Fiche d'exercices Logimaths | Seconde
Fiche d'exercices : Droites du plan
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Vecteur directeur, mode d'emploi⭐
- Donne un vecteur directeur de la droite d d'équation 3x + 5y - 2 = 0.
- Donne un vecteur directeur de la droite d′ d'équation 2x - y + 7 = 0.
- Le vecteur (10 ; −6) est-il directeur de d ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. a = 3 et b = 5 : le vecteur (−5 ; 3) convient.
2. a = 2 et b = −1 : le vecteur (1 ; 2) convient.
3. Oui : (10 ; −6) = −2 × (−5 ; 3) : colinéaire à un vecteur directeur, donc directeur aussi.
2. a = 2 et b = −1 : le vecteur (1 ; 2) convient.
3. Oui : (10 ; −6) = −2 × (−5 ; 3) : colinéaire à un vecteur directeur, donc directeur aussi.
Exercice 2 : Appartenance à une droite⭐
Soit d la droite d'équation {4x - 3y + 1 = 0}.
- Les points A(2 ; 3) et B(−1 ; 1) sont-ils sur d ?
- Trouve l'ordonnée du point C d'abscisse 5 situé sur d.
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. A : 4 × 2 − 3 × 3 + 1 = 0 : A ∈ d. B : 4 × (−1) − 3 × 1 + 1 = −6 ≠ 0 : B ∉ d.
2. 4 × 5 − 3y + 1 = 0 donne 3y = 21, soit y = 7.
2. 4 × 5 − 3y + 1 = 0 donne 3y = 21, soit y = 7.
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Équation cartésienne par point et vecteur⭐⭐
- Détermine une équation cartésienne de la droite passant par A(2 ; −1) et de vecteur directeur (3 ; 4).
- Détermine une équation cartésienne de la droite passant par B(1 ; 5) et C(4 ; 11).
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. (α ; β) = (3 ; 4) donne a = 4, b = −3 : 4x − 3y + c = 0. Avec A : 4 × 2 − 3 × (−1) + c = 0 donne c = −11 : 4x − 3y − 11 = 0.
2. \overrightarrow{BC}(3\,;\,6) est directeur : a = 6, b = −3 : 6x − 3y + c = 0. Avec B : 6 − 15 + c = 0 donne c = 9 : 6x − 3y + 9 = 0 (ou, en divisant par 3 : 2x − y + 3 = 0).
2. \overrightarrow{BC}(3\,;\,6) est directeur : a = 6, b = −3 : 6x − 3y + c = 0. Avec B : 6 − 15 + c = 0 donne c = 9 : 6x − 3y + 9 = 0 (ou, en divisant par 3 : 2x − y + 3 = 0).
Exercice 4 : Pente et équation réduite⭐⭐
- Calcule la pente de la droite (AB) avec A(1 ; 2) et B(4 ; 11).
- Déduis-en l'équation réduite de (AB).
- Même travail pour (CD) avec C(−2 ; 7) et D(3 ; −3).
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. \begin{aligned}m &= \dfrac{11 - 2}{4 - 1} \\ &= \dfrac{9}{3} \\ &= 3\end{aligned}
2. A vérifie y = 3x + p : 2 = 3 + p donne p = −1 : y = 3x − 1.
3. \begin{aligned}m &= \dfrac{-3 - 7}{3 - (-2)} \\ &= \dfrac{-10}{5} \\ &= -2\end{aligned} puis 7 = −2 × (−2) + p donne p = 3 : y = −2x + 3.
2. A vérifie y = 3x + p : 2 = 3 + p donne p = −1 : y = 3x − 1.
3. \begin{aligned}m &= \dfrac{-3 - 7}{3 - (-2)} \\ &= \dfrac{-10}{5} \\ &= -2\end{aligned} puis 7 = −2 × (−2) + p donne p = 3 : y = −2x + 3.
Exercice 5 : De la cartésienne à la réduite⭐⭐
Donne l'équation réduite (ou la forme x = n) de chaque droite :
- 6x + 2y - 10 = 0
- x - 4y = 0
- 5x - 15 = 0
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. 2y = −6x + 10 : y = −3x + 5.
2. 4y = x : y = 0,25x (droite passant par l'origine).
3. Pas de y : x = 3, droite VERTICALE (aucune pente).
2. 4y = x : y = 0,25x (droite passant par l'origine).
3. Pas de y : x = 3, droite VERTICALE (aucune pente).
Exercice 6 : Alignement de trois points⭐⭐
On donne A(1 ; 1), B(3 ; 7) et C(5 ; 13).
- Détermine l'équation réduite de la droite (AB).
- Les points A, B et C sont-ils alignés ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. \begin{aligned}m &= \dfrac{7 - 1}{3 - 1} \\ &= 3\end{aligned} puis 1 = 3 + p donne p = −2 : y = 3x − 2.
2. Test de C : 3 × 5 − 2 = 13 = y_C : C est sur (AB) : les trois points sont alignés.
2. Test de C : 3 × 5 − 2 = 13 = y_C : C est sur (AB) : les trois points sont alignés.
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Parallèles, sécantes et famille de droites⭐⭐⭐
- Les droites 2x - 6y + 1 = 0 et {-3x + 9y + 5 = 0} sont-elles parallèles ?
- Détermine l'équation réduite de la droite parallèle à y = 4x − 1 passant par A(2 ; 5).
- Pour quelle valeur de k les droites y = kx + 3 et y = (2k − 6)x − 1 sont-elles parallèles ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. Vecteurs directeurs (6 ; 2) et (−9 ; −3) : 6 × (−3) − 2 × (−9) = 0 : colinéaires, droites parallèles (et distinctes : leurs équations ne sont pas proportionnelles).
2. Même pente m = 4 : 5 = 4 × 2 + p donne p = −3 : y = 4x − 3.
3. k = 2k − 6 donne k = 6 (les deux droites ont alors la pente 6).
2. Même pente m = 4 : 5 = 4 × 2 + p donne p = −3 : y = 4x − 3.
3. k = 2k − 6 donne k = 6 (les deux droites ont alors la pente 6).
Exercice 8 : Un problème de tarifs⭐⭐⭐
Un artisan facture 45 € pour 2 h de travail, et 105 € pour 5 h.
- Le prix y (en €) dépend du temps x (en h) par une relation affine. Détermine l'équation réduite de cette droite.
- Donne le sens du coefficient directeur et de l'ordonnée à l'origine dans ce contexte.
- Combien coûteraient 8 h de travail ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. \begin{aligned}m &= \dfrac{105 - 45}{5 - 2} \\ &= \dfrac{60}{3} \\ &= 20\end{aligned} puis 45 = 20 × 2 + p donne p = 5 : y = 20x + 5.
2. Le coefficient directeur (20) est le tarif horaire, en €/h ; l'ordonnée à l'origine (5) représente des frais fixes de 5 €, indépendants du temps travaillé.
3. y = 20 × 8 + 5 = 165 €.
2. Le coefficient directeur (20) est le tarif horaire, en €/h ; l'ordonnée à l'origine (5) représente des frais fixes de 5 €, indépendants du temps travaillé.
3. y = 20 × 8 + 5 = 165 €.