Fiche d'exercices Logimaths | Seconde
Fiche d'exercices : Multiples et diviseurs
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Multiple, diviseur : vrai ou faux ?⭐
Vrai ou faux (justifie avec une égalité a = k × b) :
- 84 est un multiple de 14.
- 6 est un diviseur de 87.
- 0 est un multiple de 12.
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. VRAI : 84 = 6 × 14.
2. FAUX : 84 = 14 × 6 et 90 = 15 × 6 encadrent 87 : aucun entier k ne donne 87 = k × 6.
3. VRAI : 0 = 0 × 12 (0 est multiple de tout entier).
2. FAUX : 84 = 14 × 6 et 90 = 15 × 6 encadrent 87 : aucun entier k ne donne 87 = k × 6.
3. VRAI : 0 = 0 × 12 (0 est multiple de tout entier).
Exercice 2 : La liste des diviseurs⭐
- Dresse la liste de TOUS les diviseurs de 36.
- Pourquoi les diviseurs vont-ils « par paires » ? Quelle paire est particulière ici ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 (neuf diviseurs).
2. Chaque diviseur d a un partenaire 36/d : (1 ; 36), (2 ; 18), (3 ; 12), (4 ; 9)… et 6 est son propre partenaire (6 × 6 = 36) : c'est pour cela que 36, carré parfait, a un nombre IMPAIR de diviseurs.
2. Chaque diviseur d a un partenaire 36/d : (1 ; 36), (2 ; 18), (3 ; 12), (4 ; 9)… et 6 est son propre partenaire (6 × 6 = 36) : c'est pour cela que 36, carré parfait, a un nombre IMPAIR de diviseurs.
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Démontrer avec k⭐⭐
- Démontre que la somme de deux multiples de 5 est un multiple de 5.
- La somme d'un multiple de 4 et d'un multiple de 6 est-elle toujours un multiple de 4 ? Justifie.
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. Soit b = 5k₁ et c = 5k₂ (k₁, k₂ entiers) : b + c = 5(k₁ + k₂), et k₁ + k₂ est entier : multiple de 5. ∎
2. NON : contre-exemple, 4 + 6 = 10, qui n'est pas un multiple de 4. (Un seul contre-exemple suffit à réfuter.)
2. NON : contre-exemple, 4 + 6 = 10, qui n'est pas un multiple de 4. (Un seul contre-exemple suffit à réfuter.)
Exercice 4 : Parité : démonstrations⭐⭐
Soit n un entier.
- Démontre que n(n + 1) est toujours pair.
- Quelle est la parité de 3n + 1 si n est impair ? Démontre-le.
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. Deux cas. Si n = 2k : n(n + 1) = 2k(n + 1), pair. Si n = 2k + 1 : n + 1 = 2(k + 1), donc n(n + 1) = 2n(k + 1), pair. Dans les deux cas : pair (deux entiers consécutifs contiennent toujours un pair). ∎
2. n = 2k + 1 : 3n + 1 = 6k + 3 + 1 = 6k + 4 = 2(3k + 2) : pair.
2. n = 2k + 1 : 3n + 1 = 6k + 3 + 1 = 6k + 4 = 2(3k + 2) : pair.
Exercice 5 : Diviseurs communs à deux nombres⭐⭐
- Dresse la liste des diviseurs de 42, puis de 56.
- Quels sont leurs diviseurs communs ? Quel est le plus grand ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. Diviseurs de 42 : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42. Diviseurs de 56 : 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56.
2. Diviseurs communs : 1, 2, 7, 14. Le plus grand est 14.
2. Diviseurs communs : 1, 2, 7, 14. Le plus grand est 14.
Exercice 6 : Rendre une fraction irréductible⭐⭐
- Dresse la liste des diviseurs de 168, puis de 180.
- Quel est leur plus grand diviseur commun ? Rends la fraction \dfrac{168}{180} irréductible.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. Diviseurs de 168 : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 42, 56, 84, 168. Diviseurs de 180 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180.
2. Diviseurs communs : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Le plus grand est 12 : en divisant numérateur et dénominateur par 12, \dfrac{168}{180} = \dfrac{14}{15}, irréductible (14 et 15 n'ont plus de diviseur commun autre que 1).
2. Diviseurs communs : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Le plus grand est 12 : en divisant numérateur et dénominateur par 12, \dfrac{168}{180} = \dfrac{14}{15}, irréductible (14 et 15 n'ont plus de diviseur commun autre que 1).
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Trois entiers consécutifs⭐⭐⭐
- Démontre que la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de 3.
- La somme de QUATRE entiers consécutifs est-elle un multiple de 4 ? Justifie.
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1) : multiple de 3. ∎
2. NON : n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6 = 4(n + 1) + 2 : il reste toujours 2 : jamais un multiple de 4 (exemple : 1 + 2 + 3 + 4 = 10).
2. NON : n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6 = 4(n + 1) + 2 : il reste toujours 2 : jamais un multiple de 4 (exemple : 1 + 2 + 3 + 4 = 10).
Exercice 8 : Le problème des dalles⭐⭐⭐
On veut carreler exactement un rectangle de 90 cm sur 126 cm avec des dalles CARRÉES toutes identiques, de côté entier (en cm), sans découpe.
- Quelle condition le côté des dalles doit-il vérifier ?
- Quel est le plus grand côté possible ? Combien de dalles utilise-t-on alors ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. Le côté doit diviser 90 ET 126 (diviseur commun).
2. Diviseurs de 90 : 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90. Diviseurs de 126 : 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 126. Diviseurs communs : 1, 2, 3, 6, 9, 18 : le plus grand est 18 cm. On pose alors 90/18 = 5 dalles sur 126/18 = 7 dalles : 5 × 7 = 35 dalles.
2. Diviseurs de 90 : 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90. Diviseurs de 126 : 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 126. Diviseurs communs : 1, 2, 3, 6, 9, 18 : le plus grand est 18 cm. On pose alors 90/18 = 5 dalles sur 126/18 = 7 dalles : 5 × 7 = 35 dalles.