Fiche de cours Logimaths | Terminale spécialité
Fiche de cours : Limite des fonctions
Comportements aux bords : infinis, asymptotes et croissances comparées
I. Limites à l'infini et fonctions de référence
Limite en +∞ (et en −∞)
\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty : f(x) devient aussi grand que l'on veut pourvu que x soit assez grand.
\lim_{x \to +\infty} f(x) = L : f(x) se rapproche de L d'aussi près que l'on veut ; la droite {y = L} est alors asymptote horizontale à la courbe en +∞.
\lim_{x \to +\infty} f(x) = L : f(x) se rapproche de L d'aussi près que l'on veut ; la droite {y = L} est alors asymptote horizontale à la courbe en +∞.
| Fonction | en +∞ | en −∞ |
|---|---|---|
| x^2,\ x^n\ (n\ \text{pair}) | +\infty | +\infty |
| x^3,\ x^n\ (n\ \text{impair}) | +\infty | -\infty |
| \sqrt{x} | +\infty | (non définie) |
| \tfrac{1}{x} | 0 | 0 |
| e^x | +\infty | 0 |
👆 ▶ À toi : quelle asymptote pour f(x) = 5 + 1/x en +∞ ? Vérifie
\tfrac{1}{x} \to 0 donc f(x) \to 5 : asymptote horizontale d'équation y = 5 en +∞ (et aussi en −∞).
🎮 Entraîne-toi : les limites de référence
Donne la limite demandée.
II. Limite en un réel : l'asymptote verticale
Limite infinie en un point
\lim_{x \to A} f(x) = +\infty : f(x) explose quand x s'approche de A. La droite x = A est asymptote verticale.
Souvent, il faut distinguer la limite à gauche (x \to A^-) et à droite (x \to A^+) : \lim_{x \to 0^-} \tfrac{1}{x} = -\infty mais \lim_{x \to 0^+} \tfrac{1}{x} = +\infty.
Souvent, il faut distinguer la limite à gauche (x \to A^-) et à droite (x \to A^+) : \lim_{x \to 0^-} \tfrac{1}{x} = -\infty mais \lim_{x \to 0^+} \tfrac{1}{x} = +\infty.
La règle du signe du dénominateur
Pour \lim_{x \to 3} \dfrac{5}{x - 3} : le numérateur tend vers 5 > 0, le dénominateur vers 0… mais avec quel signe ?
À droite de 3 : x - 3 > 0, quotient {\to +\infty} ; à gauche : \to -\infty. Le tableau de signes est ton meilleur ami.
À droite de 3 : x - 3 > 0, quotient {\to +\infty} ; à gauche : \to -\infty. Le tableau de signes est ton meilleur ami.
👆 ▶ À toi : limites de 1/(x − 2)² quand x tend vers 2 ? Vérifie
Le carré rend le dénominateur POSITIF des deux côtés : \lim_{x \to 2} \tfrac{1}{(x-2)^2} = +\infty (même limite à gauche et à droite) : asymptote verticale x = 2.
🎮 Entraîne-toi : quelle asymptote ?
Traduis l'information de limite en asymptote.
III. Opérations, FI et composition
⚠️ Les mêmes 4 FI que pour les suites
\infty - \infty, 0 \times \infty, \tfrac{\infty}{\infty}, \tfrac{0}{0}.
Antidotes : factoriser par le terme dominant (polynômes et quotients), ou reconnaître une croissance comparée.
Antidotes : factoriser par le terme dominant (polynômes et quotients), ou reconnaître une croissance comparée.
Polynômes et fractions rationnelles à l'infini
À l'infini, un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré :
\begin{aligned}\lim_{x \to -\infty} (2x^3 - x + 7) &= \lim_{x \to -\infty} 2x^3 \\ &= -\infty\end{aligned}
Un quotient, comme le quotient des termes dominants : \begin{aligned}\lim_{x \to +\infty} \dfrac{6x^2 + x}{2x^2 - 5} &= \dfrac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}
\begin{aligned}\lim_{x \to -\infty} (2x^3 - x + 7) &= \lim_{x \to -\infty} 2x^3 \\ &= -\infty\end{aligned}
Un quotient, comme le quotient des termes dominants : \begin{aligned}\lim_{x \to +\infty} \dfrac{6x^2 + x}{2x^2 - 5} &= \dfrac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}
Limite d'une composée
Si \lim_{x \to a} u(x) = b et \lim_{X \to b} f(X) = c, alors \lim_{x \to a} f(u(x)) = c.
Exemple : \lim_{x \to +\infty} e^{-x^2} : -x^2 \to -\infty puis e^X \to 0 : la limite vaut 0.
Exemple : \lim_{x \to +\infty} e^{-x^2} : -x^2 \to -\infty puis e^X \to 0 : la limite vaut 0.
🎮 Entraîne-toi : limites de quotients à l'infini
Compare les degrés et conclus.
IV. Comparaison, gendarmes et croissances comparées
Comparaison et gendarmes (versions fonctions)
Mêmes énoncés que pour les suites, avec « x assez grand » à la place de « à partir d'un certain rang ».
Client type : \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin x}{x} = 0 car {-\tfrac{1}{x} \leq \tfrac{\sin x}{x} \leq \tfrac{1}{x}}.
Client type : \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin x}{x} = 0 car {-\tfrac{1}{x} \leq \tfrac{\sin x}{x} \leq \tfrac{1}{x}}.
Croissances comparées : l'exponentielle écrase tout
\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty et \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0 (n entier naturel).
En cas de duel entre exponentielle et puissance de x, l'exponentielle gagne toujours.
En cas de duel entre exponentielle et puissance de x, l'exponentielle gagne toujours.
👆 ▶ À toi : limite de x² e⁻ˣ en +∞ ? Vérifie
x^2 e^{-x} = \dfrac{x^2}{e^x} et l'exponentielle écrase x^2 : limite 0.
🎮 Entraîne-toi : croissances comparées
Qui l'emporte ? Donne la limite.