Fiche de cours Logimaths | Seconde
Fiche de cours : Échantillonnage
Simuler, observer, estimer : ce que disent les fréquences quand on répète l'expérience
I. Échantillons et simulation
Qu'est-ce qu'un échantillon ?
Un échantillon de taille n est le résultat de n répétitions INDÉPENDANTES de la même expérience (ou le prélèvement de n individus dans une population).
Exemples : 50 lancers d'une pièce ; 1 000 personnes sondées ; 200 cartes à puce prélevées sur la production. L'enjeu du chapitre : que peut-on DÉDUIRE de l'échantillon sur la population entière ?
Exemples : 50 lancers d'une pièce ; 1 000 personnes sondées ; 200 cartes à puce prélevées sur la production. L'enjeu du chapitre : que peut-on DÉDUIRE de l'échantillon sur la population entière ?
Simuler avec Python
Plutôt que de lancer un dé 10 000 fois, on SIMULE :
randint(1, 6) renvoie un entier aléatoire de 1 à 6. Une boucle for répète l'expérience et un compteur note les succès :from random import *
def de(n):
s = 0
for k in range(n):
if randint(1, 6) >= 5:
s = s + 1
return s / n # fréquence observée🎮 Entraîne-toi : la fréquence observée
Nombre de succès divisé par la taille de l'échantillon.
II. La loi des grands nombres
Quand n grandit, f se stabilise
Loi des grands nombres : lorsque la taille n de l'échantillon devient grande, la fréquence observée f est le plus souvent PROCHE de la probabilité p de l'événement.
Exemple (simulation) : pour « obtenir 1 ou 6 » (p = 1/3 ≈ 0,333) : f = 0,2 sur 10 lancers, 0,32 sur 100, 0,328 sur 1 000, 0,3335 sur 100 000 : les fréquences se resserrent autour de p. C'est CE qui justifie les sondages et le contrôle qualité.
Exemple (simulation) : pour « obtenir 1 ou 6 » (p = 1/3 ≈ 0,333) : f = 0,2 sur 10 lancers, 0,32 sur 100, 0,328 sur 1 000, 0,3335 sur 100 000 : les fréquences se resserrent autour de p. C'est CE qui justifie les sondages et le contrôle qualité.
🎮 Entraîne-toi : la fréquence plausible
Sur un GRAND échantillon, f est proche de p (rarement loin).
III. Estimer une probabilité
La précision en 1/\sqrt{n}
Quand on ne connaît PAS p, on l'estime par la fréquence f d'un grand échantillon. Principe d'estimation : pour n assez grand, l'écart entre f et p est inférieur à \dfrac{1}{\sqrt{n}} dans environ 95 % des cas.
- n = 100 : précision 1/10 = 0,1 ;
- n = 10 000 : précision 1/100 = 0,01.
🎮 Entraîne-toi : la précision 1/\sqrt{n}
Calcule 1 divisé par la racine carrée de n.
🎮 Entraîne-toi : quelle taille d'échantillon ?
Précision voulue 1/\sqrt{n} = e : il faut n = 1/e².
IV. Les pièges du chapitre
⚠️ Fréquence n'est pas probabilité
La fréquence observée VARIE d'un échantillon à l'autre : deux séries de 100 lancers donnent rarement la même valeur. La probabilité, elle, est un nombre FIXE du modèle. La fréquence l'ESTIME, elle ne l'égale pas : écrire « f = p » est un abus.
⚠️ Le hasard n'a pas de mémoire
Après cinq PILE de suite, la probabilité d'un sixième PILE reste 0,5 : les répétitions sont INDÉPENDANTES. Croire qu'un FACE devient « dû » est l'erreur du joueur : la loi des grands nombres parle des fréquences À LONG TERME, pas du prochain lancer.
👆 ▶ À toi : un sondage sur 2 500 personnes donne f = 0,52 pour un candidat. Quelle précision (à 95 %) ? Vérifie
Précision : \begin{aligned}\dfrac{1}{\sqrt{2500}} &= \dfrac{1}{50} \\ &= 0{,}02\end{aligned} Donc p est vraisemblablement entre 0,50 et 0,54.