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Fiche d'exercices Logimaths | Seconde

Fiche d'exercices : Échantillonnage

8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé

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Échauffement

Exercice 1 : Échantillons et fréquences⭐
  1. On lance 40 fois une punaise : elle retombe 26 fois pointe en l'air. Quelle est la fréquence observée de « pointe en l'air » ?
  2. Sur un second échantillon de 40 lancers, on obtient 22. Les deux fréquences diffèrent : est-ce normal ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. 26/40 = 0,65.
2. OUI : la fréquence observée FLUCTUE d'un échantillon à l'autre (22/40 = 0,55). C'est la fluctuation d'échantillonnage : elle diminue quand n augmente.
Exercice 2 : Lire un programme de simulation⭐ On considère le programme Python :
from random import *
def jeu(n):
    s = 0
    for k in range(n):
        if randint(1, 6) == 6:
            s = s + 1
    return s / n
  1. Quelle expérience ce programme simule-t-il ? Que compte s ?
  2. Que renvoie la fonction ? Vers quelle valeur ce résultat se stabilise-t-il quand n devient grand ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. n lancers d'un dé ; s compte le nombre de 6 obtenus.
2. Elle renvoie la FRÉQUENCE de 6 sur l'échantillon. Par la loi des grands nombres, elle se stabilise autour de 1/6 ≈ 0,167.

Le cœur du chapitre

Exercice 3 : La loi des grands nombres en action⭐⭐ On simule des tirages à pile ou face. Voici les fréquences de PILE observées : n = 10 : 0,7 ; n = 100 : 0,56 ; n = 1 000 : 0,513 ; n = 100 000 : 0,4998.
  1. Que constate-t-on ? Quel théorème l'explique ?
  2. Avec n = 10, une fréquence de 0,7 est-elle inquiétante pour l'équilibre de la pièce ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. Les fréquences se rapprochent de p = 0,5 : c'est la loi des grands nombres.
2. NON : sur 10 lancers, 7 PILE arrive souvent (fluctuation forte pour les petits n) : seul un GRAND échantillon permettrait de suspecter la pièce.
Exercice 4 : Précision d'une estimation⭐⭐
  1. Calcule la précision 1/\sqrt{n} pour n = 100, n = 400 et n = 10 000.
  2. Un échantillon de 400 pièces d'une usine donne 3 % de défectueuses. Donne une fourchette vraisemblable (à 95 %) pour la vraie proportion.
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. 1/10 = 0,1 ; 1/20 = 0,05 ; 1/100 = 0,01.
2. f = 0,03, précision 0,05 : p est vraisemblablement dans [0 ; 0,08] (la borne 0,03 − 0,05 étant négative, on la ramène à 0) : l'échantillon est trop petit pour une proportion si faible.
Exercice 5 : Quelle taille d'échantillon ?⭐⭐ Un institut veut estimer une proportion avec une précision de 0,02 (à 95 %).
  1. Quelle taille d'échantillon faut-il ?
  2. Et pour une précision de 0,01 ? Commente le coût de la précision.
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. 1/\sqrt{n} = 0{,}02 donne \sqrt{n} = 50, soit n = 2 500.
2. 1/\sqrt{n} = 0{,}01 donne n = 10 000 : préciser DEUX FOIS mieux exige QUATRE FOIS plus de monde (et dix fois mieux, cent fois plus) : la précision croît bien plus lentement que l'effort.
Exercice 6 : Compléter un programme⭐⭐ On veut simuler n tirages d'une boule dans une urne contenant 3 rouges et 7 noires, et renvoyer la fréquence de rouges.
  1. Avec randint(1, 10), quelle condition traduit « tirer une rouge » ?
  2. Écris la fonction complète.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. On convient que les numéros 1, 2, 3 représentent les rouges : condition randint(1, 10) <= 3.
2. 
from random import *
def urne(n):
    s = 0
    for k in range(n):
        if randint(1, 10) <= 3:
            s = s + 1
    return s / n
La fréquence renvoyée se stabilise autour de p = 0,3.

Pour aller plus loin

Exercice 7 : Le sondage trop serré⭐⭐⭐ À la veille d'un référendum, un sondage sur 1 600 personnes donne 51 % de « oui ».
  1. Calcule la précision 1/\sqrt{n} de ce sondage.
  2. Donne la fourchette vraisemblable pour la vraie proportion de « oui ».
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. \begin{aligned}\dfrac{1}{\sqrt{1600}} &= \dfrac{1}{40} \\ &= 0{,}025\end{aligned}
2. [0,51 − 0,025 ; 0,51 + 0,025] = [0,485 ; 0,535].
Exercice 8 : Contrôle qualité⭐⭐⭐ Une machine est réglée pour produire 2 % de pièces défectueuses au maximum. Sur un échantillon de 2 500 pièces, on en trouve 65 défectueuses.
  1. Calcule la fréquence observée et la précision de l'estimation.
  2. Donne la fourchette vraisemblable pour la vraie proportion de pièces défectueuses.
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. f = 65/2500 = 0,026 ; précision \dfrac{1}{\sqrt{2500}} = 0,02.
2. La fourchette vraisemblable est [0,006 ; 0,046].
📘 La fiche de cours du chapitre 🧮 M'entraîner en automatismes 🎯 Le QCM du chapitre