Définition
Soit A un événement de probabilité non nulle. Pour tout événement B, la probabilité de BsachantA est le nombre noté P_A(B) défini par :
P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}
Remarque : P_A(B) se lit « probabilité de B sachant A ». C'est la probabilité que l'événement B se réalise, une fois que l'on sait déjà que A est réalisé : on « réduit » l'univers à A.
La probabilité P_A(B) revient à « réduire » l'univers \Omega à A : c'est la part de A\cap B dans A.
Conditionner, c'est rétrécir l'univers
Une probabilité conditionnelle n'est pas une formule de plus à retenir : c'est la même probabilité, calculée dans un univers plus petit. L'atelier ci-dessous le montre littéralement. Le tableau à double entrée porte les totaux (les marges et l'effectif total) ; quand tu choisis un « sachant », tout ce qui n'est pas dans la bande est masqué, et il ne reste plus qu'une ligne (ou qu'une colonne). Ce qui survit au masquage, c'est le nouvel univers.
🎭 L'atelier du masquage
Une usine reçoit 1 000 pièces : 700 viennent du fournisseur F_1 et 300 du fournisseur F_2. En tout, 58 pièces sont défectueuses (D).
Choisis un « sachant » : le tableau et le diagramme se masquent ensemble.
Ce que le masquage fait voir
Le dénominateur n'est plus l'effectif total \mathrm{card}(\Omega), mais le total de la bande restée visible.
Le numérateur est la case d'intersection, celle qui appartient à la fois à la ligne et à la colonne.
En effectifs : P_B(A)=\dfrac{\mathrm{card}(A\cap B)}{\mathrm{card}(B)}, ce qui redonne bien {P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}} en divisant haut et bas par \mathrm{card}(\Omega).
Sur une bande, les probabilités conditionnelles se remettent à totaliser 1 : c'est déjà la règle des nœuds de l'arbre pondéré (partie II).
🎮 À toi de jouer : quelle bande, quel numérateur ?
On ne te demande pas encore le résultat, mais les deux effectifs de la fraction. C'est là que tout se joue.
numérateurdénominateur
Exemple : Dans un lycée, 55\,\% des élèves sont des filles (F) et parmi elles, 30\,\% pratiquent un sport en club. On a donc P(F)=0{,}55 et \begin{aligned}P(F\cap S) &= 0{,}55\times0{,}30 \\ &= 0{,}165\end{aligned} où S = « pratique un sport en club ». Alors \begin{aligned}P_F(S) &= \dfrac{P(F\cap S)}{P(F)} \\ &= \dfrac{0{,}165}{0{,}55} \\ &= 0{,}3\end{aligned} C'est cohérent, on retrouve les 30\,\% de l'énoncé.
Probabilités composées
De la définition, on tire immédiatement, pour P(A)\neq0 et P(B)\neq0 :
\begin{aligned}P(A\cap B) &= P(A)\times P_A(B) \\ &= P(B)\times P_B(A)\end{aligned}
⚠️ Le piège : P_B(A)\neq P_A(B)
C'est l'erreur numéro un du chapitre, et le masquage la rend évidente : on ne masque pas la même bande. Le numérateur, lui, ne change pas (c'est la même case d'intersection) ; seul le dénominateur change, et il peut être dix fois plus petit.
Reprends l'atelier ci-dessus et appuie sur « ⚠️ Les deux sens » : la ligne F_1 et la colonne D s'allument en même temps, elles se croisent sur la même case 28, mais :
Même numérateur, deux dénominateurs\begin{aligned}P_{F_1}(D) &= \dfrac{28}{700} \\ &= 0{,}04\end{aligned} (la bande est la ligneF_1, 700 pièces) \begin{aligned}P_{D}(F_1) &= \dfrac{28}{58} \\ &\approx 0{,}483\end{aligned} (la bande est la colonneD, 58 pièces)
Les deux phrases françaises sont pourtant très proches : « parmi les pièces de F_1, combien sont défectueuses ? » et « parmi les pièces défectueuses, combien viennent de F_1 ? ». Le mot qui suit « parmi » donne toujours la bande à masquer, donc le dénominateur.
Le faux positif : là où l'erreur coûte cher
Une maladie touche 1\,\% de la population. Un test la détecte dans 99\,\% des cas quand on est malade, et se trompe dans 5\,\% des cas quand on est sain. Sur 10\,000 personnes :
Autrement dit : un test « fiable à 99\,\% » ne dit pas que l'on est malade à 99\,\% quand il est positif. Ici, \dfrac{99}{594}=\dfrac16 : un test positif sur six seulement correspond à un vrai malade, parce que la bande « test positif » contient surtout des gens sains (ils sont beaucoup plus nombreux au départ). Confondre P_M(T) et P_T(M), c'est exactement l'erreur du faux positif.
🎮 À toi de jouer : dans quel sens ?
Lis la phrase et repère le mot qui suit « parmi » ou « sachant » : c'est lui qui donne la bande, donc l'indice en bas du P.
Exemple : On tire successivement et sans remise deux cartes d'un jeu de 32 cartes. Soit A = « la 1ère carte est un roi » et B = « la 2ème carte est un roi ». On a P(A)=\dfrac{4}{32} et, sachant que la 1ère carte tirée est un roi, il ne reste que 3 rois parmi 31 cartes : P_A(B)=\dfrac{3}{31}. Donc \begin{aligned}P(A\cap B) &= \dfrac{4}{32}\times\dfrac{3}{31} \\ &= \dfrac{12}{992} \\ &= \dfrac{3}{248}\end{aligned}
II. Arbre pondéré
Un arbre pondéré permet de représenter une expérience aléatoire en plusieurs étapes. Chaque branche est étiquetée par une probabilité (conditionnelle à partir du 2ᵉ niveau).
Règles de construction et de lecture
Règle des nœuds : la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à 1.
Règle des chemins (produit) : la probabilité d'un chemin (une succession de branches) est le produit des probabilités inscrites sur ce chemin.
Règle des chemins (somme) : la probabilité d'un événement est la somme des probabilités de tous les chemins qui mènent à cet événement.
Arbre pondéré à deux niveaux : sur chaque branche, une probabilité (simple au 1er niveau, conditionnelle ensuite).
L'arbre manipulable, et le tableau qui va avec
C'est la même situation que l'atelier du masquage, vue autrement. Règle les trois curseurs : les branches complémentaires se recalculent toutes seules pour que chaque nœud totalise 1, les produits le long des chemins suivent, et le tableau d'effectifs se met à jour en même temps. Arbre et tableau ne sont pas deux chapitres : ce sont deux vues d'une seule situation.
🌳 L'arbre pondéré manipulable
1er niveau : des probabilités simples (le fournisseur). 2e niveau : des probabilités conditionnelles (le défaut, sachant le fournisseur).
Le va-et-vient tableau ↔ arbre
Une branche du 1er niveau ↔ une ligne du tableau ; sa probabilité ↔ le total de la ligne divisé par l'effectif total.
Une branche du 2e niveau ↔ le masquage de cette ligne : c'est une probabilité conditionnelle, pas une proportion sur \Omega.
Un chemin complet ↔ une case du tableau ; son produit ↔ l'effectif de la case divisé par l'effectif total.
Une colonne ↔ tous les chemins qui mènent au même événement : on les additionne. C'est la formule des probabilités totales (partie III).
Exemple : Une entreprise reçoit des pièces de deux fournisseurs : 70\,\% du fournisseur F_1, 30\,\% du fournisseur F_2. Le taux de pièces défectueuses est de 4\,\% chez F_1 et de 10\,\% chez F_2. L'arbre a pour 1er niveau P(F_1)=0{,}7 et P(F_2)=0{,}3, puis pour 2ᵉ niveau P_{F_1}(D)=0{,}04, {P_{F_1}(\bar D)=0{,}96}, P_{F_2}(D)=0{,}10, P_{F_2}(\bar D)=0{,}90. Le chemin F_1\cap D a pour probabilité {0{,}7\times0{,}04=0{,}028}.
III. Formule des probabilités totales
Partition de l'univers
Les événements A_1, A_2,\dots,A_n forment une partition de l'univers \Omega si : ils sont deux à deux incompatibles (A_i\cap A_j=\emptyset pour i\neq j), aucun n'est de probabilité nulle, et leur réunion est \Omega tout entier (A_1\cup A_2\cup\dots\cup A_n=\Omega).
Théorème (probabilités totales)
Si A_1,\dots,A_n forme une partition de l'univers, alors pour tout événement B :
\begin{aligned}P(B) &= \sum_{i=1}^{n} P(A_i)\times P_{A_i}(B) \\ &= P(A_1)P_{A_1}(B)+P(A_2)P_{A_2}(B)+\dots+P(A_n)P_{A_n}(B)\end{aligned}
Méthode
Cas fréquent (partition en deux événements A et \bar A) : P(B)=P(A)P_A(B)+P(\bar A)P_{\bar A}(B). Sur l'arbre pondéré, cela revient simplement à additionner les probabilités de tous les chemins qui mènent à B.
Exemple : Reprenons l'exemple des fournisseurs (II) : F_1,F_2 forment une partition de l'univers. La probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse vaut : \begin{aligned}P(D) &= P(F_1)P_{F_1}(D)+P(F_2)P_{F_2}(D) \\ &= 0{,}7\times0{,}04+0{,}3\times0{,}10 \\ &= 0{,}028+0{,}03 \\ &= 0{,}058\end{aligned} Ainsi 5{,}8\,\% des pièces livrées sont défectueuses.
Erreur classique : oublier de vérifier que les A_i forment bien une partition avant d'appliquer la formule (sinon la somme des chemins ne correspond pas à P(B)).
Remonte à l'arbre manipulable de la partie II et appuie sur « Chemins menant à D » : les deux chemins concernés s'allument, et la somme de leurs produits s'écrit toute seule. C'est exactement la colonne D du tableau, lue de haut en bas.
Le même calcul, dans les deux vues
Par l'arbre : \begin{aligned}P(D) &= 0{,}7\times0{,}04+0{,}3\times0{,}10 \\ &= 0{,}028+0{,}03 \\ &= 0{,}058\end{aligned}
Par le tableau : \begin{aligned}P(D) &= \dfrac{28+30}{1\,000} \\ &= \dfrac{58}{1\,000} \\ &= 0{,}058\end{aligned}
🎮 À toi de jouer : additionne les chemins
Un arbre à deux branches au 1er niveau. Donne la valeur exacte (avec une virgule, sans arrondir).
IV. Événements indépendants
DéfinitionA,B indépendants si P_A(B)=P(B), équivalent à {P(A\cap B)=P(A)P(B)}.
Intuitivement, deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité de réalisation de l'autre : savoir que A est réalisé n'apporte aucune information sur B.
Voir l'indépendance : conditionner ne change rien
Avec le langage du masquage, l'indépendance a une traduction très simple : les deux bandes donnent la même proportion, et cette proportion est déjà celle de \Omega tout entier. Masquer ne sert alors à rien, puisque cela ne déplace pas l'aiguille : \begin{aligned}P_B(A) &= P_{\overline{B}}(A) \\ &= P(A)\end{aligned}
⚖️ L'atelier de l'indépendance
Un lycée de 200 élèves : 80 sont demi-pensionnaires (A) et 100 pratiquent un sport en club (B). Ces deux totaux ne bougent pas.
Fais glisser la poignée pour choisir combien d'élèves sont à la fois demi-pensionnaires et sportifs, et regarde les trois jauges.
Les deux critères, et pourquoi ils reviennent au même
Critère « masquage » : {P_B(A)=P(A)}. Conditionner ne change pas la proportion : la bande ressemble au tout.
Critère « produit » : {P(A\cap B)=P(A)\times P(B)}. C'est celui qu'on écrit en devoir, car il ne demande aucune probabilité non nulle.
On passe de l'un à l'autre en multipliant par P(B) : \begin{aligned}P_B(A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} = P(A) &\iff P(A\cap B) = P(A)\times P(B) \end{aligned}
Dans l'atelier : l'égalité arrive pour \mathrm{card}(A\cap B)=40, et alors \begin{aligned}\dfrac{40}{200} &= 0{,}2 \\ &= 0{,}4\times0{,}5\end{aligned} Partout ailleurs, les deux bandes n'ont pas la même couleur de remplissage : les événements ne sont pas indépendants.
🎮 À toi de jouer : quelle formule, et alors ?
Au bac, la question ne tombe jamais seule : ce sont les questions précédentes qui imposent le critère.
🎮 À toi de jouer : indépendants ou pas ?
Compare la proportion dans la bande et la proportion dans tout \Omega. Si elles coïncident, il y a indépendance.
Propriété
Si A et B sont indépendants, alors \bar A et B le sont aussi (de même que A et \bar B, ainsi que \bar A et \bar B).
Exemple : On lance un dé équilibré à 6 faces. Soit A = « obtenir un nombre pair » et B = « obtenir un multiple de 3 ». On a {P(A)=\dfrac{1}{2}}, P(B)=\dfrac{1}{3}, et A\cap B = « obtenir 6 », donc P(A\cap B)=\dfrac{1}{6}. Comme \begin{aligned}P(A)\times P(B) &= \dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3} \\ &= \dfrac{1}{6} \\ &= P(A\cap B)\end{aligned} les événements A et B sont indépendants.
Exemple : Dans une entreprise, P(F)=0{,}5 (être une femme), P(C)=0{,}2 (être cadre) et P(F\cap C)=0{,}08. Comme \begin{aligned}P(F)\times P(C) &= 0{,}5\times0{,}2 \\ &= 0{,}1 \\ &\neq 0{,}08\end{aligned} les événements F et C ne sont pas indépendants : le fait d'être une femme influence ici la probabilité d'être cadre dans cette entreprise.
Remarque : ne pas confondre indépendants et incompatibles (deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants).
Erreur classique : « indépendant » ne signifie pas « au hasard » ni « sans lien de cause ». C'est une propriété numérique précise ({P(A\cap B)=P(A)P(B)}) qui se vérifie par le calcul, jamais par intuition seule.
