Fiche de cours Logimaths | Terminale maths expertes
Fiche de cours : Matrices
Des tableaux de nombres qui se multiplient : l'algèbre des systèmes et des évolutions
I. Définition et premières opérations
Matrice, coefficient, format
Une matrice de taille n × p est un tableau de nombres à n lignes et p colonnes. Le coefficient a_{ij} est à la ligne i, colonne j (ligne d'abord, colonne ensuite : le réflexe à ancrer).
Cas particuliers : matrice carrée (n = p), matrice colonne (p = 1, elle représente un vecteur ou un état).
Cas particuliers : matrice carrée (n = p), matrice colonne (p = 1, elle représente un vecteur ou un état).
Somme et produit par un réel
Pour deux matrices de même taille :
- A + B s'obtient en additionnant coefficient par coefficient ;
- kA multiplie chaque coefficient par k.
🎮 Entraîne-toi : sommes et multiples
Coefficient par coefficient, à la même position (ligne ; colonne).
II. Le produit matriciel
Ligne fois colonne
Le produit AB existe quand le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B. Le coefficient (i ; j) de AB est le « produit scalaire » de la ligne i de A par la colonne j de B :
\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 5 + 2 \times 7 & 1 \times 6 + 2 \times 8 \\ 3 \times 5 + 4 \times 7 & 3 \times 6 + 4 \times 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 5 + 2 \times 7 & 1 \times 6 + 2 \times 8 \\ 3 \times 5 + 4 \times 7 & 3 \times 6 + 4 \times 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}
⚠️ AB ≠ BA en général
Le produit matriciel n'est pas commutatif : l'ordre compte. On peut même avoir AB = 0 sans que A ni B soit nulle. Conséquences très concrètes : les identités remarquables changent, {(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2} ne se simplifie pas en A^2 + 2AB + B^2 sauf si A et B commutent.
🎮 Entraîne-toi : le produit ligne × colonne
Repère la ligne et la colonne demandées, multiplie terme à terme, additionne.
III. Identité, inverse, déterminant
La matrice identité et l'inverse
La matrice identité I_n (des 1 sur la diagonale, des 0 ailleurs) est le « 1 » des matrices : \begin{aligned}AI &= IA \\ &= A\end{aligned}
A est inversible s'il existe A^{-1} telle que \begin{aligned}AA^{-1} &= A^{-1}A \\ &= I\end{aligned}
Pour A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} : A est inversible ⟺ son déterminant ad - bc \neq 0, et alors A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.
A est inversible s'il existe A^{-1} telle que \begin{aligned}AA^{-1} &= A^{-1}A \\ &= I\end{aligned}
Pour A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} : A est inversible ⟺ son déterminant ad - bc \neq 0, et alors A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.
Exemple rédigé
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} : déterminant \begin{aligned}2 \times 3 - 1 \times 5 &= 1 \\ &\neq 0\end{aligned} donc A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}.
Mémo : on échange la diagonale, on change le signe de l'anti-diagonale, on divise par le déterminant. Vérification : AA⁻¹ = I, toujours.
Mémo : on échange la diagonale, on change le signe de l'anti-diagonale, on divise par le déterminant. Vérification : AA⁻¹ = I, toujours.
🎮 Entraîne-toi : le déterminant 2×2
ad − bc : produit de la diagonale moins produit de l'anti-diagonale.
IV. Systèmes et suites de matrices
Un système devient UNE équation
Le système « 2x + y = 5 et 5x + 3y = 13 » s'écrit AX = B avec A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}, X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 5 \\ 13 \end{pmatrix}.
Si A est inversible : X = A^{-1}B : ici X = \begin{pmatrix} 3 \times 5 - 1 \times 13 \\ -5 \times 5 + 2 \times 13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} : x = 2, y = 1.
Si A est inversible : X = A^{-1}B : ici X = \begin{pmatrix} 3 \times 5 - 1 \times 13 \\ -5 \times 5 + 2 \times 13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} : x = 2, y = 1.
Suites de matrices et puissances
Beaucoup de modèles (populations, migrations entre deux villes, marches aléatoires) s'écrivent U_{n+1} = AU_n où U_n est la matrice colonne des états : alors U_n = A^n U_0 : tout repose sur les puissances de A.
Outils du bac : calculer A², A³ et conjecturer Aⁿ (puis récurrence), ou utiliser une relation du type {A^2 = aA + bI} pour tout ramener à A et I.
Outils du bac : calculer A², A³ et conjecturer Aⁿ (puis récurrence), ou utiliser une relation du type {A^2 = aA + bI} pour tout ramener à A et I.
⚠️ Puissance de matrice ≠ puissance des coefficients
A^2 = A \times A au sens du produit matriciel : élever chaque coefficient au carré est FAUX (sauf matrices diagonales, justement pourquoi on aime les diagonaliser…). Toujours poser le produit ligne × colonne.
👆 ▶ À toi : A = (0 1 ; 1 0) (matrice d'échange). Calcule A² et déduis-en A²⁰²⁶. Vérifie
A^2 = I (échanger deux fois = ne rien faire) : donc \begin{aligned}A^{2026} &= (A^2)^{1013} \\ &= I\end{aligned}
🎮 Entraîne-toi : du système à la matrice
A rassemble les coefficients de x et y, ligne par ligne, dans l'ordre.