Fiche de cours Logimaths
Fiche de cours : Primitives et équations différentielles
Primitives usuelles et équations y'=ay, y'=ay+b
I. Définition d'une primitive
Définition
Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I telle que F'(x)=f(x) pour tout x\in I.
Théorème
Si F est une primitive de f sur I, alors toutes les primitives sont les {x\mapsto F(x)+k}, k\in\mathbb R.
Théorème (existence)
Toute fonction f continue sur un intervalle I admet des primitives sur I. Parmi elles, il en existe une seule qui prend une valeur donnée y_0 en un point donné x_0\in I (condition initiale) : c'est la primitive F telle que F(x_0)=y_0.
Exemple : f(x)=2x a pour primitives {F(x)=x^2+k}. La primitive telle que F(1)=5 vérifie 1+k=5 donc k=4 : F(x)=x^2+4.
Remarque : ne jamais oublier la constante +k ! « Une » primitive n'est pas « la » primitive : sans condition initiale, une infinité de fonctions conviennent, toutes égales à une constante additive près.
📚 Atelier : la famille des primitives
Toutes ces courbes sont des primitives de la MÊME fonction f : elles ne diffèrent que d'une translation verticale.
Déplace le point rose le long de l'axe des abscisses : en cette valeur de x, les tangentes de toutes les courbes sont parallèles,
parce qu'elles ont toutes la même pente f(x). Voilà pourquoi la constante k disparait en dérivant.
II. Primitives usuelles
Propriété
| f(x) | Une primitive F(x) | Sur l'intervalle |
|---|---|---|
| a (constante) | ax | \mathbb R |
| x^n (n\in\mathbb N) | \dfrac{x^{n+1}}{n+1} | \mathbb R |
| \dfrac1{x^n} (n\geqslant2) | -\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}} | ]0;+\infty[ ou ]-\infty;0[ |
| \dfrac1{\sqrt x} | 2\sqrt x | ]0;+\infty[ |
| \dfrac1x | \ln x | ]0;+\infty[ |
| e^x | e^x | \mathbb R |
| \cos x | \sin x | \mathbb R |
| \sin x | -\cos x | \mathbb R |
Exemple : une primitive de f(x)=4x^3-\dfrac1{x^2}+3 sur ]0;+\infty[ est F(x)=x^4+\dfrac1x+3x (car une primitive de -\frac1{x^2} est \frac1x).
Méthode
Pour trouver une primitive d'une somme, on additionne les primitives de chaque terme, en pensant à multiplier par le bon coefficient : une primitive de k\cdot g(x) est k\cdot G(x) si G est une primitive de g.
III. Primitives et fonctions composées
Propriété
| f(x) | Une primitive F(x) | Condition |
|---|---|---|
| u'u^n | \dfrac{u^{n+1}}{n+1} | n\in\mathbb N |
| \dfrac{u'}{u^n} (n\geqslant2) | -\dfrac{1}{(n-1)u^{n-1}} | u ne s'annule pas |
| \dfrac{u'}{u} | \ln u | u>0 |
| \dfrac{u'}{\sqrt u} | 2\sqrt u | u>0 |
| u'e^{u} | e^{u} | - |
Exemple : f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1} : ici u(x)=x^2+1>0 et u'(x)=2x, donc F(x)=\ln(x^2+1).
Exemple : f(x)=6x^2e^{2x^3} : en posant u(x)=2x^3, on a u'(x)=6x^2, donc F(x)=e^{2x^3}.
Exemple : f(x)=3x^2(x^3+1)^4 : avec u(x)=x^3+1, u'(x)=3x^2 et n=4, donc {F(x)=\dfrac{(x^3+1)^5}{5}}.
Remarque : l'erreur la plus fréquente est d'oublier de vérifier (ou de faire apparaître) le facteur u' exact devant la fonction composée : sans lui, aucune des formules du tableau ne s'applique.
IV. Équation différentielle y'=ay
Théorème
Les solutions de y'=ay sur \mathbb R sont les fonctions y(x)=Ce^{ax}, C\in\mathbb R.
Unicité avec condition initiale
Parmi toutes ces solutions, il en existe une seule vérifiant une condition initiale y(x_0)=y_0 donnée : elle correspond à l'unique valeur C=y_0e^{-ax_0}.
Exemple : y'=-3y, y(0)=5 : y(x)=Ce^{-3x} et \begin{aligned}y(0) &= C \\ &= 5\end{aligned} donc y(x)=5e^{-3x}.
Exemple : désintégration radioactive : {N'(t)=-\lambda N(t)} avec N(0)=N_0. La solution est N(t)=N_0e^{-\lambda t}, qui décrit la décroissance du nombre de noyaux radioactifs au cours du temps.
Méthode : démontrer qu'une fonction est solution
- On calcule y'(x) à partir de l'expression proposée.
- On vérifie que y'(x)=a\,y(x) pour tout x.
- On conclut que la fonction est bien solution de l'équation différentielle.
📈 Atelier : l'allure des courbes de y′ = ay
Les petits traits gris donnent la pente imposée par l'équation en chaque point : une solution est une courbe qui les suit tous.
Règle a, puis attrape le point et promène-le : par chaque point du plan passe une seule solution. C'est ça, l'unicité avec condition initiale.
V. Équation différentielle y'=ay+b
Théorème
Les solutions de {y'=ay+b} (a\neq0) sur \mathbb R sont les fonctions y(x)=Ce^{ax}-\dfrac ba, C\in\mathbb R.
Méthode
- On cherche une solution particulière constante y_p : elle vérifie y_p'=0, donc ay_p+b=0, d'où y_p=-\dfrac ba.
- On pose z=y-y_p. Alors \begin{aligned}z' &= y' \\ &= ay+b \\ &= a(z+y_p)+b \\ &= az\end{aligned} z est solution de l'équation homogène z'=az, donc {z(x)=Ce^{ax}}.
- On conclut : \begin{aligned}y(x) &= z(x)+y_p \\ &= Ce^{ax}-\dfrac ba\end{aligned}
Unicité avec condition initiale
Il existe une unique solution de {y'=ay+b} vérifiant y(x_0)=y_0 : la constante C se détermine alors de façon unique en résolvant Ce^{ax_0}-\dfrac ba=y_0.
Exemple : y'=2y+6, y(0)=1 : \begin{aligned}y_p &= -\dfrac62 \\ &= -3\end{aligned} donc y(x)=Ce^{2x}-3. La condition initiale donne C-3=1, soit C=4 : y(x)=4e^{2x}-3.
Exemple : loi de refroidissement de Newton : la température \theta(t) d'un objet dans une pièce à 20\,°C vérifie \theta'=-0{,}1(\theta-20), soit \theta'=-0{,}1\theta+2. Solution particulière : \begin{aligned}\theta_p &= \dfrac{2}{0{,}1} \\ &= 20\end{aligned} Solution générale : \theta(t)=Ce^{-0{,}1t}+20. Si \theta(0)=90, alors C=70 et {\theta(t)=70e^{-0{,}1t}+20}, qui tend vers 20\,°C quand t\to+\infty.
Remarque : erreur classique : attention au signe lors du calcul de y_p=-\dfrac ba (ne pas oublier le signe « moins »), et ne pas confondre le coefficient a de y avec le second membre b lors de l'identification à partir d'un énoncé rédigé (par exemple « y'=-0{,}1y+2 » donne a=-0{,}1 et b=2, pas l'inverse).
Remarque : ces équations modélisent la décroissance radioactive, la loi de refroidissement de Newton, la charge d'un condensateur, une croissance de population avec apport ou prélèvement constant, etc.
⚖️ Atelier : l'équilibre −b/a, et le tour de passe-passe
La droite verte est la solution particulière constante y_p = -\dfrac{b}{a} : la seule qui ne bouge plus.
Règle a et b, promène le point, puis appuie sur « ramener l'équilibre à zéro » : tout le dessin glisse et l'on retombe exactement
sur l'image de y' = ay. C'est le raisonnement de la partie précédente, transformé en un geste.
VI. Primitive et aire sous une courbe (aperçu)
Propriété (lien primitive / aire)
Si f est continue et positive sur [a\,;b], alors la fonction A(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm dt, qui donne l'aire sous la courbe de f entre a et x, est l'unique primitive de f qui s'annule en a. Plus généralement, pour toute primitive F de f : {\displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm dt=F(b)-F(a)}.
Remarque : ce lien entre primitives et calcul d'aires (intégrales) est développé dans le chapitre sur le calcul intégral ; il justifie pourquoi la recherche de primitives est une étape indispensable avant de calculer une aire ou une intégrale.