\dfrac{a}{(x-b)^2} (avec la formule (1/u)') et étudier son signe selon celui de a.
- En déduire le sens de variation sur chacun des deux intervalles ]-\infty;b[ et ]b;+\infty[.
- Donner les limites aux bornes et les asymptotes x=b, y=c.
Exemple
Soit g(x)=\dfrac{-2}{x+1}+3 sur D_g=\mathbb R\setminus\{-1\}. On a a=-2, b=-1, c=3. La dérivée est g'(x)=-\dfrac{-2}{(x+1)^2}=\dfrac{2}{(x+1)^2}>0 : g est donc croissante sur ]-\infty;-1[ et sur ]-1;+\infty[ (car a<0). Asymptotes : {x=-1} et y=3. Centre de symétrie : \Omega(-1\,;\,3).
VII. Comparaison avec les autres fonctions de référence
Remarque : 1/x décroît moins vite que 1/x^2 près de 0, mais tend vers 0 moins vite en +\infty.
| Fonction | Ensemble de définition | Parité | Limite en 0^+ | Limite en +\infty |
|---|---|---|---|---|
| 1/x | \mathbb R^* | impaire | +\infty | 0 |
| 1/x^2 | \mathbb R^* | paire | +\infty | 0 |
| \sqrt x | [0;+\infty[ | ni paire ni impaire | 0 | +\infty |
Exemple
Pour x=0{,}1 : \dfrac1x=10 alors que \dfrac1{x^2}=100 : au voisinage de 0, 1/x^2 explose beaucoup plus vite que 1/x. Pour {x=100} : \dfrac1x=0{,}01 alors que \dfrac1{x^2}=0{,}0001 : en +\infty, c'est 1/x^2 qui tend le plus vite vers 0.