Fiche d'exercices Logimaths | Seconde
Fiche d'exercices : Équations, inéquations
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Premier degré⭐
Résous :
- 5x − 7 = 2x + 8
- −3x + 4 = x − 12
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. 3x = 15, donc x = 5. Contrôle : 25 − 7 = 18 et 10 + 8 = 18 ✔.
2. −4x = −16, donc x = 4. Contrôle : −12 + 4 = −8 et 4 − 12 = −8 ✔.
2. −4x = −16, donc x = 4. Contrôle : −12 + 4 = −8 et 4 − 12 = −8 ✔.
Exercice 2 : Avec des parenthèses⭐
Résous 4(x − 3) = 2(x + 1) − 6.
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
On développe : 4x − 12 = 2x + 2 − 6, soit 4x − 12 = 2x − 4.
Puis 2x = 8, donc x = 4. Contrôle : 4 × 1 = 4 et 2 × 5 − 6 = 4 ✔.
Puis 2x = 8, donc x = 4. Contrôle : 4 × 1 = 4 et 2 × 5 − 6 = 4 ✔.
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Équations-produits⭐⭐
Résous :
- (2x − 8)(3x + 9) = 0
- x² = 7x
- (x + 1)(x − 2) − (x + 1)(2x − 5) = 0
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. 2x − 8 = 0 donne x = 4 ; 3x + 9 = 0 donne x = −3 : S = {−3 ; 4}.
2. SURTOUT pas de division par x ! x² − 7x = 0, soit x(x − 7) = 0 : S = {0 ; 7}.
3. Facteur commun (x + 1) : (x + 1)[(x − 2) − (2x − 5)] = (x + 1)(−x + 3) = 0 : S = {−1 ; 3}.
2. SURTOUT pas de division par x ! x² − 7x = 0, soit x(x − 7) = 0 : S = {0 ; 7}.
3. Facteur commun (x + 1) : (x + 1)[(x − 2) − (2x − 5)] = (x + 1)(−x + 3) = 0 : S = {−1 ; 3}.
Exercice 4 : Équations x² = a⭐⭐
Résous :
- x² = 49
- x² = −16
- (x − 1)² = 25
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. Deux solutions : 7 et −7.
2. Un carré n'est jamais négatif : aucune solution, S = ∅.
3. x − 1 = 5 ou x − 1 = −5 : S = {−4 ; 6}.
2. Un carré n'est jamais négatif : aucune solution, S = ∅.
3. x − 1 = 5 ou x − 1 = −5 : S = {−4 ; 6}.
Exercice 5 : Équation-quotient⭐⭐
Résous :
- \dfrac{2x - 10}{x + 4} = 0
- \dfrac{x^2 - 16}{x - 4} = 0 (attention au piège !)
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. Valeur interdite : −4. Numérateur nul : 2x = 10, x = 5 (autorisé) : S = {5}.
2. Valeur interdite : 4. x² = 16 donne 4 et −4 ; mais 4 est INTERDITE : S = {−4}. Toujours confronter les solutions à la valeur interdite.
2. Valeur interdite : 4. x² = 16 donne 4 et −4 ; mais 4 est INTERDITE : S = {−4}. Toujours confronter les solutions à la valeur interdite.
Exercice 6 : Inéquations⭐⭐
Résous et donne l'ensemble solution en intervalle :
- 3x − 5 > 7
- −2x + 3 ≥ 11
- 4(x − 1) ≤ 6x + 2
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. 3x > 12, x > 4 : S = ]4 ; +∞[.
2. −2x ≥ 8, division par −2 (sens retourné) : x ≤ −4 : S = ]−∞ ; −4].
3. 4x − 4 ≤ 6x + 2, soit −2x ≤ 6, x ≥ −3 (sens retourné) : S = [−3 ; +∞[. Test avec x = 0 : −4 ≤ 2 ✔.
2. −2x ≥ 8, division par −2 (sens retourné) : x ≤ −4 : S = ]−∞ ; −4].
3. 4x − 4 ≤ 6x + 2, soit −2x ≤ 6, x ≥ −3 (sens retourné) : S = [−3 ; +∞[. Test avec x = 0 : −4 ≤ 2 ✔.
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Vrai ou faux justifié⭐⭐⭐
Pour chaque affirmation, vrai ou faux (avec justification) :
- L'équation x² = 10 n'a pas de solution entière.
- L'équation (x − 3)² = 0 a deux solutions.
- Si a < b, alors −3a < −3b.
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. VRAI : les solutions sont ±\sqrt{10} ≈ ±3,16, non entières (3² = 9 et 4² = 16 encadrent 10).
2. FAUX : x − 3 = 0 est la seule possibilité : UNE solution (dite « double »), x = 3.
3. FAUX : multiplier par −3 RETOURNE l'inégalité : −3a > −3b (exemple : 1 < 2 mais −3 > −6).
2. FAUX : x − 3 = 0 est la seule possibilité : UNE solution (dite « double »), x = 3.
3. FAUX : multiplier par −3 RETOURNE l'inégalité : −3a > −3b (exemple : 1 < 2 mais −3 > −6).
Exercice 8 : Le problème du rectangle⭐⭐⭐
Un rectangle a pour largeur x et pour longueur x + 5 (en cm).
- Pour quelle valeur de x son périmètre vaut-il 38 cm ?
- Pour quelles valeurs de x son périmètre dépasse-t-il 50 cm ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. Périmètre : 2(x + x + 5) = 4x + 10. Équation : 4x + 10 = 38, donc 4x = 28, x = 7 cm (rectangle 7 × 12).
2. 4x + 10 > 50, soit 4x > 40 : x > 10 cm : S = ]10 ; +∞[.
2. 4x + 10 > 50, soit 4x > 40 : x > 10 cm : S = ]10 ; +∞[.