Fiche de cours Logimaths
Fiche de cours : Fonctions exponentielles
Propriétés, dérivée et modélisation (Terminale Technologique)
I. La fonction exponentielle (de base e)
Définition
L'unique fonction f dérivable sur \mathbb R telle que f'=f et f(0)=1. On la note \exp, ou x\mapsto e^x, où \begin{aligned}e &= \exp(1) \\ &\approx 2{,}718\end{aligned} est un nombre irrationnel appelé nombre d'Euler.
Propriété (règles algébriques)
Pour tous réels a et b :
- e^0=1 et e^1=e
- {e^{a+b}=e^a\times e^b}
- e^{-a}=\dfrac1{e^a}
- e^{a-b}=\dfrac{e^a}{e^b}
- (e^a)^n=e^{na} pour n\in\mathbb Z
Exemple : Simplifier A=\dfrac{e^{3}\times e^{-5}}{e^{-4}}. On regroupe les exposants : \begin{aligned}A &= e^{3-5-(-4)} \\ &= e^{3-5+4} \\ &= e^{2}\end{aligned}
Exemple (économie) : Un capital évolue selon C(t)=1000\,e^{0{,}02t} (t en années). Le rapport entre les capitaux à 10 ans et à 4 ans vaut \begin{aligned}\dfrac{C(10)}{C(4)} &= \dfrac{1000\,e^{0{,}2}}{1000\,e^{0{,}08}} \\ &= e^{0{,}2-0{,}08} \\ &= e^{0{,}12} \\ &\approx 1{,}127\end{aligned} soit une hausse d'environ 12{,}7\% entre ces deux dates.
Remarque : une erreur fréquente est d'écrire e^{a+b}=e^a+e^b. C'est faux ! L'exponentielle transforme les sommes en produits : {e^{a+b}=e^a\times e^b}. De même, e^{2a}\neq 2e^a en général : on a e^{2a}=(e^a)^2.
II. Limites et dérivée
Propriété (limites de référence)
\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty \lim_{x\to-\infty}e^x=0 (e^x)'=e^x
Théorème (croissances comparées)
\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty \lim_{x\to-\infty}x\,e^x=0.
Autrement dit, à l'infini, l'exponentielle « l'emporte toujours » sur les puissances de x.
Théorème (dérivée de e^{u})
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors e^{u} est dérivable sur I et (e^{u})'=u'\,e^{u}.
Exemple : f(x)=e^{-0{,}5x+2} : ici u(x)=-0{,}5x+2 donc u'(x)=-0{,}5, d'où {f'(x)=-0{,}5\,e^{-0{,}5x+2}}.
Exemple (sciences) : La tension aux bornes d'un condensateur en décharge est {u(t)=5\,e^{-t/(RC)}}. Avec RC=2 s, on a {u(t)=5\,e^{-0{,}5t}}, donc \begin{aligned}u'(t) &= 5\times(-0{,}5)\,e^{-0{,}5t} \\ &= -2{,}5\,e^{-0{,}5t}\end{aligned} qui est bien toujours négative : la tension diminue au cours du temps, ce qui correspond à une décharge.
Remarque : ne confondez pas (e^{u})'=u'e^{u} avec la dérivée d'une puissance. Il ne faut pas « descendre l'exposant » comme pour x^n : l'exponentielle se recopie telle quelle, seul l'exposant est dérivé et multiplié devant.
III. Fonctions exponentielles de base q (q>0)
Définition
Pour q>0, la fonction exponentielle de base q est définie sur \mathbb R par q^x=e^{x\ln q}.
Propriété (sens de variation)
- Si q>1 : la fonction x\mapsto q^x est strictement croissante sur \mathbb R (croissance exponentielle).
- Si q=1 : la fonction est constante égale à 1.
- Si 0<q<1 : la fonction est strictement décroissante sur \mathbb R (décroissance exponentielle).
Exemple : Un placement de 1,5 % par an correspond à q=1{,}015>1 : la fonction x\mapsto 1{,}015^x est croissante, ce qui traduit une croissance du capital année après année.
IV. Modélisation d'une évolution
Méthode
Évolution de t\% par étape : q=1+\dfrac t{100} (croissance) ou q=1-\dfrac t{100} (décroissance), f(x)=f(0)\times q^x, où x est le nombre d'étapes (souvent des années).
Propriété (temps de doublement / demi-vie)
Pour un modèle f(x)=f(0)\,e^{kx} :
- si k>0, le temps de doublement vaut T_2=\dfrac{\ln 2}{k} ;
- si k<0, la demi-vie vaut \begin{aligned}T &= \dfrac{\ln 2}{-k} \\ &= \dfrac{\ln 2}{|k|}\end{aligned}
Exemple : Décroissance radioactive de demi-vie T : N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}, avec \lambda=\dfrac{\ln2}T. Pour le carbone 14, T\approx 5730 ans, donc \begin{aligned}\lambda &= \dfrac{\ln2}{5730} \\ &\approx 1{,}21\times10^{-4}\end{aligned} an^{-1}.
Exemple (population) : Une ville compte 40 000 habitants en 2020 et croît de 2 % par an. On modélise la population par {P(n)=40\,000\times1{,}02^{\,n}}, où n est le nombre d'années après 2020. En 2030 (n=10) : \begin{aligned}P(10) &= 40\,000\times1{,}02^{10} \\ &\approx 40\,000\times1{,}2190 \\ &\approx 48\,760\end{aligned} habitants.
Remarque : attention à ne pas confondre le taux t\% et le coefficient multiplicateur q. Une baisse de 20 % correspond à \begin{aligned}q &= 1-0{,}20 \\ &= 0{,}8\end{aligned} et non à q=-0{,}2 ou q=0{,}2.
V. Étude d'une fonction exponentielle
Méthode
Pour f(x)=e^{u(x)} : étudier le signe de u' (le sens de variation de f est le même que celui de u, car f'=u'e^{u} et e^{u}>0), puis calculer les limites aux bornes de l'ensemble de définition.
Exemple : Soit f(x)=e^{-x^2+4x} sur \mathbb R. On pose u(x)=-x^2+4x, donc u'(x)=-2x+4, qui s'annule en x=2 : u'(x)>0 pour x<2 et u'(x)<0 pour x>2. Donc f est croissante sur ]-\infty;2] et décroissante sur [2;+\infty[, avec un maximum f(2)=e^{4}.
Remarque : une confusion classique est de croire que le signe de f' dépend du signe de e^{u}. Or e^{u(x)} est toujours strictement positif, quel que soit u(x) : c'est donc uniquement le signe de u'(x) qui détermine le sens de variation de f.
VI. Résoudre des équations et inéquations
Propriété
Comme \exp est strictement croissante sur \mathbb R, pour tous réels a et b :
- \begin{aligned}e^a = e^b &\iff a = b \end{aligned}
- e^a<e^b \iff a<b
Exemple : Résoudre e^{2x-1}=e^{x+3}. Par équivalence, 2x-1=x+3, soit x=4. L'ensemble des solutions est S=\{4\}.
Exemple : Résoudre e^{-0{,}5x}\leqslant e^{2}. Par équivalence (fonction croissante), -0{,}5x\leqslant2, donc x\geqslant-4 (on divise par un nombre négatif, on change le sens). L'ensemble des solutions est S=[-4;+\infty[.