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Fiche de cours Logimaths

Fiche de cours : La fonction logarithme népérien

Propriétés algébriques, limites, dérivée et équations

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I. Définition

Définition \ln est la fonction définie sur ]0\,;+\infty[ qui, à x>0, associe l'unique solution y de e^y=x. On l'appelle logarithme népérien de x, noté \ln x.
Propriété \ln est la réciproque de l'exponentielle : e^{\ln x}=x (x>0) et \ln(e^x)=x (pour tout x\in\mathbb R). En particulier \ln 1=0 et \ln e=1.
Remarque : les courbes de \ln et de \exp sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=x, car ce sont deux fonctions réciproques l'une de l'autre.
Exemple : Résoudre e^x=5. Par définition, l'unique solution est x=\ln5 (car \ln est la fonction qui, à 5, associe la solution de e^y=5). La calculatrice donne {\ln5\approx1{,}609}.

II. Propriétés algébriques

Théorème Pour a,b>0 et n entier :
\ln(ab)=\ln a+\ln b\ln\left(\dfrac1a\right)=-\ln a
\ln\left(\dfrac ab\right)=\ln a-\ln b\ln(a^n)=n\ln a
\ln(\sqrt a)=\tfrac12\ln a
Exemple : \begin{aligned}\ln 12 &= \ln(4\times3) \\ &= 2\ln2+\ln3\end{aligned}
Exemple : Simplifier B=\ln 45-\ln5-2\ln3. On a \begin{aligned}\ln 45-\ln5 &= \ln\left(\dfrac{45}{5}\right) \\ &= \ln9\end{aligned} donc \begin{aligned}B &= \ln9-2\ln3 \\ &= \ln9-\ln(3^2) \\ &= \ln9-\ln9 \\ &= 0\end{aligned}
Erreur classique : \ln(a+b) n'est jamais égal à \ln a+\ln b ! Le logarithme transforme les produits en sommes, pas les sommes. De même \ln(a^2)=2\ln a mais (\ln a)^2\neq2\ln a en général.

III. Signe et variations

Propriété \ln x<0 sur ]0;1[, \ln1=0, \ln x>0 sur ]1;+\infty[ ; \ln est strictement croissante sur ]0;+\infty[.
Théorème \begin{aligned}\ln a = \ln b &\iff a = b \end{aligned} et \ln a<\ln b \iff a<b (pour a,b>0).
Exemple : Comparer \ln7 et \ln\!\left(\dfrac{50}{7}\right) sans calculatrice. Comme \dfrac{50}{7}\approx7{,}14>7 et que \ln est strictement croissante sur ]0;+\infty[, on a \ln7<\ln\!\left(\dfrac{50}{7}\right).
(1;0) x y 0
Courbe représentative de \ln : croissante sur ]0;+\infty[, passe par le point (1;0).

IV. Limites

Propriété \lim_{x\to0,x>0}\ln x=-\infty   \lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty. La droite x=0 est asymptote verticale à la courbe de \ln (pas d'asymptote horizontale, la croissance est infiniment lente).
Croissances comparées \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0   \lim_{x\to0,x>0}x\ln x=0
Plus généralement, pour tout entier n\geqslant1 : \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^n}=0 et \lim_{x\to0,x>0}x^n\ln x=0. En résumé : à l'infini, x^n l'emporte toujours sur \ln x.
Exemple : Déterminer \lim_{x\to+\infty}\left(x-\ln x\right). On factorise : x-\ln x=x\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right). Or \dfrac{\ln x}{x}\to0 donc 1-\dfrac{\ln x}{x}\to1, et x\to+\infty ; par produit, \lim_{x\to+\infty}(x-\ln x)=+\infty.
Exemple : Déterminer \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)+3}{x}. On écrit \dfrac{\ln x+3}{x}=\dfrac{\ln x}{x}+\dfrac{3}{x}. Les deux termes tendent vers 0, donc la limite vaut 0.

V. Dérivée et sens de variation

Propriété (\ln x)'=\dfrac1x sur ]0;+\infty[. Pour u dérivable et strictement positive sur un intervalle I : (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}.
Exemple : f(x)=\ln(x^2+1) : ici u(x)=x^2+1>0 pour tout x et u'(x)=2x, donc {f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}}.
Exemple : Étudier les variations de {g(x)=\ln(4-x^2)} sur son domaine. Domaine : il faut 4-x^2>0 \iff x\in]-2;2[. On pose u(x)=4-x^2, u'(x)=-2x, donc {g'(x)=\dfrac{-2x}{4-x^2}}. Comme 4-x^2>0 sur ]-2;2[, le signe de g'(x) est celui de -2x : g est croissante sur ]-2;0] et décroissante sur [0;2[, avec un maximum g(0)=\ln4.
Erreur classique : avant de dériver un \ln(u(x)), il faut toujours vérifier et énoncer la condition u(x)>0 qui définit le domaine de la fonction. Oublier cette étape fait perdre des points, même si le calcul de dérivée est juste.

VI. Résoudre une équation ou une inéquation avec ln

Méthode
  1. Toujours commencer par les conditions d'existence ;
  2. regrouper les \ln avec les propriétés algébriques ;
  3. utiliser \begin{aligned}\ln a = \ln b &\iff a = b \end{aligned} (équation) ou \ln a<\ln b \iff a<b (inéquation) ;
  4. vérifier les conditions d'existence.
Exemple : Résoudre \ln(x+1)+\ln2=\ln(x+5). CE : x>-1. \begin{aligned}\ln(2(x+1)) = \ln(x+5) &\iff 2x+2 = x+5 \\ &\iff x = 3 \end{aligned} (compatible).
Exemple : Résoudre l'inéquation {\ln(2x-1)\leqslant\ln(x+3)}. CE : 2x-1>0 et x+3>0, soit x>\dfrac12. Par stricte croissance de \ln : \begin{aligned}2x-1 \leqslant x+3 &\iff x \leqslant 4 \end{aligned} En combinant avec la CE, l'ensemble des solutions est S=\left]\dfrac12\,;4\right].
0 1/2 4 S
Ensemble des solutions S=\left]\dfrac12\,;4\right] : \dfrac12 exclu (rond vide, car condition d'existence stricte), 4 inclus (rond plein).
Exemple : Résoudre e^{2x}-3e^x+2=0 (équation « déguisée »). On pose X=e^x>0 : {X^2-3X+2=0}, qui se factorise en {(X-1)(X-2)=0}, donc X=1 ou X=2. Comme X=e^x, on obtient \begin{aligned}e^x = 1 &\iff x = 0 \end{aligned} ou \begin{aligned}e^x = 2 &\iff x = \ln2 \end{aligned} Les deux valeurs sont bien strictement positives donc valables : S=\{0\,;\ \ln2\}.
Erreur classique : ne jamais appliquer \ln à une inégalité ou une équation sans avoir vérifié que les deux membres sont strictement positifs : sinon \ln n'est simplement pas défini.

VII. Étude d'une fonction avec ln

Méthode
  1. Déterminer le domaine de définition (condition u(x)>0) ;
  2. calculer les limites aux bornes du domaine ;
  3. calculer la dérivée et étudier son signe ;
  4. dresser le tableau de variations et conclure (extremum, asymptotes).
Exemple : Soit f(x)=x-\ln x définie sur ]0;+\infty[. Limites : \begin{aligned}\lim_{x\to0,x>0}f(x) &= 0-(-\infty) \\ &= +\infty\end{aligned} et \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty (croissances comparées, voir partie IV). Dérivée : \begin{aligned}f'(x) &= 1-\dfrac1x \\ &= \dfrac{x-1}{x}\end{aligned} du signe de x-1 car x>0. Donc f décroît sur ]0;1] et croît sur [1;+\infty[, avec un minimum \begin{aligned}f(1) &= 1-\ln1 \\ &= 1\end{aligned} On en déduit que {f(x)\geqslant1>0} pour tout x>0, c'est-à-dire \ln x\leqslant x-1 (inégalité classique à connaître).

VIII. Lien avec la fonction exponentielle

Propriété Les fonctions \ln et \exp sont réciproques l'une de l'autre et toutes deux strictement croissantes. Pour tous réels a et b>0 : \begin{aligned}e^a = b &\iff a = \ln b \end{aligned}
Exemple : Une grandeur suit un modèle {N(t)=N_0e^{kt}}. Pour trouver le temps t au bout duquel N(t)=2N_0 (temps de doublement), on résout \begin{aligned}e^{kt} = 2 &\iff kt = \ln2 \\ &\iff t = \dfrac{\ln2}{k} \end{aligned} C'est ainsi qu'apparaît naturellement \ln2 dans les problèmes de croissance ou de décroissance exponentielle (radioactivité, population, intérêts composés).