Fiche de cours Logimaths | Seconde
Fiche de cours : Équations, inéquations
Isoler, factoriser, tester : la boîte à outils complète pour trouver x
I. Équations du premier degré
Le but : isoler x
Résoudre, c'est transformer l'équation pas à pas jusqu'à « x = nombre », en faisant LA MÊME opération des deux côtés :
- regrouper les x d'un côté, les nombres de l'autre (en ajoutant ou retranchant) ;
- réduire chaque membre ;
- diviser par le coefficient de x.
🎮 Entraîne-toi : équations du premier degré
Les x à gauche, les nombres à droite, puis divise.
II. Équation-produit et équation x² = a
Un produit nul
Si un produit de facteurs est nul, alors l'un au moins des facteurs est nul. Pour résoudre (2x + 6)(x − 5) = 0, on résout SÉPARÉMENT 2x + 6 = 0 et x − 5 = 0 : deux solutions, −3 et 5.
Si l'équation n'est pas donnée factorisée (ex : 5x² − 4x = 0), on FACTORISE d'abord : x(5x − 4) = 0, solutions 0 et 4/5. Impossible de diviser par x : on perdrait la solution x = 0 !
Si l'équation n'est pas donnée factorisée (ex : 5x² − 4x = 0), on FACTORISE d'abord : x(5x − 4) = 0, solutions 0 et 4/5. Impossible de diviser par x : on perdrait la solution x = 0 !
L'équation x² = a : trois scénarios
- a > 0 : DEUX solutions, \sqrt{a} et -\sqrt{a} (x² = 25 donne 5 et −5) ;
- a = 0 : une seule solution, 0 ;
- a < 0 : AUCUNE solution (un carré n'est jamais négatif).
▶ 🎓 Démonstration au programme (exigible) : pourquoi x² = a (a > 0) a deux solutions
Étape 1 x² = a équivaut à x² − a = 0, soit {x^2 - (\sqrt{a})^2 = 0}.
Étape 2 Identité remarquable a² − b² : {(x - \sqrt{a})(x + \sqrt{a}) = 0}.
Étape 3 Produit nul : x = \sqrt{a} ou x = -\sqrt{a} : exactement deux solutions.
Et si a < 0, aucun réel ne convient : un carré est toujours positif ou nul.
Étape 2 Identité remarquable a² − b² : {(x - \sqrt{a})(x + \sqrt{a}) = 0}.
Étape 3 Produit nul : x = \sqrt{a} ou x = -\sqrt{a} : exactement deux solutions.
Et si a < 0, aucun réel ne convient : un carré est toujours positif ou nul.
🎮 Entraîne-toi : équation-produit
Chaque facteur peut s'annuler : résous les deux petites équations.
🎮 Entraîne-toi : équation x² = a
Deux solutions opposées quand a est positif : donne la positive.
III. Équation-quotient
Un quotient nul (et sa valeur interdite)
Un quotient est nul quand son NUMÉRATEUR est nul (et son dénominateur ne l'est pas) :
- repérer d'abord la valeur interdite (celle qui annule le dénominateur) ;
- résoudre numérateur = 0 ;
- écarter toute solution qui serait la valeur interdite.
IV. Inéquations du premier degré
Comme une équation… à UNE règle près
On isole x avec les mêmes gestes, et la solution est un INTERVALLE :
- ajouter ou retrancher un nombre : le sens ne change pas ;
- multiplier ou diviser par un nombre POSITIF : le sens ne change pas ;
- multiplier ou diviser par un nombre NÉGATIF : le sens SE RETOURNE.
🎮 Entraîne-toi : résoudre une inéquation
Isole x ; si tu divises par un négatif, retourne le sens.
V. Les pièges du chapitre
⚠️ Ne divise jamais par x
Pour x² = 3x, diviser par x donne x = 3… et fait DISPARAÎTRE la solution x = 0. La bonne route : x² − 3x = 0, puis x(x − 3) = 0 : solutions 0 ET 3. On ne divise que par un nombre dont on est sûr qu'il n'est pas nul.
⚠️ Le sens de l'inégalité
Le retournement ne concerne QUE la multiplication et la division par un négatif. Retrancher 5 des deux côtés ne retourne rien ; diviser par −3 retourne. En cas de doute, teste un nombre de ton intervalle dans l'inéquation de départ : il doit marcher.
👆 ▶ À toi : résous (3x − 12)(x + 2) = 0, puis l'inéquation −5x + 10 ≤ 0. Vérifie
Équation-produit : 3x − 12 = 0 donne x = 4 ; x + 2 = 0 donne x = −2 : S = {−2 ; 4}.
Inéquation : −5x ≤ −10, division par −5 (sens retourné) : x ≥ 2 : S = [2 ; +∞[. Test : x = 3 donne −5 ≤ 0 ✔.
Inéquation : −5x ≤ −10, division par −5 (sens retourné) : x ≥ 2 : S = [2 ; +∞[. Test : x = 3 donne −5 ≤ 0 ✔.