Exprimer un vecteur en fonction de deux autres vecteurs
La suite logique après avoir su placer un point : combiner deux expressions vectorielles pour montrer que trois points sont alignés : Niveau 2nde.
Après avoir su placer un point à partir d'une égalité vectorielle, une autre question très fréquente en exercice de vecteurs est : « Exprimer un vecteur en fonction de deux autres vecteurs donnés. » Cette compétence sert souvent de tremplin vers d'autres questions de l'exercice, comme comparer les deux vecteurs exprimés pour prouver leur colinéarité (notion de parallélisme), ou bien montrer que trois points sont alignés.
Un parcours en 3 étapes, du plus simple au plus costaud :
- 1 Je sais exprimer un vecteur en fonction de deux autres vecteurs donnés, quand il contient un seul point particulier.
- 2 Je sais exprimer un vecteur en fonction de deux autres vecteurs donnés, quand il contient deux points particuliers.
- 3 Je sais comparer deux vecteurs exprimés avec les deux mêmes vecteurs pour prouver leur colinéarité, et donc un parallélisme, ou que trois points sont alignés.
Rappels indispensables
Relation de Chasles : pour tous points A, B, C : \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.
Vecteur opposé : \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB} : échanger les deux lettres d'un vecteur revient à mettre un moins devant le vecteur (cela revient à le multiplier par -1).
Contrairement à la fiche précédente, où l'on cherchait à placer un point, ici on cherche à écrire un vecteur donné comme somme de deux vecteurs connus (avec des coefficients). C'est un point de départ pour comparer des vecteurs entre eux.
Étape 1 : Exprimer un vecteur en fonction de deux autres vecteurs donnés
Deux types de points à repérer dans un exercice :
• Les points normaux : les points de la figure de départ de l'énoncé : très souvent les sommets d'un triangle ou d'un parallélogramme (ici A, B et C).
• Les points particuliers : les points absents de la figure de départ, dont on ne connaît la position que grâce à une information supplémentaire de l'énoncé : le plus souvent une égalité vectorielle, mais cela peut aussi être un milieu, l'image d'un point par une translation, etc.
Méthode :
1. Dans le vecteur à exprimer, repérer lequel (ou lesquels) de ses deux points est un point particulier : parfois les deux le sont.
2. Pour ce point particulier, aller chercher parmi les égalités vectorielles de l'énoncé celle qui le contient.
3. Dans le vecteur de départ (celui qu'on veut exprimer), introduire par Chasles exactement la lettre qui apparaît à côté du point particulier dans l'égalité trouvée : pour faire apparaître le morceau qu'on va pouvoir remplacer.
4. Substituer, puis travailler jusqu'à obtenir la combinaison des deux vecteurs normaux demandés.
Exemple avec l'exercice suivant
ABC est un triangle : ce sont les points normaux. I, J et K sont les points particuliers, construits à partir de ces trois égalités vectorielles.
Le point particulier I est défini par {2\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{CB} = \vec0}. Exprimer \overrightarrow{AI} en fonction des vecteurs normaux \overrightarrow{CA} et \overrightarrow{CB}.
👆 À toi de jouer
- Sachant que \overrightarrow{QA} + \overrightarrow{CB} = 3\overrightarrow{CA}, exprimer \overrightarrow{AQ} en fonction de \overrightarrow{CA} et \overrightarrow{CB}.
Voir la réponse
On isole : \overrightarrow{QA} = 3\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB}
On inverse : \overrightarrow{AQ} = -3\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}Depuis A : trois fois le vecteur AC, puis le vecteur CB. Le point d'arrivée est Q. - Sachant que \overrightarrow{RB} - \overrightarrow{CB} = 2\overrightarrow{CA}, exprimer \overrightarrow{BR} en fonction de \overrightarrow{CA} et \overrightarrow{CB}.
Voir la réponse
On isole : \overrightarrow{RB} = 2\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}
On inverse : \overrightarrow{BR} = -2\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB}Depuis B : deux fois le vecteur AC, puis le vecteur BC (puisque −CB = BC). Le point d'arrivée est R.
Étape 2 : Exprimer un vecteur qui contient deux points particuliers
La méthode ne change pas : pour chaque point particulier, on va chercher l'égalité qui le définit.
Si l'un des deux a déjà été traité à une étape précédente (comme \overrightarrow{AI} à l'étape 1), on réutilise directement ce résultat, via Chasles, au lieu de repartir de zéro.
Exemple (suite de l'exercice 37)
Le point K est défini par 4\overrightarrow{AK} = 3\overrightarrow{AC}. Exprimer \overrightarrow{KI} en fonction de \overrightarrow{CA} et \overrightarrow{CB} (en réutilisant le résultat de l'étape 1).
👆 À toi de jouer
- Sachant que \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} - \overrightarrow{SC} = 2\overrightarrow{CB}, exprimer \overrightarrow{CS} en fonction de \overrightarrow{CA} et \overrightarrow{CB}.
Voir la réponse
On remplace \overrightarrow{SA}=\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{CA} et \overrightarrow{SB}=\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{CB} :
(\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{CA})+(\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{CB})-\overrightarrow{SC} = 2\overrightarrow{CB}, donc {\overrightarrow{SC} = \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}}
On inverse : \overrightarrow{CS} = \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB}Depuis C : le vecteur CA (on arrive en A), puis le vecteur BC (puisque −CB = BC). Le point d'arrivée est S. - Sachant que 2\overrightarrow{TA} - \overrightarrow{TB} + \overrightarrow{TC} = \overrightarrow{CA}, exprimer \overrightarrow{CT} en fonction de \overrightarrow{CA} et \overrightarrow{CB}.
Voir la réponse
On remplace \overrightarrow{TA}=\overrightarrow{TC}+\overrightarrow{CA} et \overrightarrow{TB}=\overrightarrow{TC}+\overrightarrow{CB} :
2(\overrightarrow{TC}+\overrightarrow{CA})-(\overrightarrow{TC}+\overrightarrow{CB})+\overrightarrow{TC} = \overrightarrow{CA}, donc {2\overrightarrow{TC} = -\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}, soit \overrightarrow{TC} = -\dfrac12\overrightarrow{CA}+\dfrac12\overrightarrow{CB}
On inverse : \overrightarrow{CT} = \dfrac12\overrightarrow{CA}-\dfrac12\overrightarrow{CB}Depuis C : la moitié du vecteur CA, puis la moitié du vecteur BC. Le point d'arrivée est T.
Étape 3 : Conclure sur la colinéarité (parallélisme ou alignement de points)
S'ils dirigent deux droites distinctes, on conclut à un parallélisme.
S'ils partagent une origine commune (comme \overrightarrow{KI} et \overrightarrow{KJ}, tous deux issus de K), on conclut que les points sont alignés.
Méthode : pour tester si {\overrightarrow{U} = \alpha\overrightarrow{CA}+\beta\overrightarrow{CB}} et \overrightarrow{V} = \gamma\overrightarrow{CA}+\delta\overrightarrow{CB} sont colinéaires :
1. On cherche un réel k tel que \overrightarrow{U} = k\overrightarrow{V}, en comparant d'abord les coefficients de \overrightarrow{CA} : \alpha = k\gamma, ce qui donne une valeur candidate pour k.
2. On vérifie avec les coefficients de \overrightarrow{CB} : il faut retrouver \beta = k\delta avec cette même valeur de k.
3. Si les deux coefficients correspondent : il existe k\in\mathbb R tel que \overrightarrow{U}=k\overrightarrow{V}, donc \overrightarrow{U} et \overrightarrow{V} sont colinéaires, donc les droites correspondantes sont parallèles.
Si les deux valeurs de k ne correspondent pas, les vecteurs ne sont pas colinéaires : impossible de conclure à un parallélisme.
Exemple (fin de l'exercice 37)
On admet, en refaisant le même travail qu'aux étapes 1 et 2 avec le point J (défini par \overrightarrow{AB} = \dfrac23\overrightarrow{AJ}), que \overrightarrow{KJ} = -\dfrac34\overrightarrow{CA}+\dfrac32\overrightarrow{CB}. Avec \overrightarrow{KI} = -\dfrac14\overrightarrow{CA}+\dfrac12\overrightarrow{CB} (étape 2), que peut-on en déduire pour les points I, J et K ?
Donc \overrightarrow{KI} et \overrightarrow{KJ} sont colinéaires.
Comme ils partagent l'origine K, les points I, J et K sont alignés.
⚠️ Pour conclure à un ALIGNEMENT de points (et pas seulement à un parallélisme), il faut que les deux vecteurs comparés partagent une origine commune.
Ici, \overrightarrow{KI} et \overrightarrow{KJ} partent tous les deux de K : en montrant qu'ils sont colinéaires, on obtient bien K, I et J alignés sur une même droite.
Si l'on comparait deux vecteurs sans origine commune (par exemple \overrightarrow{AI} et \overrightarrow{KJ}), leur éventuelle colinéarité prouverait seulement que les droites (AI) et (KJ) sont parallèles : pas que A, I, K et J sont alignés.
👆 À toi de jouer
- \overrightarrow{U} = -3\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB} et {\overrightarrow{V} = 6\overrightarrow{CA}-4\overrightarrow{CB}}. U et V sont-ils colinéaires ? Si oui, trouver k tel que \overrightarrow{V}=k\overrightarrow{U}.
Voir la réponse
Coefficients de CA : \begin{aligned}6 &= k\times(-3) \\ &\Rightarrow k = -2\end{aligned}
Vérification avec CB : \begin{aligned}-4 &= k\times2 \\ &= -2\times2 \\ &= -4\end{aligned} \checkmark
Les deux coefficients correspondent : \overrightarrow{V} = -2\overrightarrow{U}
U et V sont colinéaires - \overrightarrow{W} = 4\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB} et {\overrightarrow{Z} = -8\overrightarrow{CA}+3\overrightarrow{CB}}. W et Z sont-ils colinéaires ?
Voir la réponse
Coefficients de CA : \begin{aligned}-8 &= k\times4 \\ &\Rightarrow k = -2\end{aligned}
Vérification avec CB : il faudrait 3 = k\times(-1), soit k=-3
Comme -2\neq-3, les deux valeurs de k ne correspondent pas : W et Z ne sont pas colinéaires
👆 À toi de jouer : type devoir surveillé
- ABC est un triangle. Les points M et N sont définis par {\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}} et \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}. Montrer que les droites (MN) et (AB) sont parallèles.
Voir la réponse
On exprime \overrightarrow{MN} en fonction des deux vecteurs de base \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} : \begin{aligned}\overrightarrow{MN} &= \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM} \\ &= \left(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\right) - \left(3\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\right) \\ &= -2\overrightarrow{AB}\end{aligned} \overrightarrow{MN} et \overrightarrow{AB} sont donc colinéaires : les droites (MN) et (AB) sont parallèles. - Soit I le milieu de [BC] et K le point défini par \overrightarrow{AK} = \dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right). Montrer que les points A, K et I sont alignés.
Voir la réponse
I est le milieu de [BC], donc \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AI}. En remplaçant : \begin{aligned}\overrightarrow{AK} &= \dfrac{1}{3} \times 2\overrightarrow{AI} \\ &= \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}\end{aligned} \overrightarrow{AK} et \overrightarrow{AI} sont colinéaires et partagent le point A : les points A, K et I sont alignés.
Fiche compétences rédigée par Logimaths.