Fiche de cours Logimaths
Fiche de cours : La fonction logarithme décimal
Définition, propriétés et échelles logarithmiques (Terminale Technologique)
I. Définition
Définition
La fonction logarithme décimal, notée \log, est définie sur ]0;+\infty[ par
{\log x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}}.
Le réel \ln 10 est une constante fixée ({\ln10\approx2{,}302585}), donc \log est simplement un multiple constant de \ln : \log x=\dfrac{1}{\ln10}\times\ln x. Toutes les propriétés du logarithme décimal se déduisent donc de celles du logarithme népérien.
Propriété
\log1=0 \log10=1 \log(10^n)=n pour tout entier relatif n.
Exemple : \begin{aligned}\log(100) &= \log(10^2) \\ &= 2\end{aligned} \begin{aligned}\log(0{,}001) &= \log(10^{-3}) \\ &= -3\end{aligned} \begin{aligned}\log(\sqrt{10}) &= \log(10^{1/2}) \\ &= \dfrac12\end{aligned}
II. Propriétés algébriques
Théorème
Pour tous réels a,b>0 et tout rationnel n :
\log(ab)=\log a+\log b {\log(a/b)=\log a-\log b} \log(a^n)=n\log a \log\left(\dfrac1a\right)=-\log a \log(\sqrt{a})=\dfrac12\log a
\log(ab)=\log a+\log b {\log(a/b)=\log a-\log b} \log(a^n)=n\log a \log\left(\dfrac1a\right)=-\log a \log(\sqrt{a})=\dfrac12\log a
Exemple : \begin{aligned}\log200 &= \log(2\times100) \\ &= \log2+\log100 \\ &\approx 0{,}301+2 \\ &= 2{,}301\end{aligned}
Exemple : On donne \log2\approx0{,}301. Alors \begin{aligned}\log5 &= \log\left(\dfrac{10}{2}\right) \\ &= \log10-\log2 \\ &\approx 1-0{,}301 \\ &= 0{,}699\end{aligned} et \begin{aligned}\log(0{,}5) &= \log\left(\dfrac12\right) \\ &= -\log2 \\ &\approx -0{,}301\end{aligned}
Exemple (physique-chimie) : La concentration d'une solution est divisée par 100 lors d'une dilution. Si c_0=10^{-2} mol/L, la nouvelle concentration est \begin{aligned}c &= \dfrac{c_0}{100} \\ &= 10^{-4}\end{aligned} mol/L, donc \begin{aligned}\log c &= \log c_0-\log100 \\ &= -2-2 \\ &= -4\end{aligned}
Erreur classique à éviter : {\log(a+b)\neq\log a+\log b} ! Le logarithme transforme les produits en sommes, pas les sommes en sommes. Par exemple \begin{aligned}\log(2+3) &= \log5 \\ &\approx 0{,}699\end{aligned} alors que \begin{aligned}\log2+\log3 &\approx 0{,}301+0{,}477 \\ &= 0{,}778\end{aligned} Les deux résultats sont différents.
III. Signe, variations et limites
Propriété
La fonction \log est strictement croissante sur ]0;+\infty[. \lim_{x\to0,x>0}\log x=-\infty, \lim_{x\to+\infty}\log x=+\infty.
Propriété (signe)
Pour x>0 : \log x<0 si 0<x<1, \log x=0 si x=1, \log x>0 si x>1.
| x | 0 | 1 | +\infty | |
|---|---|---|---|---|
| \log x | -\infty | 0 | +\infty | |
Théorème (résolution d'équations et d'inéquations)
Comme \log est strictement croissante sur ]0;+\infty[, pour a,b>0 :
\begin{aligned}\log a = \log b &\iff a = b \end{aligned} \log a<\log b\iff a<b
\begin{aligned}\log a = \log b &\iff a = b \end{aligned} \log a<\log b\iff a<b
Exemple : Résoudre \log(x)=2 sur ]0;+\infty[ : \begin{aligned}\log(x) = \log(10^2) &\iff x = 100 \end{aligned} L'ensemble solution est S=\{100\}.
Exemple : Résoudre \log(x)\leqslant1 sur ]0;+\infty[ : \log(x)\leqslant\log(10)\iff0<x\leqslant10 (par stricte croissance de \log). L'ensemble solution est S=\,]0;10].
Ne jamais oublier la condition d'existence : une équation ou inéquation avec \log(f(x)) n'a de sens que si f(x)>0. Il faut toujours commencer par déterminer le domaine de validité avant de résoudre.
IV. Dérivée
Propriété
La fonction \log est dérivable sur ]0;+\infty[ et (\log x)'=\dfrac1{x\ln10}.
Comme x>0 et \ln10>0, la dérivée \dfrac1{x\ln10} est toujours strictement positive : on retrouve que \log est strictement croissante sur ]0;+\infty[.
Exemple : Soit f(x)=x-\log x sur ]0;+\infty[. Alors f'(x)=1-\dfrac1{x\ln10}, qui s'annule en \begin{aligned}x &= \dfrac1{\ln10} \\ &\approx 0{,}434\end{aligned} f admet un minimum local en ce point.
V. Échelles logarithmiques (applications)
Méthode
Le log décimal construit des échelles compressées, utiles quand une grandeur varie sur plusieurs ordres de grandeur : magnitude sismique (Richter), niveau sonore (dB), pH d'une solution.
1. Le pH d'une solution
Définition
Le pH d'une solution aqueuse est défini par \text{pH}=-\log[\text{H}^+], où [\text{H}^+] est la concentration en ions oxonium (en mol/L).
Exemple : Pour de l'eau pure, [\text{H}^+]=10^{-7} mol/L, donc \text{pH}=-\log(10^{-7})=7 (solution neutre).
Exemple : Un suc gastrique a un pH de 1{,}5. Alors \begin{aligned}[\text{H}^+] &= 10^{-\text{pH}} \\ &= 10^{-1{,}5} \\ &\approx 3{,}16\times10^{-2}\end{aligned} mol/L.
Plus le pH est petit, plus la solution est acide (concentration en \text{H}^+ élevée). Une diminution d'une unité de pH correspond à une concentration en \text{H}^+ multipliée par 10.
2. Le niveau sonore en décibels
Définition
Le niveau d'intensité sonore (en dB) est donné par L=10\log\left(\dfrac{I}{I_0}\right), où I est l'intensité sonore (en W/m²) et {I_0=10^{-12}} W/m² l'intensité de référence (seuil d'audibilité).
Exemple : Multiplier l'intensité par 10 augmente L de 10\log(10)=10 dB.
Exemple : Si l'intensité sonore double (I devient 2I), la variation de niveau sonore est \begin{aligned}\Delta L &= 10\log(2) \\ &\approx 10\times0{,}301 \\ &= 3{,}01\end{aligned} dB : c'est pourquoi on dit souvent qu'un doublement d'intensité correspond à environ « +3 dB ».
3. La magnitude de Richter
Définition
La magnitude M d'un séisme (échelle de Richter simplifiée) est liée à l'amplitude A des ondes sismiques par M=\log\left(\dfrac{A}{A_0}\right), où A_0 est une amplitude de référence.
Exemple : Un séisme de magnitude M_1=6 et un séisme de magnitude M_2=7 vérifient \begin{aligned}M_2-M_1 &= \log\left(\dfrac{A_2}{A_0}\right)-\log\left(\dfrac{A_1}{A_0}\right) \\ &= \log\left(\dfrac{A_2}{A_1}\right) \\ &= 1\end{aligned} donc \begin{aligned}\dfrac{A_2}{A_1} &= 10^1 \\ &= 10\end{aligned} Une magnitude supérieure d'une unité correspond à une amplitude 10 fois plus grande.
C'est la caractéristique commune à toutes ces échelles logarithmiques : une variation additive constante de l'échelle (en pH, en dB ou en magnitude) correspond à une variation multiplicative constante de la grandeur physique mesurée.