Fiche de cours Logimaths | Seconde
Fiche de cours : Droites du plan
Deux cartes d'identité pour une droite : équation cartésienne et équation réduite
I. Vecteur directeur et équation cartésienne
Vecteur directeur
Un vecteur directeur d'une droite d est un vecteur NON NUL qui a la même direction que d. Il indique « dans quel sens marcher » le long de la droite : une droite en possède une infinité (tous colinéaires entre eux).
Équation cartésienne
Toute droite du plan admet une équation de la forme ax + by + c = 0 (avec a et b non tous les deux nuls), appelée équation cartésienne. Le point M(x ; y) est sur la droite exactement quand ses coordonnées vérifient l'équation.
Propriété clé : le vecteur \vec{u}(-b\,;\,a) est un vecteur directeur de cette droite : on lit b et a « en croisé », avec un signe moins sur le premier.
Propriété clé : le vecteur \vec{u}(-b\,;\,a) est un vecteur directeur de cette droite : on lit b et a « en croisé », avec un signe moins sur le premier.
▶ 🎓 Démonstration au programme (exigible) : pourquoi (−b ; a) dirige la droite
Soit A(x₀ ; y₀) un point de la droite d et \vec{u}(\alpha\,;\,\beta) un vecteur directeur.
Étape 1 M(x ; y) ∈ d ⟺ \overrightarrow{AM} et \vec{u} colinéaires ⟺ \det(\overrightarrow{AM}\,;\vec{u}) = 0.
Étape 2 Ce déterminant s'écrit {\beta(x - x_0) - \alpha(y - y_0) = 0}, soit \beta x - \alpha y + (\alpha y_0 - \beta x_0) = 0.
Étape 3 C'est bien la forme ax + by + c = 0 avec a = β et b = −α : donc \vec{u}(\alpha\,;\,\beta) = (-b\,;\,a).
Étape 1 M(x ; y) ∈ d ⟺ \overrightarrow{AM} et \vec{u} colinéaires ⟺ \det(\overrightarrow{AM}\,;\vec{u}) = 0.
Étape 2 Ce déterminant s'écrit {\beta(x - x_0) - \alpha(y - y_0) = 0}, soit \beta x - \alpha y + (\alpha y_0 - \beta x_0) = 0.
Étape 3 C'est bien la forme ax + by + c = 0 avec a = β et b = −α : donc \vec{u}(\alpha\,;\,\beta) = (-b\,;\,a).
Trouver une équation cartésienne
- Avec un point et un vecteur directeur (α ; β) : poser a = β, b = −α, puis trouver c en remplaçant par les coordonnées du point ;
- avec deux points B et C : le vecteur \overrightarrow{BC} est directeur, on est ramené au cas précédent.
🎮 Entraîne-toi : lire un vecteur directeur
Dans ax + by + c = 0, le vecteur (−b ; a) est directeur.
II. Équation réduite et pente
Équation réduite
Chaque droite possède UNE SEULE équation réduite :
- droite non verticale : y = mx + p : m est la pente (ou coefficient directeur), p l'ordonnée à l'origine ;
- droite verticale (parallèle à l'axe des ordonnées) : x = n : pas de pente !
La pente entre deux points
Si A et B sont deux points de la droite avec x_A \neq x_B :
Exemple : A(1 ; 3) et B(4 ; 9) : \begin{aligned}m &= \dfrac{9 - 3}{4 - 1} \\ &= 2\end{aligned} puis 3 = 2 × 1 + p donne p = 1 : la droite (AB) a pour équation y = 2x + 1.
m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}
« Ce que monte y divisé par ce qu'avance x ». Ensuite p s'obtient en écrivant que A vérifie y = mx + p.Exemple : A(1 ; 3) et B(4 ; 9) : \begin{aligned}m &= \dfrac{9 - 3}{4 - 1} \\ &= 2\end{aligned} puis 3 = 2 × 1 + p donne p = 1 : la droite (AB) a pour équation y = 2x + 1.
🎮 Entraîne-toi : calculer une pente
m = (yB − yA) divisé par (xB − xA) : différence des y SUR différence des x.
🎮 Entraîne-toi : de la cartésienne à la pente
Isole y dans l'équation, ou utilise m = −a/b directement.
III. Parallèles ou sécantes ?
Position relative de deux droites
- Deux droites sont parallèles ⟺ elles ont la MÊME pente (ou des vecteurs directeurs colinéaires) ;
- des pentes différentes ⟺ droites sécantes (un unique point d'intersection) ;
- deux droites verticales x = n et x = n′ sont toujours parallèles.
🎮 Entraîne-toi : parallèles ou sécantes ?
Compare les pentes : égales = parallèles, différentes = sécantes.
IV. Les pièges du chapitre
⚠️ La pente se lit y sur x, pas le contraire
m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} : les ordonnées AU NUMÉRATEUR. Inverser donne la pente de la droite… symétrique par rapport à la diagonale. Et garder le MÊME ordre en haut et en bas : B − A partout (ou A − B partout).
⚠️ Une infinité de cartésiennes, UNE réduite
2x + 4y − 6 = 0 et x + 2y − 3 = 0 décrivent la MÊME droite (on peut multiplier une équation cartésienne par un nombre non nul). L'équation réduite, elle, est unique : c'est elle qui permet de comparer deux droites à coup sûr.
👆 ▶ À toi : A(2 ; 1) et B(5 ; 10). Donne la pente de (AB), puis son équation réduite. Vérifie
\begin{aligned}m &= \dfrac{10 - 1}{5 - 2} \\ &= \dfrac{9}{3} \\ &= 3\end{aligned}
Puis A vérifie l'équation : 1 = 3 × 2 + p donne p = −5 : y = 3x − 5 (contrôle avec B : 3 × 5 − 5 = 10 ✔).
Puis A vérifie l'équation : 1 = 3 × 2 + p donne p = −5 : y = 3x − 5 (contrôle avec B : 3 × 5 − 5 = 10 ✔).