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Fiche de cours Logimaths

Fiche de cours : Variables aléatoires

Loi de probabilité, espérance et loi de Bernoulli

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I. Définition

Définition Une variable aléatoire X associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. L'ensemble des valeurs prises par X est noté \{x_1,x_2,\dots,x_n\}. La loi de probabilité de X donne, pour chaque valeur x_i, la probabilité P(X=x_i) qu'elle soit prise.
Propriété La loi de probabilité d'une variable aléatoire vérifie toujours :
  • chaque probabilité est comprise entre 0 et 1 : {0 \leqslant P(X=x_i) \leqslant 1} ;
  • la somme de toutes les probabilités vaut 1 : \sum_{i=1}^{n} P(X=x_i)=1.

Remarque : avant tout calcul, il faut toujours vérifier que la somme des p_i vaut bien 1. C'est l'erreur la plus fréquente : une loi de probabilité mal recopiée (probabilité oubliée, valeur dupliquée) fausse tous les calculs qui suivent (espérance, variance...).

Exemple : Somme de deux dés équilibrés à 6 faces : X prend les valeurs de 2 à 12. On a \begin{aligned}P(X=7) &= \dfrac{6}{36} \\ &= \dfrac16\end{aligned} (six façons d'obtenir 7 sur 36 issues équiprobables), et la somme des 11 probabilités vaut bien 1.
Exemple : Un contrôle qualité porte sur des pièces usinées. On note X le nombre de défauts détectés sur une pièce, avec X\in\{0;1;2\}.
x_i012
P(X=x_i)0{,}70{,}20{,}1
On vérifie : 0{,}7+0{,}2+0{,}1=1 ✓, la loi est bien valide.
0,7 0,2 0,1 0 1 2 P(X=xi) xi
Représentation en bâtons de la loi de probabilité de X (exemple du contrôle qualité) : la hauteur de chaque bâton donne P(X=x_i).

II. Espérance, variance, écart-type

Définition E(X)=\sum_{i=1}^{n} p_ix_i   V(X)=\sum_{i=1}^{n} p_i(x_i-E(X))^2   \sigma(X)=\sqrt{V(X)}

Remarque : E(X) est la moyenne « théorique » des valeurs de X, pondérée par leurs probabilités. V(X) et \sigma(X) mesurent la dispersion des valeurs autour de cette moyenne : plus \sigma(X) est grand, plus les résultats sont dispersés.

Formule de König-Huygens En pratique, on calcule presque toujours la variance avec la formule équivalente : V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2, où E(X^2)=\sum_{i=1}^n p_ix_i^2.
Méthode
  1. Vérifier que la loi de X est valide (somme des p_i égale à 1).
  2. Calculer E(X)=\sum p_ix_i.
  3. Calculer E(X^2)=\sum p_ix_i^2.
  4. En déduire V(X)=E(X^2)-E(X)^2 puis \sigma(X)=\sqrt{V(X)}.
Exemple : Avec la loi du contrôle qualité ci-dessus : \begin{aligned}E(X) &= 0\times0{,}7+1\times0{,}2+2\times0{,}1 \\ &= 0{,}4\end{aligned} défaut en moyenne par pièce. \begin{aligned}E(X^2) &= 0^2\times0{,}7+1^2\times0{,}2+2^2\times0{,}1 \\ &= 0{,}6\end{aligned} donc \begin{aligned}V(X) &= 0{,}6-0{,}4^2 \\ &= 0{,}6-0{,}16 \\ &= 0{,}44\end{aligned} et \begin{aligned}\sigma(X) &= \sqrt{0{,}44} \\ &\approx 0{,}66\end{aligned}

III. Linéarité de l'espérance

Propriété Pour tous réels a et b : {E(aX+b)=aE(X)+b}.
De plus : V(aX+b)=a^2V(X) et \sigma(aX+b)=|a|\,\sigma(X).

Remarque : ajouter une constante b ne change pas la dispersion (translation des valeurs), c'est pourquoi b disparaît dans la formule de la variance.

Exemple : Une variable aléatoire X a pour espérance E(X)=0{,}4 et variance V(X)=0{,}44 (contrôle qualité précédent). Un atelier facture une pénalité Y=50X+10 (en euros) pour la reprise des pièces défectueuses. Alors \begin{aligned}E(Y) &= 50\times0{,}4+10 \\ &= 30\end{aligned} € et \begin{aligned}V(Y) &= 50^2\times0{,}44 \\ &= 1\,100\end{aligned} soit \begin{aligned}\sigma(Y) &= \sqrt{1\,100} \\ &\approx 33{,}17\end{aligned} €.

IV. Jeu équitable et prise de décision

Définition On appelle X le gain algébrique (gain moins mise). Le jeu est dit :
  • équitable si E(X)=0 ;
  • favorable au joueur si E(X)>0 ;
  • défavorable au joueur si E(X)<0.
Exemple : Mise 2€, gain 10€ avec p=0{,}1 : \begin{aligned}E(X) &= 0{,}9\times(-2)+0{,}1\times8 \\ &= -1{,}8+0{,}8 \\ &= -1\end{aligned} Le jeu est défavorable en moyenne au joueur (il perd 1€ par partie en moyenne).
Exemple (assurance) : Une compagnie propose une assurance annuelle à 25€. La probabilité qu'un client déclare un sinistre dans l'année est 0{,}02, auquel cas la compagnie rembourse 800€. Soit X le gain algébrique de la compagnie pour un contrat :
IssuePas de sinistreSinistre
x_i2525-800=-775
P(X=x_i)0{,}980{,}02
\begin{aligned}E(X) &= 0{,}98\times25+0{,}02\times(-775) \\ &= 24{,}5-15{,}5 \\ &= 9\end{aligned} Comme E(X)>0, le contrat est en moyenne profitable à l'assureur (9€ de gain moyen par client et par an), même si un client isolé peut perdre de l'argent sur ce contrat.

V. Loi de Bernoulli

Définition Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues : « succès » (probabilité p) et « échec » (probabilité 1-p). La variable aléatoire X qui vaut 1 en cas de succès et 0 sinon suit la loi de Bernoulli de paramètre p, notée \mathcal B(p) : P(X=1)=p, P(X=0)=1-p.
Propriété E(X)=p   V(X)=p(1-p)   \sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}

Remarque : ces formules se retrouvent directement à partir de la définition de E(X) et de la formule de König-Huygens : \begin{aligned}E(X) &= 1\times p+0\times(1-p) \\ &= p\end{aligned} et \begin{aligned}E(X^2) &= 1^2\times p+0^2\times(1-p) \\ &= p\end{aligned} donc \begin{aligned}V(X) &= p-p^2 \\ &= p(1-p)\end{aligned}

Exemple : Reprenons l'assurance : pour un client donné, la variable S « il y a un sinistre » suit la loi \mathcal B(0{,}02). On a directement E(S)=0{,}02 et \begin{aligned}V(S) &= 0{,}02\times0{,}98 \\ &= 0{,}0196\end{aligned} soit \begin{aligned}\sigma(S) &= \sqrt{0{,}0196} \\ &= 0{,}14\end{aligned}

VI. Rappel : loi binomiale

Définition Lorsqu'on répète n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre p, le nombre de succès X suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée \mathcal B(n,p).
Propriété P(X=k)=\dbinom nk p^k(1-p)^{n-k}   E(X)=np   V(X)=np(1-p)   \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}

Remarque : la loi binomiale est la loi de la somme de n variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre p, ce qui explique pourquoi son espérance vaut n fois celle d'une seule épreuve de Bernoulli.

Exemple : La compagnie d'assurance suit 100 contrats indépendants avec p=0{,}02. Le nombre de sinistres X sur l'année suit \mathcal B(100\,;0{,}02). En moyenne, \begin{aligned}E(X) &= 100\times0{,}02 \\ &= 2\end{aligned} sinistres sont attendus, avec un écart-type \begin{aligned}\sigma(X) &= \sqrt{100\times0{,}02\times0{,}98} \\ &= \sqrt{1{,}96} \\ &= 1{,}4\end{aligned}