Fiche d'exercices : Trigonométrie

1. \dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{3\pi}{4} ; \dfrac{4\pi}{3}.
2. 36° ; 150° ; 270° (multiplier par 180/π).

1. Sommet (0 ; 1) ; point (−1 ; 0) ; huitième de tour sous l'axe ; diagonale du troisième quadrant.
2. Tous les trois : \dfrac{7\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi et -\dfrac{5\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} - 2\pi (un tour en plus, un tour en moins).

1. \dfrac{\sqrt{3}}{2} et \dfrac{1}{2}.
2. \dfrac{\sqrt{2}}{2} pour les deux (la diagonale).
3. 1 + 1 - 1 = 1.

1. \begin{aligned}\sin^2 x &= 1 - \dfrac{25}{169} \\ &= \dfrac{144}{169}\end{aligned} : \sin x = \pm\dfrac{12}{13}. Sous l'axe (x négatif dans le 4e quadrant) : \sin x = -\dfrac{12}{13}.
2. \begin{aligned}\cos^2 x &= 1 - \dfrac{9}{25} \\ &= \dfrac{16}{25}\end{aligned} et dans le 3e quadrant le cosinus est négatif : \cos x = -\dfrac{4}{5}.

1. \cos x - \cos x = 0.
2. -\sin x + \sin x = 0.
3. -\cos x \times \cos x = -\cos^2 x.

1. \dfrac{3\pi}{4} = \pi - \dfrac{\pi}{4} : -\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
2. \dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6} : \sin = \dfrac{1}{2}.
3. \dfrac{4\pi}{3} = \pi + \dfrac{\pi}{3} : -\dfrac{1}{2}.

1. Deux points d'abscisse \dfrac{\sqrt{3}}{2} : {S = \left\{-\dfrac{\pi}{6}\,;\,\dfrac{\pi}{6}\right\}}.
2. Ordonnée −1/2, sous l'axe : {S = \left\{-\dfrac{\pi}{6}\,;\,-\dfrac{5\pi}{6}\right\}}.
3. −3 < −1 : aucune solution, le cosinus vit dans [−1 ; 1].

Le réflexe : sinus = ordonnée, cosinus = abscisse Une équation en sinus se lit sur un trait horizontal (tous les points de même hauteur) ; une équation en cosinus sur un trait vertical. Le trait coupe le cercle en deux points : il y a donc en général deux solutions par tour. 1. Les deux points de hauteur \dfrac{\sqrt{2}}{2} sont \dfrac{\pi}{4} et \dfrac{3\pi}{4} : S = \left\{\dfrac{\pi}{4}\,;\,\dfrac{3\pi}{4}\right\}.
2. Les deux points d’abscisse -\dfrac{1}{2} : {S = \left\{\dfrac{2\pi}{3}\,;\,-\dfrac{2\pi}{3}\right\}}.
3. Hauteur négative : les deux points sont sous l’axe, S = \left\{-\dfrac{\pi}{3}\,;\,-\dfrac{2\pi}{3}\right\}.
4. Cas particulier : le trait vertical est tangent au cercle, il n’y a qu’un seul point, S = \{0\}.
Et sur \left[0\,;\,2\pi\right[ ? On ajoute un tour aux solutions négatives : -\dfrac{2\pi}{3} devient \dfrac{4\pi}{3}, et -\dfrac{\pi}{3} devient \dfrac{5\pi}{3}. Les solutions déjà positives, elles, ne bougent pas.

A. On applique la formule, on ne cherche jamais x 1. \begin{aligned}\cos(\pi - x) &= -\cos x \\ &= -\dfrac{1}{3}\end{aligned}
2. \begin{aligned}\sin(\pi + x) &= -\sin x \\ &= -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\end{aligned}
3. Avec \dfrac{\pi}{2}, le sinus devient cosinus : \begin{aligned}\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) &= \cos x \\ &= \dfrac{1}{3}\end{aligned}
4. Et le cosinus devient sinus, avec un signe moins : \begin{aligned}\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) &= -\sin x \\ &= -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\end{aligned}
5. \begin{aligned}\cos(-x) + \cos(\pi + x) &= \cos x - \cos x \\ &= 0\end{aligned}
B. On décompose l’angle pour retomber sur un angle connu 6. \dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}, \ \text{donc} \ \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}.
7. \begin{aligned}\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) &= \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \\ &= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}
8. \begin{aligned}\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{3}\right) &= \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \\ &= \dfrac{1}{2}\end{aligned}
La frontière à retenir : avec \pi seuls les signes changent ; avec \dfrac{\pi}{2}, cosinus et sinus échangent leurs rôles.

On fait apparaître un multiple de 2π A. 3 \times 2\pi \times 1 = \mathbf{6\pi}, et {3 \times 2\pi \times 2 = 12\pi > 10\pi} ;
\begin{aligned}\dfrac{10\pi}{3} &= \dfrac{6\pi + 4\pi}{3} \\ &= 2\pi + \dfrac{4\pi}{3}\end{aligned} Or \dfrac{4\pi}{3} > \pi, donc on enlève un dernier tour : \dfrac{4\pi}{3} - 2\pi = -\dfrac{2\pi}{3}.
B. 4 \times 2\pi \times 2 = \mathbf{16\pi}, et {4 \times 2\pi \times 3 = 24\pi > 17\pi} ;
\begin{aligned}-\dfrac{17\pi}{4} &= -\dfrac{16\pi + \pi}{4} \\ &= -4\pi - \dfrac{\pi}{4}\end{aligned} La mesure principale est -\dfrac{\pi}{4}.
C. 6 \times 2\pi \times 2 = \mathbf{24\pi}, et {6 \times 2\pi \times 3 = 36\pi > 31\pi} ;
\begin{aligned}-\dfrac{31\pi}{6} &= -\dfrac{24\pi + 7\pi}{6} \\ &= -4\pi - \dfrac{7\pi}{6}\end{aligned} Or -\dfrac{7\pi}{6} < -\pi, donc on ajoute un tour : -\dfrac{7\pi}{6} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{6}. Trois mesures monstrueuses, trois points parfaitement ordinaires : seule la mesure principale compte pour placer.

Un terme à la fois, en ramenant au premier quart \begin{aligned}\cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) &= \cos\left(\pi + \dfrac{\pi}{3}\right) \\ &= -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \\ &= -\dfrac{1}{2}\end{aligned}
\begin{aligned}\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) &= -\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \\ &= -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}
\begin{aligned}\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) &= \sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) \\ &= \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) \\ &= \dfrac{1}{2}\end{aligned}
\begin{aligned}\cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) &= \cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) \\ &= -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}

\begin{aligned}A &= -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \sqrt{2}\end{aligned}
Attention aux deux signes moins qui se suivent : -\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) vaut +\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

1. On passe par \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \begin{aligned}\cos^2 x &= 1 - \left(\dfrac{1}{5}\right)^2 \\ &= 1 - \dfrac{1}{25} \\ &= \dfrac{24}{25}\end{aligned} donc \cos x = \dfrac{2\sqrt{6}}{5} ou \cos x = -\dfrac{2\sqrt{6}}{5}.
L’intervalle tranche : sur \left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right] le point est à gauche de l’axe, donc le cosinus est négatif :
\cos x = -\dfrac{2\sqrt{6}}{5}.
2. On applique les formules, sans jamais chercher x \begin{aligned}\cos(\pi - x) &= -\cos x \\ &= \dfrac{2\sqrt{6}}{5}\end{aligned}
\begin{aligned}\sin(\pi + x) &= -\sin x \\ &= -\dfrac{1}{5}\end{aligned}
\begin{aligned}\cos(-x) &= \cos x \\ &= -\dfrac{2\sqrt{6}}{5}\end{aligned}
\begin{aligned}\sqrt{\dfrac{24}{25}} &= \dfrac{\sqrt{24}}{5} \\ &= \dfrac{2\sqrt{6}}{5}\end{aligned} On sort le carré de 24 = 4 \times 6.

On isole le cosinus, puis on lit le cercle \cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}, et \cos\theta = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} donne deux familles : \theta = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi ou \theta = -\dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi.
On revient à x \begin{aligned}2x &= \dfrac{5\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \\ &= \dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi\end{aligned} donc x = \dfrac{7\pi}{12} + k\pi ;
\begin{aligned}2x &= -\dfrac{5\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \\ &= -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\end{aligned} donc x = -\dfrac{\pi}{4} + k\pi.
S_{\mathbb{R}} = \left\{\dfrac{7\pi}{12} + k\pi\ ;\ -\dfrac{\pi}{4} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\right\}

On balaie ensuite chaque intervalle S_{\left[0\,;\,2\pi\right[} = \left\{\dfrac{7\pi}{12}\ ;\ \dfrac{3\pi}{4}\ ;\ \dfrac{19\pi}{12}\ ;\ \dfrac{7\pi}{4}\right\}
S_{\left]-\pi\,;\,\pi\right]} = \left\{-\dfrac{5\pi}{12}\ ;\ -\dfrac{\pi}{4}\ ;\ \dfrac{7\pi}{12}\ ;\ \dfrac{3\pi}{4}\right\}
Le piège est là : l’angle vaut 2x, donc on divise par 2 à la fin, et le pas des solutions devient \pi au lieu de 2\pi. Il y a donc quatre solutions par tour, pas deux.

1. h(0) = 22 m ; h\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 42 m (le sommet) ; \begin{aligned}h\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) &= 22 - 20 \\ &= 2\end{aligned} m (le bas).
2. {-1 \leq \sin x \leq 1} : entre 2 m et 42 m.
3. \sin(x) = \dfrac{1}{2} : x = \dfrac{\pi}{6} ou x = \dfrac{5\pi}{6} (en montant, puis en redescendant).