Enrouler la droite sur le cercle
Le cercle trigonométrique a pour centre l'origine, pour rayon 1, et se parcourt dans le sens direct (inverse des aiguilles d'une montre). En « enroulant » la droite des réels autour, chaque réel x atterrit sur un point M du cercle. Le radian est l'unité naturelle : x est la longueur d'arc parcourue. Un tour complet mesure 2π radians (le périmètre !), donc : 180° = \pi \text{ rad}. Conversion : on multiplie par π/180 (degrés → radians) ou 180/π (radians → degrés). 60° = π/3, 90° = π/2, 45° = π/4.
⚠️ Plusieurs réels, un même point
x et x + 2π s'enroulent sur le MÊME point (un tour de plus) : chaque point du cercle correspond à une infinité de réels, à 2π près. C'est pour cela que les solutions des équations trigonométriques viennent toujours par familles « + 2kπ ».
Les deux sens de parcours
On tourne toujours à partir du point (1 ; 0). Le sens direct est le sens antihoraire (l’inverse des aiguilles d’une montre) : les angles y sont positifs. Le sens indirect est celui des aiguilles d’une montre : les angles y sont négatifs.
Sens direct (+)
antihoraire
angle parcouru0
mesure principale0
tours complets0
cos1
sin0
Sens indirect (−)
sens des aiguilles d’une montre
angle parcouru0
mesure principale0
tours complets0
cos1
sin0
👆 attrape le point et fais-le tourner : il ne s’arrête que sur les valeurs du tableau (π/6, π/4, π/3, π/2, 2π/3, 3π/4…)
Trois tours, et le point repasse trois fois aux mêmes endroits : l’angle parcouru, lui, ne cesse de grandir. Seule la mesure principale (celle des quatre repères violets) revient toujours au même endroit.
Définition : la mesure principale
Un même point du cercle correspond à une infinité de mesures, qui diffèrent toutes d’un nombre entier de tours : si x en est une, les autres s’écrivent x + 2k\pi avec k \in \mathbb{Z}.
Parmi toutes ces mesures, une seule appartient à \left]-\pi\,;\,\pi\right] : on l’appelle la mesure principale de l’angle. Borne gauche ouverte, borne droite fermée : \pi est une mesure principale, -\pi non (sa mesure principale est \pi).
🎯 Trouver la mesure principale
Toute l’idée : faire apparaître un multiple de 2\pi dans le numérateur, puis couper la fraction en deux.
Multiplier le dénominateur par 2\pi : une fois, deux fois, trois fois… jusqu’à dépasser le numérateur.
Garder le dernier qui ne le dépasse pas : c’est le paquet de tours.
Découper la fraction : le multiple d’un côté, le reste de l’autre.
Les tours ramènent au même point : il ne reste que la mesure. Si elle dépasse encore \pi, enlever un dernier tour.
C’est cette dernière ligne qu’on oublie : le découpage donne une mesure entre 0 et 2\pi, or la mesure principale doit tomber dans \left]-\pi\,;\,\pi\right]. Tant qu’on dépasse \pi, le travail n’est pas fini.
Exemples rédigés
\dfrac{19\pi}{4} : on fabrique les multiples de 2\pi avec le dénominateur 4.
4 \times 2\pi \times 1 = 8\pi
4 \times 2\pi \times 2 = 16\pi← le plus grand qui ne dépasse pas
📌 Lis bien l’intervalle demandé
Le découpage donne toujours le même point du cercle. Ce qui change d’un énoncé à l’autre, c’est la mesure qu’on a le droit d’écrire. Avec \dfrac{13\pi}{4} = 2\pi + \dfrac{5\pi}{4}, le point est toujours celui-ci, en bas à gauche ; seul le chemin pour y aller change.
\left]-\pi\,;\,\pi\right]
-\dfrac{3\pi}{4}
\left[0\,;\,2\pi\right[
\dfrac{5\pi}{4}
\left[-2\pi\,;\,2\pi\right]
\dfrac{5\pi}{4} et -\dfrac{3\pi}{4}
Intervalle demandé
Réponse
Pourquoi
\left]-\pi\,;\,\pi\right] (mesure principale)
-\dfrac{3\pi}{4}
le reste \dfrac{5\pi}{4} dépasse \pi, on enlève encore 2\pi
\left[0\,;\,2\pi\right[
\dfrac{5\pi}{4}
c’est le reste du découpage, on n’y touche pas
\left[-2\pi\,;\,2\pi\right]
\dfrac{5\pi}{4} et -\dfrac{3\pi}{4}
l’intervalle est large de deux tours : deux mesures y tombent
La mesure principale, elle, est unique : l’intervalle \left]-\pi\,;\,\pi\right] fait exactement un tour, borne gauche ouverte pour qu’on ne compte pas deux fois le même point. Dès que l’intervalle demandé est plus large qu’un tour, attends-toi à plusieurs réponses.
⚠️ Le réflexe qui trompe\dfrac{3\pi}{2} n’est pas une mesure principale : \dfrac{3\pi}{2} > \pi. La sienne est \dfrac{3\pi}{2} - 2\pi = -\dfrac{\pi}{2}.
Retiens l’ordre de grandeur : une mesure principale est toujours comprise entre -\pi \approx -3{,}14 et \pi \approx 3{,}14. Dès qu’une mesure sort de là, il reste des tours à enlever.
🎮 Entraîne-toi : degrés ⇄ radians
180° = π rad : tout le reste est une règle de trois.
II. Cosinus, sinus et valeurs remarquables
Les coordonnées du point M
Pour le point M associé au réel x :
\cos(x) est l'abscisse de M ;
\sin(x) est l'ordonnée de M.
Conséquences : {-1 \leq \cos x \leq 1}{-1 \leq \sin x \leq 1} et par Pythagore : \cos^2 x + \sin^2 x = 1.
Le cercle et les trois angles a connaitre
Sur le cercle, l’abscisse d’un point donne son cosinus et son ordonnée son sinus : les trois angles remarquables se lisent donc directement sur les axes.
Les trois valeurs sont toujours les mêmes, seule leur place change : plus l’angle grandit, plus le cosinus (horizontal) diminue et plus le sinus (vertical) augmente.
Le tableau des valeurs remarquables
Pour x = 0,\ \dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{\pi}{2} :
sinus : \dfrac{\sqrt{0}}{2},\ \dfrac{\sqrt{1}}{2},\ \dfrac{\sqrt{2}}{2},\ \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{\sqrt{4}}{2} (l'astuce des racines de 0 à 4 !) ;
cosinus : la même liste, lue à l'envers (1,\ \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{\sqrt{2}}{2},\ \dfrac{1}{2},\ 0).
Et \cos(\pi) = -1, \sin(\pi) = 0 (le point (−1 ; 0)).
🎮 Entraîne-toi : les valeurs remarquables
Place le point sur le cercle : abscisse pour cos, ordonnée pour sin.
Du cercle à la courbe
La courbe n’est pas un objet nouveau : c’est le déroulé de ce que fait le point sur le cercle. Le point avance d’abord dans le sens direct (x > 0, vers la droite), puis repart de 0 dans le sens indirect (x < 0, vers la gauche).
sin(x)
l’ordonnée du point se reporte telle quelle en hauteur : le trait de liaison est horizontal.
x0
cos(x)1
sin(x)0
👆 attrape le point et fais-le glisser sur la courbe. Les angles remarquables (π/6, π/4, π/3, π/2…) sont aimantés : le point s’y accroche et grossit
cos(x)
le cosinus se lit en abscisse sur le cercle (trait vertical), puis se relève en hauteur sur la courbe.
x0
cos(x)1
sin(x)0
👆 attrape le point et fais-le glisser sur la courbe. Les angles remarquables (π/6, π/4, π/3, π/2…) sont aimantés : le point s’y accroche et grossit
Le point revient au même endroit du cercle après chaque tour : c’est exactement pour cela que la courbe se répète tous les 2\pi. On dit qu’elle est périodique de période 2\pi.
III. cos² + sin² = 1 en action
Retrouver cos à partir de sin (et inversement)
Si \sin(x) = 0{,}6 avec x \in \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right] : \begin{aligned}\cos^2 x &= 1 - 0{,}36 \\ &= 0{,}64\end{aligned} donc \cos x = \pm 0{,}8. L'intervalle tranche : dans le premier quart de cercle, le cosinus est positif : \cos x = 0{,}8. SANS l'information sur l'intervalle, impossible de choisir le signe : toujours situer le point sur le cercle avant de conclure.
🎮 Entraîne-toi : cos² + sin² = 1
Élève au carré, complète à 1, prends la racine : le signe vient du cercle.
IV. Les angles associés
Les symétries du cercle
Les points associés à x et à ses « cousins » se déduisent par symétrie :
−x (symétrie / axe des abscisses) : \cos(-x) = \cos x et \sin(-x) = -\sin x ;
π − x (symétrie / axe des ordonnées) : \cos(\pi - x) = -\cos x et \sin(\pi - x) = \sin x ;
π + x (symétrie / origine) : {\cos(\pi + x) = -\cos x} et \sin(\pi + x) = -\sin x ;
π/2 − x (symétrie / la droite y = x) : \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x et {\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x} ;
π/2 + x (symétrie / la droite y = x, puis symétrie / axe des ordonnées) : \cos\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x et \sin\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) = \cos x.
Ne PAS apprendre par cœur sans comprendre : dessine le petit cercle, place les points, lis les signes. Retiens surtout la frontière : avec π, seuls les signes bougent ; avec π/2, cosinus et sinus échangent leurs rôles.
👁️ Lire les signes au lieu de les apprendre
Sur chaque figure, le même petit angle x (en rose) et son angle associé (en bleu). Les projections sont reportées sur les deux axes : il suffit de regarder de quel côté de l’origine elles tombent pour lire le signe.
L’angle −x : symétrie par rapport à l’axe des abscisses
L’abscisse est inchangée, l’ordonnée est opposée.
\cos(-x) = \cos x \sin(-x) = -\sin x
L’angle π−x : symétrie par rapport à l’axe des ordonnées
L’ordonnée est inchangée, l’abscisse est opposée.
\cos(\pi - x) = -\cos x \sin(\pi - x) = \sin x
L’angle π+x : symétrie par rapport à l’origine O
Les deux coordonnées changent de signe.
{\cos(\pi + x) = -\cos x} \sin(\pi + x) = -\sin x
🔄 Avec π/2, cosinus et sinus ÉCHANGENT leurs rôles
C’est la différence de fond avec les trois cas précédents : −x, π−x et π+x se contentent de changer des signes, alors qu’une symétrie par rapport à la droite y = x transforme un cosinus en sinus. Sur la figure, la projection horizontale de l’un devient la projection verticale de l’autre : c’est visible sans rien apprendre.
L’angle π/2−x : la droite d’équation y = x (la première bissectrice)
Les deux coordonnées s’échangent : l’abscisse de l’un est l’ordonnée de l’autre.
L’angle π/2+x : symétrie / la droite y = x, puis symétrie / axe des ordonnées
Deux symétries à la suite : ① par rapport à la droite y = x (on tombe sur π/2−x), puis ② par rapport à l’axe des ordonnées. Les coordonnées s’échangent, et la nouvelle abscisse change de signe.
\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x \sin\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) = \cos x
Exemple rédigé : calculer cos(2π/3)\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3} : \begin{aligned}\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) &= -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \\ &= -\dfrac{1}{2}\end{aligned} et \begin{aligned}\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) &= \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \\ &= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned} Toutes les valeurs du cercle se ramènent ainsi au premier quart.
👆▶ À toi : exprime cos(π + x) et sin(−x) puis calcule sin(7π/6). Vérifie
