Fiche de cours Logimaths | Seconde
Fiche de cours : Multiples et diviseurs
L'arithmétique des entiers : qui divise qui, et pourquoi ça se démontre
I. Multiples et diviseurs
La même relation, vue des deux côtés
Soit a et b deux entiers. Dire que a est un multiple de b, c'est dire qu'il existe un entier k tel que a = k × b. On dit alors aussi que b est un diviseur de a : une seule égalité, deux points de vue.
Exemple : 91 = 13 × 7 : 91 est un multiple de 7, et 7 est un diviseur de 91. Pour PROUVER, on exhibe le k ; pour RÉFUTER, on encadre (56 = 8 × 7 et 63 = 9 × 7 : 60 n'est pas un multiple de 7).
Exemple : 91 = 13 × 7 : 91 est un multiple de 7, et 7 est un diviseur de 91. Pour PROUVER, on exhibe le k ; pour RÉFUTER, on encadre (56 = 8 × 7 et 63 = 9 × 7 : 60 n'est pas un multiple de 7).
▶ 🎓 Démonstration au programme (exigible) : une somme de deux multiples de a est un multiple de a
Soit b et c deux multiples de a.
Étape 1 Il existe deux entiers k₁ et k₂ tels que b = k₁ × a et c = k₂ × a.
Étape 2 Alors b + c = k₁a + k₂a = (k₁ + k₂) × a.
Étape 3 k₁ + k₂ est un entier (somme de deux entiers) : b + c s'écrit (entier) × a, c'est un multiple de a. ∎
Étape 1 Il existe deux entiers k₁ et k₂ tels que b = k₁ × a et c = k₂ × a.
Étape 2 Alors b + c = k₁a + k₂a = (k₁ + k₂) × a.
Étape 3 k₁ + k₂ est un entier (somme de deux entiers) : b + c s'écrit (entier) × a, c'est un multiple de a. ∎
🎮 Entraîne-toi : multiple ou pas ?
Cherche un entier k tel que a = k × b (ou encadre pour réfuter).
II. Pairs et impairs
2k ou 2k + 1
Un entier pair s'écrit 2k (multiple de 2), un entier impair s'écrit 2k + 1 (k entier). Ces écritures sont L'OUTIL de toutes les démonstrations de parité. À connaître sans calcul :
- pair + pair = pair ; impair + impair = pair ; pair + impair = impair ;
- pair × n'importe quoi = pair ; impair × impair = impair.
▶ 🎓 Démonstration au programme (exigible) : le carré d'un impair est impair
Soit a un entier impair : a = 2k + 1 avec k entier.
Étape 1 a² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1.
Étape 2 a² = 2(2k² + 2k) + 1 : on pose k′ = 2k² + 2k, entier.
Étape 3 a² = 2k′ + 1 : c'est l'écriture d'un impair. ∎
Conséquence utile (contraposée) : si a² est pair, alors a est pair.
Étape 1 a² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1.
Étape 2 a² = 2(2k² + 2k) + 1 : on pose k′ = 2k² + 2k, entier.
Étape 3 a² = 2k′ + 1 : c'est l'écriture d'un impair. ∎
Conséquence utile (contraposée) : si a² est pair, alors a est pair.
🎮 Entraîne-toi : pair ou impair, sans calculer
Regarde seulement la parité de chaque nombre et applique les règles.
III. Les pièges du chapitre
⚠️ « Diviseur de » et « divisible par » : sens inverses
3 est un diviseur de 12 ; 12 est divisible par 3 ; 12 est un multiple de 3 : trois phrases pour la MÊME égalité 12 = 4 × 3. Avant de répondre, réécris toujours l'affirmation sous la forme a = k × b : le sens ne trompe plus.
👆 ▶ À toi : 2 023 est-il divisible par 7 ? Et la somme de deux impairs est-elle paire ? Vérifie
2 023 = 7 × 289 : oui, divisible par 7.
Deux impairs : (2k + 1) + (2p + 1) = 2(k + p + 1) : pair, toujours.
Deux impairs : (2k + 1) + (2p + 1) = 2(k + p + 1) : pair, toujours.