Fiche de cours Logimaths
Fiche de cours : Suites arithmétiques et géométriques
+ r ou × q : deux mécaniques à reconnaître au premier coup d'œil, et tout le reste en découle
I. Deux mécaniques, un duel
Arithmétique : on AJOUTE r
4 → 11 → 18 → 25
un+1 = un + r (ici r = 7) : un escalier régulier : la différence entre deux termes consécutifs est constante
Géométrique : on MULTIPLIE par q
4 → 12 → 36 → 108
un+1 = q × un (ici q = 3) : une croissance explosive : le quotient entre deux termes consécutifs est constant
Le test qui prouve (rédaction attendue au bac)
Calculer u_{n+1}-u_n (arithmétique ?) ou \dfrac{u_{n+1}}{u_n} (géométrique ?) en fonction de n, et vérifier que le résultat est constant. Deux termes qui « collent » ne prouvent rien : il faut le calcul pour tout n.
🎮 Entraîne-toi : quelle est la nature de la suite ?
Relation de récurrence ou premiers termes : à toi de trancher.
II. Le terme général : sauter directement au bon rang
uₙ = u₀ + n × r : uₙ = u₀ × qn
Depuis n'importe quel rang p
u_n=u_p+(n-p)\,r : u_n=u_p\times q^{\,n-p} : on compte simplement le nombre de sauts entre p et n.
🎮 Entraîne-toi : calcule le terme demandé
Sans lister tous les termes : utilise la formule !
👆 ▶ À toi : (un) arithmétique avec u₂ = 7 et r = 5. Calcule u₁₂, puis vérifie
De u₂ à u₁₂, il y a 12 − 2 = 10 sauts : {u_{12}=u_2+10r=7+50=} 57. Inutile de repasser par u₀ !
Méthode : retrouver la raison avec deux termes connus
Entre u_p et u_n il y a n-p sauts : arithmétique → r=\dfrac{u_n-u_p}{n-p} : géométrique → q^{\,n-p}=\dfrac{u_n}{u_p}. Ensuite on redescend jusqu'à u_0.
👆 ▶ À toi : (un) arithmétique avec u₃ = 11 et u₈ = 31. Trouve r puis u₀, puis vérifie
5 sauts entre u₃ et u₈ : \begin{aligned}r &= \dfrac{31-11}{8-3} \\ &= 4\end{aligned} Marche arrière : u_0=u_3-3r=11-12= −1.
Version géométrique du même jeu : si u₂ = 6 et u₅ = 48, alors \begin{aligned}q^3 &= \dfrac{48}{6} \\ &= 8\end{aligned} donc q = 2, et \begin{aligned}u_0 &= \dfrac{6}{2^2} \\ &= 1{,}5\end{aligned}
Version géométrique du même jeu : si u₂ = 6 et u₅ = 48, alors \begin{aligned}q^3 &= \dfrac{48}{6} \\ &= 8\end{aligned} donc q = 2, et \begin{aligned}u_0 &= \dfrac{6}{2^2} \\ &= 1{,}5\end{aligned}
▶ 🎓 Démonstration au programme (exigible) : un = u₀ + n × r, puis vérifie
On écrit les n égalités de récurrence : u_1=u_0+r, u_2=u_1+r, …, u_n=u_{n-1}+r.
En les additionnant membre à membre, tous les termes u_1,\dots,u_{n-1} apparaissent des deux côtés et se simplifient : il reste u_n=u_0+n\,r.
(Même principe pour la géométrique en multipliant membre à membre : {u_n=u_0\times q^n}.)
En les additionnant membre à membre, tous les termes u_1,\dots,u_{n-1} apparaissent des deux côtés et se simplifient : il reste u_n=u_0+n\,r.
(Même principe pour la géométrique en multipliant membre à membre : {u_n=u_0\times q^n}.)
III. Le tableau qui compare tout : la clé, c'est le nombre de pas
🔑 L'idée qui unifie tout : (n − k), c'est un NOMBRE DE PAS
Passer d'un terme au suivant, c'est faire un pas. Pour aller de u_k à u_n, on fait donc n − k pas : c'est tout ce que dit l'indice.
Arithmétique : à chaque pas on ajoute r, donc on ajoute r exactement n − k fois.
Géométrique : à chaque pas on multiplie par q, donc on multiplie par q exactement n − k fois.
Il n'y a donc rien à apprendre par cœur dans le tableau ci-dessous : chaque ligne se retrouve en comptant les pas. Dans les formules, l'encadré est toujours le nombre de pas.
Arithmétique : à chaque pas on ajoute r, donc on ajoute r exactement n − k fois.
Géométrique : à chaque pas on multiplie par q, donc on multiplie par q exactement n − k fois.
Il n'y a donc rien à apprendre par cœur dans le tableau ci-dessous : chaque ligne se retrouve en comptant les pas. Dans les formules, l'encadré est toujours le nombre de pas.
| On part de… | Nombre de pas | Arithmétique (raison r) | Géométrique (raison q) |
|---|---|---|---|
| le terme précédent | 1 pas | u_{n+1} = u_n + r | u_{n+1} = q \times u_n |
| u_0 | n pas | u_n = u_0 + \boxed{n}\,r | u_n = u_0 \times q^{\boxed{n}} |
| u_1 | n − 1 pas | u_n = u_1 + \boxed{n-1}\,r | u_n = u_1 \times q^{\boxed{n-1}} |
| u_2 | n − 2 pas | u_n = u_2 + \boxed{n-2}\,r | u_n = u_2 \times q^{\boxed{n-2}} |
| u_k | n − k pas | u_n = u_k + \boxed{n-k}\,r | u_n = u_k \times q^{\boxed{n-k}} |
⚠️ L'erreur classique : partir de u₁ et garder n
Beaucoup d'élèves écrivent {u_n = u_1 + n\,r} quand la suite commence à u_1. C'est faux : de u_1 à u_n il y a n-1 pas, pas n.
Le test qui sauve : remplace n par la valeur du rang de départ. Avec n=1, la bonne formule donne u_1 + 0 \times r = u_1 ✔ ; la fausse donne u_1 + r ✘. Fais ce contrôle à chaque fois.
Le test qui sauve : remplace n par la valeur du rang de départ. Avec n=1, la bonne formule donne u_1 + 0 \times r = u_1 ✔ ; la fausse donne u_1 + r ✘. Fais ce contrôle à chaque fois.
IV. L'atelier des pas : déplace le point de départ
Comment s'en servir
Choisis la mécanique (+ r ou × q), règle le premier terme et la raison, puis déplace la poignée k : le point de départ bouge et les arcs comptent les pas restant à faire jusqu'au rang n. C'est ce comptage, et lui seul, qui donne l'exposant (ou le coefficient) de la formule. Les boutons de cas servent surtout à la partie suivante : ils fabriquent en un clic les cinq allures d'une géométrique.
🎮 Entraîne-toi : partir d'un rang autre que 0
Compte les pas AVANT de calculer.
🎮 Entraîne-toi : combien de pas, combien de termes ?
Ce ne sont pas les mêmes nombres : il y a toujours un terme de plus que de pas.
Nombre de pas
Nombre de termes
V. Sens de variation : ne transpose pas d'une suite à l'autre
Arithmétique : un seul signe à regarder
\begin{aligned}u_{n+1} - u_n &= (u_n + r) - u_n \\ &= r\end{aligned}
La différence ne dépend ni de n, ni de u₀ : c'est toujours r. Donc :
La différence ne dépend ni de n, ni de u₀ : c'est toujours r. Donc :
- r > 0 → suite croissante ;
- r < 0 → suite décroissante ;
- r = 0 → suite constante.
⚠️ Ne transpose pas cette règle à la géométrique
Écrire « q > 1 donc croissante » sans regarder u_0 est l'erreur la plus fréquente du chapitre. Pour une géométrique, le sens de variation dépend de deux signes, pas d'un seul.
Géométrique : deux signes, donc un produit
\begin{aligned}u_{n+1} - u_n &= q\,u_n - u_n \\ &= u_n\,(q-1) \\ &= u_0\,q^{\,n}\,(q-1)\end{aligned}
Le sens de variation est donné par le signe de ce produit, donc par le signe de u_0 et celui de q-1 (et par celui de q^{\,n}, qui n'est constant que si q > 0).
Le sens de variation est donné par le signe de ce produit, donc par le signe de u_0 et celui de q-1 (et par celui de q^{\,n}, qui n'est constant que si q > 0).
| Cas | signe de q-1 | signe de u_0 | Conclusion |
|---|---|---|---|
| q > 1 | + | + | croissante (elle explose vers le haut) |
| q > 1 | + | − | décroissante (elle plonge vers le bas) |
| 0 < q < 1 | − | + | décroissante (elle s'écrase vers 0) |
| 0 < q < 1 | − | − | croissante (elle remonte vers 0) |
| q = 1 | 0 | peu importe | constante |
| q < 0 | − | peu importe | ni croissante ni décroissante : les termes alternent |
⚠️ Le cas oublié : q < 0, la suite n'est PAS monotone
Si q < 0, alors q^{\,n} est positif pour n pair et négatif pour n impair : les termes sautent au-dessus puis au-dessous de l'axe. Elle monte, puis descend, puis remonte… donc elle n'est ni croissante, ni décroissante.
Réponse attendue en devoir : « la suite n'est pas monotone », et non « décroissante » sous prétexte que la raison est négative.
Réponse attendue en devoir : « la suite n'est pas monotone », et non « décroissante » sous prétexte que la raison est négative.
| Arithmétique | r > 0 : croissante | r < 0 : décroissante | r = 0 : constante |
|---|---|---|---|
| Géométrique (u₀ > 0) | q > 1 : croissante | 0 < q < 1 : décroissante | q = 1 : constante : q < 0 : non monotone (signes alternés) |
Si u₀ < 0, tout s'inverse (côté géométrique)
Exemple : u_n=-5\times 2^n est décroissante (−5, −10, −20, …) : le signe de u_0 retourne les variations. La preuve en une ligne : u_{n+1}-u_n=u_0\,q^n(q-1), dont le signe se lit directement.
Allure arithmétique
des points alignés : la croissance est linéaire
Allure géométrique
une courbe qui décolle : la croissance est exponentielle
🎮 Entraîne-toi : croissante, décroissante… ou pire ?
Attention au signe de u₀ et aux raisons négatives.
VI. Les sommes : deux formules, un même piège
Somme arithmétique
u_0+u_1+\cdots+u_n=(n+1)\times\dfrac{u_0+u_n}{2} : en clair : nombre de termes × (premier + dernier) : 2. Cas fétiche : {1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}}.
Somme géométrique (q ≠ 1)
u_0+u_1+\cdots+u_n=u_0\times\dfrac{1-q^{\,n+1}}{1-q} : en clair : premier terme × (1 − qnombre de termes) : (1 − q).
⚠️ de u₃ à u₁₅ il y a 15 − 3 + 1 = 13 termes : le « +1 » oublié coûte des points chaque année !
🎮 Entraîne-toi : compter et sommer
Le nombre de termes d'abord, la formule ensuite.
👆 ▶ À toi : calcule S = 4 + 7 + 10 + ⋯ + 31, puis vérifie
Suite arithmétique de raison 3 : de 4 à 31 il y a \frac{31-4}{3}+1=10 termes.
S=10\times\dfrac{4+31}{2}=10\times17{,}5= 175.
S=10\times\dfrac{4+31}{2}=10\times17{,}5= 175.
👆 ▶ À toi : calcule S = 12 + 13 + 14 + ⋯ + 60 par différence, puis vérifie
Astuce « par différence » : S=(1+2+\cdots+60)-(1+2+\cdots+11)=\dfrac{60\times61}{2}-\dfrac{11\times12}{2}=1\,830-66= 1 764.
▶ 🎓 Démonstration au programme (exigible) : la somme géométrique, puis vérifie
On pose S=1+q+q^2+\cdots+q^n et on calcule q\times S=q+q^2+\cdots+q^{n+1}.
Par soustraction, presque tout se télescope : S-qS=1-q^{n+1}, donc S(1-q)=1-q^{n+1} et, comme q\neq1 : S=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}.
Par soustraction, presque tout se télescope : S-qS=1-q^{n+1}, donc S(1-q)=1-q^{n+1} et, comme q\neq1 : S=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}.
VII. Arithmético-géométrique : la méthode du point fixe
Définition
u_{n+1}=a\,u_n+b (avec a\neq1, b\neq0) : un mélange des deux mécaniques : l'énoncé fournit toujours les étapes, mais il faut savoir les jouer.
La méthode en 3 coups
- Point fixe : résoudre \ell=a\ell+b.
- Suite auxiliaire : poser v_n=u_n-\ell et montrer que (v_n) est géométrique de raison a.
- Retour : v_n=v_0\,a^n, donc {u_n=(u_0-\ell)\,a^n+\ell}.
u₀ = 5, un+1 = 2un − 6 → ℓ = 6 → vn = un − 6 géométrique de raison 2, v₀ = −1 → un = 6 − 2ⁿ
👆 ▶ À toi : u₀ = 10 et un+1 = 0,5 × un + 3. Exprime un, puis sa limite, puis vérifie
Point fixe : \begin{aligned}\ell &= 0{,}5\ell+3 \\ &\Rightarrow \ell = 6\end{aligned} Avec v_n=u_n-6 : v_0=4 et (v_n) géométrique de raison 0,5, donc {u_n=6+4\times0{,}5^n}.
Comme 0{,}5^n\to0 : u_n\to 6 : la suite converge vers son point fixe (car |a| < 1).
Contrôle : \begin{aligned}u_1 &= 6+2 \\ &= 8\end{aligned} et par la récurrence \begin{aligned}u_1 &= 0{,}5\times10+3 \\ &= 8\end{aligned} ✔
Comme 0{,}5^n\to0 : u_n\to 6 : la suite converge vers son point fixe (car |a| < 1).
Contrôle : \begin{aligned}u_1 &= 6+2 \\ &= 8\end{aligned} et par la récurrence \begin{aligned}u_1 &= 0{,}5\times10+3 \\ &= 8\end{aligned} ✔
VIII. Les limites de qⁿ : quatre cas, pas un de plus
| q > 1 | q = 1 | −1 < q < 1 | q ≤ −1 |
|---|---|---|---|
| qⁿ → +∞ | qⁿ → 1 | qⁿ → 0 | pas de limite (oscille) |
Et pour les sommes ?
Si -1<q<1 : {u_0+u_1+\cdots+u_n\longrightarrow\dfrac{u_0}{1-q}}. Exemple : {1+\tfrac13+\tfrac19+\cdots\longrightarrow\dfrac{1}{1-\frac13}=\dfrac32}.
🎮 Entraîne-toi : la limite de qⁿ
Situe q par rapport à −1 et 1.
IX. Les pièges à connaître
⚠️ Le nombre de termes, c'est n − p + 1
De u₃ à u₁₅ : 13 termes, pas 12. Vérifie sur un petit cas : de u₁ à u₃, il y a bien 3 termes.
⚠️ Deux termes ne font pas une preuve
Montrer u_1-u_0=u_2-u_1 ne prouve pas que la suite est arithmétique : le calcul de u_{n+1}-u_n doit être fait pour tout n.
⚠️ Le point fixe n'est pas toujours la limite
u_n=(u_0-\ell)a^n+\ell converge vers \ell seulement si -1<a<1. Si |a|>1 (et u_0\neq\ell), la suite diverge : comme {u_n=6-2^n\to-\infty} ci-dessus.