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Fiche de cours Logimaths

Fiche de cours : Nombres complexes (STI2D)

Application à l'électricité : impédances et signaux sinusoïdaux

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I. Rappels : forme algébrique et module

Définition Un nombre complexe s'écrit sous forme algébrique : z=a+ib \qquad \text{avec } a,b\in\mathbb{R}
  • a=\text{Re}(z) est la partie réelle ;
  • b=\text{Im}(z) est la partie imaginaire ;
  • le nombre i vérifie i^2=-1.
Le module de z est : |z|=\sqrt{a^2+b^2} Sa forme exponentielle est : z=|z|\,e^{i\theta} où \theta=\arg(z) est l'argument de z.
En électricité, on utilise la lettre j à la place de i, pour éviter toute confusion avec l'intensité du courant i(t) (ou I).
On garde donc j^2=-1 dans toute la suite de cette fiche.
O Re Im a b M θ r
Représentation d'un nombre complexe z=a+jb dans le plan complexe : r=|z| est le module (longueur du vecteur \overrightarrow{OM}), \theta=\arg(z) est l'angle entre l'axe réel et ce vecteur.

🎛️ À toi de jouer : déplace le point M

Fais glisser le point rose dans le plan.
Le module r=|z| est la longueur du vecteur \overrightarrow{OM}.
L'argument \theta est l'angle qu'il fait avec l'axe des réels.
Les deux se recalculent en direct, ainsi que la forme exponentielle.

Place M sur l'axe des réels : l'argument tombe à 0°. Place-le sur l'axe des imaginaires vers le haut : il vaut 90°, comme l'impédance d'une bobine.

Propriété : opérations en forme algébrique Pour z_1=a_1+jb_1 et z_2=a_2+jb_2 :
  • Somme : z_1+z_2=(a_1+a_2)+j(b_1+b_2)
  • Produit : {z_1\times z_2=(a_1a_2-b_1b_2)+j(a_1b_2+a_2b_1)}
  • Conjugué : \overline{z_1}=a_1-jb_1 et le produit d'un complexe par son conjugué est un réel : \begin{aligned}z_1\overline{z_1} &= a_1^2+b_1^2 \\ &= |z_1|^2\end{aligned}
  • Quotient : on multiplie haut et bas par le conjugué du dénominateur. \begin{aligned}\dfrac{z_1}{z_2} &= \dfrac{z_1\overline{z_2}}{z_2\overline{z_2}} \\ &= \dfrac{z_1\overline{z_2}}{|z_2|^2}\end{aligned}
Exemple : Une résistance R=100\ \Omega est associée en série à une bobine d'impédance \underline Z_L=40j\ \Omega.
L'impédance totale vaut : \begin{aligned}\underline Z &= R+\underline Z_L \\ &= 100+40j\end{aligned} Son module vaut : \begin{aligned}|\underline Z| &= \sqrt{100^2+40^2} \\ &= \sqrt{10\,000+1\,600} \\ &= \sqrt{11\,600} \\ &\approx 107{,}7\ \Omega\end{aligned}
Propriété : module et argument
  • Seul le complexe nul a un module nul : {|z|=0 \iff z=0}
  • Le module se multiplie et se divise (pour z_2\neq0) : |z_1\times z_2|=|z_1|\times|z_2| \left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}
  • L'argument s'ajoute et se retranche : \arg(z_1\times z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)\ [2\pi] \arg\!\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)=\arg(z_1)-\arg(z_2)\ [2\pi]
  • On retrouve l'argument par le cosinus et le sinus : \cos(\theta)=\dfrac{a}{|z|} \qquad \text{et} \qquad \sin(\theta)=\dfrac{b}{|z|}
Erreur classique : ne pas confondre |z_1+z_2| et |z_1|+|z_2|. En général : |z_1+z_2|\neq|z_1|+|z_2| Le module se comporte bien pour le produit et le quotient, pas pour la somme.
Pour une somme d'impédances : on additionne d'abord \underline Z_1 et \underline Z_2, et on calcule le module ensuite. Jamais l'inverse.

II. Forme exponentielle

Définition Tout nombre complexe non nul {z=a+jb} peut s'écrire : z=r\,e^{j\theta} avec :
  • le module \begin{aligned}r &= |z| \\ &= \sqrt{a^2+b^2}\end{aligned}
  • l'argument \theta=\arg(z).
La notation e^{j\theta} vient de la formule d'Euler : e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta
Propriété : règles de calcul en forme exponentielle
  • Produit : les modules se multiplient, les arguments s'ajoutent. r_1e^{j\theta_1}\times r_2e^{j\theta_2}=r_1r_2\,e^{j(\theta_1+\theta_2)}
  • Quotient : les modules se divisent, les arguments se retranchent. \dfrac{r_1e^{j\theta_1}}{r_2e^{j\theta_2}}=\dfrac{r_1}{r_2}\,e^{j(\theta_1-\theta_2)}
  • Puissance (formule de Moivre) : \left(re^{j\theta}\right)^n=r^n e^{jn\theta}

🎛️ À toi de jouer : multiplier, c'est tourner et agrandir

Déplace z_1 (rose) et z_2 (bleu).
Le point vert est leur produit : son module est le produit des modules, son argument la somme des arguments.
Le bouton fait passer au quotient, où les modules se divisent et les arguments se retranchent.

Essaie de placer z_2 sur l'axe des imaginaires : multiplier par j fait tourner d'un quart de tour, sans changer la longueur.

Exemple : Un condensateur a pour impédance \underline Z_C=-\dfrac{j}{C\omega}.
Avec C\omega=2\times10^{-3}\ \text{S} : \underline Z_C=-500j On lit alors directement :
  • son module : |\underline Z_C|=500\ \Omega ;
  • son argument : \arg(\underline Z_C)=-\dfrac{\pi}{2}.
D'où la forme exponentielle : \underline Z_C=500\,e^{-j\pi/2}

III. Signal sinusoïdal et notation complexe

Méthode Une tension sinusoïdale s'écrit : u(t)=U_{max}\cos(\omega t+\varphi) On la représente par un seul nombre complexe, son amplitude complexe : \underline U=U_{max}\,e^{j\varphi} C'est le passage en notation complexe :
  • le module de \underline U donne l'amplitude du signal ;
  • son argument donne la phase à l'origine.
Propriété On travaille souvent avec les amplitudes efficaces plutôt qu'avec les amplitudes maximales : U=\dfrac{U_{max}}{\sqrt2} \qquad \text{et} \qquad I=\dfrac{I_{max}}{\sqrt2} Le rapport des modules ne change pas, car \sqrt2 se simplifie : \dfrac{U}{I}=\dfrac{U_{max}}{I_{max}}
Exemple : La tension du secteur (f=50\ \text{Hz}) s'écrit : {u(t)=230\sqrt2\cos(100\pi t)} On en lit directement :
  • la pulsation : {\omega=100\pi\ \text{rad/s}} ;
  • la phase à l'origine : {\varphi=0} ;
  • l'amplitude complexe : \begin{aligned}\underline U &= 230\sqrt2\,e^{j0} \\ &= 230\sqrt2\end{aligned}

🎛️ À toi de jouer : le vecteur tournant engendre le signal

À gauche, le vecteur tourne à la pulsation \omega. Sa projection sur l'axe des réels, c'est exactement u(t), tracée à droite au fur et à mesure. Sa longueur donne l'amplitude, son angle de départ donne la phase \varphi.

tension u(t) intensité i(t)

Animation ralentie 200 fois : à 50 Hz, une période réelle ne dure que 20 ms. Les échelles de u et de i sont différentes (volts et ampères), comme sur tout diagramme de Fresnel.

Erreur classique : la notation complexe \underline U ne dépend pas du temps t.
C'est une constante complexe, qui « code » à elle seule l'amplitude et la phase du signal réel u(t).
On n'écrit donc jamais \underline U(t).

IV. Impédance complexe

Définition En régime sinusoïdal, la loi d'Ohm complexe relie la tension et l'intensité aux bornes d'un dipôle : \underline U=\underline Z\times\underline I \underline Z est l'impédance complexe du dipôle, exprimée en ohms (\Omega).
Propriété : impédances des dipôles élémentaires
DipôleImpédance complexeModule
Résistance R\underline Z=RR
Bobine (inductance L)\underline Z=jL\omegaL\omega
Condensateur (capacité C)\begin{aligned}\underline Z &= \dfrac1{jC\omega} \\ &= \dfrac{-j}{C\omega}\end{aligned}\dfrac1{C\omega}
Théorème : association de dipôles
  • En série, les impédances complexes s'ajoutent : \underline Z=\underline Z_1+\underline Z_2+\cdots
  • En parallèle, ce sont leurs inverses qui s'ajoutent : \dfrac1{\underline Z}=\dfrac1{\underline Z_1}+\dfrac1{\underline Z_2}+\cdots Pour deux dipôles seulement : \underline Z=\dfrac{\underline Z_1\underline Z_2}{\underline Z_1+\underline Z_2}
i(t) R uR L uL u(t)
Circuit RL série : la résistance et la bobine sont traversées par le même courant i(t), et les tensions s'ajoutent (u=u_R+u_L).
C'est exactement pour cela que les impédances s'ajoutent : \underline Z=\underbrace{R}_{\text{résistance}}+\underbrace{jL\omega}_{\text{bobine}}
Exemple : Pour un RLC série, les trois impédances s'ajoutent : \begin{aligned}\underline Z &= R+jL\omega+\dfrac{-j}{C\omega} \\ &= R+j\left(L\omega-\dfrac1{C\omega}\right)\end{aligned} Son module vaut : |\underline Z|=\sqrt{R^2+\left(L\omega-\dfrac1{C\omega}\right)^2}

🎛️ À toi de jouer : l'impédance d'un RLC série

Règle les composants et la fréquence.
À gauche : \underline Z se construit dans le plan complexe, avec R à l'horizontale et la réactance L\omega-\tfrac1{C\omega} à la verticale.
À droite : la courbe de |\underline Z| en fonction de la fréquence, avec son minimum à la résonance.

partie réelle R réactance Lω − 1∕(Cω) impédance Z courbe de |Z|

Fais glisser la fréquence jusqu'à f₀ : la réactance s'annule, le vecteur \underline Z se couche sur l'axe des réels et |\underline Z| descend jusqu'à R.

Exemple : On associe en parallèle une résistance R=50\ \Omega et un condensateur d'impédance \underline Z_C=-25j\ \Omega.
L'impédance équivalente vaut : \begin{aligned}\underline Z &= \dfrac{R\times\underline Z_C}{R+\underline Z_C} \\ &= \dfrac{50\times(-25j)}{50-25j} \\ &= \dfrac{-1250j}{50-25j}\end{aligned} On multiplie ensuite par le conjugué du dénominateur : \begin{aligned}\underline Z &= \dfrac{-1250j(50+25j)}{50^2+25^2} \\ &= \dfrac{-62\,500j-31\,250j^2}{3\,125} \\ &= \dfrac{31\,250-62\,500j}{3\,125} \\ &= 10-20j\ \Omega\end{aligned}
Exemple : Circuit RL série (celui du schéma ci-dessus), avec :
  • R=30\ \Omega ;
  • L=0{,}1\ \text{H} ;
  • pulsation \omega=400\ \text{rad/s}.
On calcule d'abord la réactance de la bobine : \begin{aligned}L\omega &= 0{,}1\times400 \\ &= 40\ \Omega\end{aligned} D'où l'impédance : \underline Z=30+40j Son module : \begin{aligned}|\underline Z| &= \sqrt{30^2+40^2} \\ &= \sqrt{900+1\,600} \\ &= \sqrt{2\,500} \\ &= 50\ \Omega\end{aligned} Son argument \theta vérifie : \begin{aligned}\tan\theta &= \dfrac{40}{30} \\ &= \dfrac43\end{aligned} soit : \theta\approx0{,}927\ \text{rad}\approx53{,}1°

V. Passage forme algébrique / trigonométrique / exponentielle

Méthode Pour une impédance \underline Z mesurée expérimentalement :
  • le module |\underline Z| est le rapport des amplitudes \begin{aligned}|\underline Z| &= \dfrac{U_{max}}{I_{max}} \\ &= \dfrac{U}{I}\end{aligned} (au choix, amplitudes maximales ou valeurs efficaces) ;
  • l'argument \arg(\underline Z) est le déphasage entre la tension et l'intensité \arg(\underline Z)=\varphi_u-\varphi_i
Méthode : passer de la forme algébrique à la forme exponentielle
  1. Repérer a=\text{Re}(z) et b=\text{Im}(z).
  2. Calculer le module : \begin{aligned}r &= |z| \\ &= \sqrt{a^2+b^2}\end{aligned}
  3. Déterminer l'argument \theta à l'aide de : \cos\theta=\dfrac{a}{r} \qquad \text{et} \qquad \sin\theta=\dfrac{b}{r} Le signe de ces deux quantités place \theta dans le bon quadrant.
  4. Écrire enfin : z=r\,e^{j\theta}
Exemple : Aux bornes d'un dipôle, on mesure :
  • une tension d'amplitude {U_{max}=20\ \text{V}} ;
  • une intensité d'amplitude {I_{max}=0{,}5\ \text{A}} ;
  • la tension en avance de \dfrac{\pi}{4} sur l'intensité.
L'impédance complexe est donc : \begin{aligned}\underline Z &= \dfrac{U_{max}}{I_{max}}\,e^{j\pi/4} \\ &= 40\,e^{j\pi/4}\ \Omega\end{aligned} Sous forme algébrique : \begin{aligned}\underline Z &= 40\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+j\sin\dfrac{\pi}{4}\right) \\ &= 40\times\dfrac{\sqrt2}{2}(1+j) \\ &= 20\sqrt2\,(1+j)\ \Omega\end{aligned}
Erreur classique : le déphasage \varphi_u-\varphi_i se lit toujours « tension moins intensité », dans cet ordre.
  • déphasage positif : la tension est en avance sur l'intensité, le dipôle est globalement inductif ;
  • déphasage négatif : la tension est en retard, le dipôle est globalement capacitif.
Inverser l'ordre de la soustraction change le signe de l'argument, et fait donc basculer d'un cas à l'autre.