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Fiche de cours Logimaths

Fiche de cours : Fonctions composées

Définition, dérivée et étude de variations (STI2D – STL)

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I. Définition

Définition Soit u une fonction définie sur un ensemble D_u et g une fonction définie sur un ensemble D_g. On appelle fonction composée de u suivie de g la fonction notée g\circ u définie par (g\circ u)(x)=g(u(x)).

Remarque : l'ordre compte, en général {g\circ u\neq u\circ g}. On lit g\circ u « g rond u », et on calcule toujours de droite à gauche : on applique d'abord u, puis g au résultat obtenu.

x u u(x) g g(u(x))
On applique d'abord u à x, puis g au résultat u(x) obtenu : c'est la fonction composée (g\circ u)(x)=g(u(x)).
Exemple : u(x)=2x+1, g(x)=x^2 : {(g\circ u)(x)=(2x+1)^2}.
Exemple : avec les mêmes fonctions, calculons (u\circ g)(x) pour vérifier que l'ordre compte : \begin{aligned}(u\circ g)(x) &= u(g(x)) \\ &= u(x^2) \\ &= 2x^2+1\end{aligned} On a bien \begin{aligned}(g\circ u)(x) &= (2x+1)^2 \\ &= 4x^2+4x+1\end{aligned} différent de (u\circ g)(x)=2x^2+1.
Exemple (contexte concret) : un article coûte u(x)=x-5 euros après une remise de 5 €, puis une taxe de 20 % s'applique : g(x)=1{,}2x. Le prix final en fonction du prix initial x est (g\circ u)(x)=1{,}2(x-5).

II. Ensemble de définition d'une fonction composée

Propriété La fonction composée g\circ u est définie en x si et seulement si x\in D_u et {u(x)\in D_g}. Autrement dit : {D_{g\circ u}=\{x\in D_u \mid u(x)\in D_g\}}
Méthode
  1. Déterminer D_u, l'ensemble de définition de u.
  2. Déterminer D_g, l'ensemble de définition de g.
  3. Résoudre la condition {u(x)\in D_g} pour les x déjà dans D_u.
  4. L'ensemble de définition de g\circ u est l'intersection des deux conditions.
Exemple : soit u(x)=x-3 (définie sur \mathbb R) et g(x)=\sqrt x (définie sur [0;+\infty[). On a (g\circ u)(x)=\sqrt{x-3}, définie si u(x)\ge 0, soit x-3\ge 0 donc x\ge 3. Ainsi {D_{g\circ u}=[3;+\infty[}.
Exemple : soit u(x)=x^2-4 (définie sur \mathbb R) et g(x)=\dfrac1x (définie sur \mathbb R\setminus\{0\}). Alors {(g\circ u)(x)=\dfrac{1}{x^2-4}} est définie si u(x)\neq 0, c'est-à-dire x^2\neq 4, donc x\neq 2 et x\neq -2. Ainsi D_{g\circ u}=\mathbb R\setminus\{-2;2\}.

Erreur classique : ne pas confondre l'ensemble de définition de g\circ u avec celui de u\circ g : ils peuvent être différents ! Il faut toujours repartir de la bonne composition et vérifier la condition sur la fonction appliquée en dernier.

III. Dérivée d'une fonction composée

Théorème Si u est dérivable sur un intervalle I et g est dérivable sur un intervalle J contenant u(I), alors g\circ u est dérivable sur I et : (g\circ u)'(x)=u'(x)\times g'(u(x))
Justification (admise en Terminale, idée du raisonnement) Pour h proche de 0, le taux d'accroissement de g\circ u en x s'écrit \dfrac{g(u(x+h))-g(u(x))}{h}=\dfrac{g(u(x+h))-g(u(x))}{u(x+h)-u(x)}\times\dfrac{u(x+h)-u(x)}{h} (en supposant {u(x+h)\neq u(x)}). Quand h\to 0, le second facteur tend vers u'(x) et, comme u(x+h)\to u(x), le premier facteur tend vers g'(u(x)). On obtient bien (g\circ u)'(x)=u'(x)\times g'(u(x)).
Propriété : formules usuelles (u^n)'=nu'u^{n-1}   (\sqrt u)'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}   (e^{u})'=u'e^{u}   (\ln u)'=\dfrac{u'}u
Exemple : f(x)=\sqrt{3x^2+1} : f'(x)=\dfrac{3x}{\sqrt{3x^2+1}}.
Exemple : f(x)=e^{2x-1}. On pose u(x)=2x-1 donc u'(x)=2. D'après la formule (e^u)'=u'e^u : f'(x)=2e^{2x-1}.
Exemple : f(x)=\ln(x^2+1). On pose u(x)=x^2+1 (strictement positif sur \mathbb R, donc \ln u est bien définie) et u'(x)=2x. D'après la formule (\ln u)'=\dfrac{u'}u : f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}.

Erreur classique : dans la formule (g\circ u)'(x)=u'(x)\times g'(u(x)), il ne faut pas dériver g puis l'évaluer en x : il faut dériver g comme fonction (obtenir g'), puis l'évaluer en u(x), et non en x. Par exemple pour f(x)=(x^2+1)^3, avec g(X)=X^3 et u(x)=x^2+1, on a g'(X)=3X^2 donc g'(u(x))=3(x^2+1)^2 : surtout pas 3x^2 !

IV. Sens de variation d'une fonction composée

Théorème Soit u une fonction définie sur un intervalle I et g une fonction définie sur un intervalle J contenant u(I).
  • Si u et g ont le même sens de variation (toutes deux croissantes, ou toutes deux décroissantes) sur I, alors g\circ u est croissante sur I.
  • Si u et g ont des sens de variation contraires sur I, alors g\circ u est décroissante sur I.
u sur Ig sur Jg\circ u sur I
croissantecroissantecroissante
croissantedécroissantedécroissante
décroissantecroissantedécroissante
décroissantedécroissantecroissante
Justification Ce résultat se retrouve avec le théorème de dérivation : le signe de (g\circ u)'(x)=u'(x)\times g'(u(x)) est le produit du signe de u'(x) par le signe de g'(u(x)). Deux signes identiques donnent un produit positif (fonction croissante), deux signes contraires donnent un produit négatif (fonction décroissante) : on retrouve exactement la règle des signes d'un produit.
Exemple : soit f(x)=\sqrt{-x^2+4} sur [0;2]. On pose u(x)=-x^2+4, décroissante sur [0;2] (car x\ge 0), et g(X)=\sqrt X, croissante sur [0;+\infty[. Les sens de variation sont contraires, donc f=g\circ u est décroissante sur [0;2] : sans même calculer f' !
Exemple : soit f(x)=e^{-2x+3} sur \mathbb R. On pose u(x)=-2x+3, décroissante sur \mathbb R, et g(X)=e^X, croissante sur \mathbb R. Sens contraires, donc f est décroissante sur \mathbb R.

Erreur classique : ce théorème ne dispense pas de vérifier que u et g sont bien monotones sur l'intervalle considéré : une fonction comme u(x)=x^2 n'est pas monotone sur \mathbb R tout entier (décroissante sur ]-\infty;0], croissante sur [0;+\infty[), il faut donc bien étudier chaque intervalle séparément.

V. Méthode : étudier une fonction composée

Méthode
  1. Identifier u et g telles que f=g\circ u.
  2. Déterminer l'ensemble de définition de f (partie II).
  3. Calculer f' à l'aide du théorème de dérivation (partie III), ou utiliser directement le théorème de sens de variation (partie IV) si u et g sont déjà connues comme monotones.
  4. Étudier le signe de f'.
  5. Dresser le tableau de variations de f.
Exemple : étudions f(x)=(x^2-2x)^2 sur \mathbb R. On pose u(x)=x^2-2x et g(X)=X^2. On a u'(x)=2x-2 et g'(X)=2X, donc \begin{aligned}f'(x) &= u'(x)\times g'(u(x)) \\ &= (2x-2)\times 2(x^2-2x) \\ &= 4(x-1)(x^2-2x)\end{aligned} En factorisant x^2-2x=x(x-2), on obtient f'(x)=4x(x-1)(x-2), dont on étudie le signe par un tableau : f décroît sur ]-\infty;0], croît sur [0;1], décroît sur [1;2], puis croît sur [2;+\infty[.

VI. Limite d'une fonction composée

Théorème Si \lim_{x\to a}u(x)=b et \lim_{X\to b}g(X)=c, alors \lim_{x\to a}g(u(x))=c. (a, b et c peuvent être des réels ou \pm\infty.)
Exemple : \lim_{x\to+\infty}e^{-x^2}=0. En effet, {u(x)=-x^2\to-\infty} quand x\to+\infty, et \lim_{X\to-\infty}e^X=0, donc par composition la limite vaut 0.
Exemple : \lim_{x\to 0^+}\ln\left(\dfrac1x\right). On a u(x)=\dfrac1x\to+\infty quand x\to 0^+, et \lim_{X\to+\infty}\ln X=+\infty, donc par composition \lim_{x\to 0^+}\ln\left(\dfrac1x\right)=+\infty.

Méthode pratique : pour lever une forme indéterminée ou calculer une limite de composée, on introduit toujours la variable intermédiaire X=u(x), on détermine sa limite, puis on applique la limite connue de g en ce point.