Fiche d'exercices Logimaths | Seconde
Fiche d'exercices : Probabilités conditionnelles
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Lire un tableau croisé⭐
Dans une classe de 30 élèves : 18 filles dont 12 demi-pensionnaires, et 12 garçons dont 6 demi-pensionnaires. On choisit un élève au hasard.
- Calcule P(demi-pensionnaire).
- Calcule P(demi-pensionnaire SACHANT fille).
- Pourquoi les deux résultats diffèrent-ils ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. (12 + 6)/30 = 18/30 = 0,6.
2. 12/18 = 2/3 ≈ 0,67 : on ne compte que parmi les 18 filles.
3. Le « sachant fille » change l'univers : 18 élèves au lieu de 30 : la proportion n'est pas la même dans ce sous-groupe.
2. 12/18 = 2/3 ≈ 0,67 : on ne compte que parmi les 18 filles.
3. Le « sachant fille » change l'univers : 18 élèves au lieu de 30 : la proportion n'est pas la même dans ce sous-groupe.
Exercice 2 : Compléter un arbre⭐
Un arbre pondéré commence par deux branches : A avec 0,35 et son contraire avec « ? ». Depuis A partent deux branches : B avec 0,6 et son contraire.
- Complète les deux « ? » de l'arbre.
- Calcule la probabilité du chemin « A puis B ».
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. 1 − 0,35 = 0,65 ; 1 − 0,6 = 0,4 (chaque nœud totalise 1).
2. 0,35 × 0,6 = 0,21 (produit le long du chemin).
2. 0,35 × 0,6 = 0,21 (produit le long du chemin).
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : La formule du produit⭐⭐
- P(A) = 0,8 et P(B sachant A) = 0,25. Calcule P(A ∩ B).
- P(A ∩ B) = 0,12 et P(A) = 0,4. Calcule P(B sachant A).
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. P(A ∩ B) = 0,8 × 0,25 = 0,2.
2. Dans l'autre sens : P(B sachant A) = P(A ∩ B)/P(A) = 0,12/0,4 = 0,3.
2. Dans l'autre sens : P(B sachant A) = P(A ∩ B)/P(A) = 0,12/0,4 = 0,3.
Exercice 4 : Le sens du « sachant »⭐⭐
Dans un lycée : 200 élèves, dont 80 en seconde ; 30 élèves du lycée sont délégués, dont 12 en seconde.
- Calcule P(délégué SACHANT seconde).
- Calcule P(seconde SACHANT délégué).
- Rédige une phrase montrant que ces deux nombres répondent à des questions différentes.
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. 12/80 = 0,15 (parmi les élèves de seconde).
2. 12/30 = 0,4 (parmi les délégués).
3. « 15 % des secondes sont délégués » et « 40 % des délégués sont en seconde » : populations de référence différentes, nombres différents : P(A sachant B) ≠ P(B sachant A) en général.
2. 12/30 = 0,4 (parmi les délégués).
3. « 15 % des secondes sont délégués » et « 40 % des délégués sont en seconde » : populations de référence différentes, nombres différents : P(A sachant B) ≠ P(B sachant A) en général.
Exercice 5 : L'arbre à deux niveaux complet⭐⭐
Une usine a deux machines : M₁ produit 70 % des pièces, M₂ le reste. 2 % des pièces de M₁ sont défectueuses, 5 % de celles de M₂.
- Construis l'arbre pondéré de l'expérience « choisir une pièce au hasard ».
- Calcule la probabilité qu'une pièce vienne de M₁ ET soit défectueuse.
- Calcule la probabilité totale qu'une pièce soit défectueuse.
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. Niveau 1 : M₁ (0,7), M₂ (0,3) ; niveau 2 : D (0,02) et D̅ (0,98) après M₁ ; D (0,05) et D̅ (0,95) après M₂.
2. 0,7 × 0,02 = 0,014.
3. On ADDITIONNE les deux chemins menant à D : 0,7 × 0,02 + 0,3 × 0,05 = 0,014 + 0,015 = 0,029 (2,9 %).
2. 0,7 × 0,02 = 0,014.
3. On ADDITIONNE les deux chemins menant à D : 0,7 × 0,02 + 0,3 × 0,05 = 0,014 + 0,015 = 0,029 (2,9 %).
Exercice 6 : Indépendance⭐⭐
On tire une carte d'un jeu de 32. A = « tirer un cœur », B = « tirer un roi ».
- Calcule P(A), puis P(A sachant B).
- A et B sont-ils indépendants ?
- Donne un exemple d'événements NON indépendants avec ce même jeu.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. P(A) = 8/32 = 1/4 ; sachant B (4 rois), un seul est un cœur : P(A sachant B) = 1/4.
2. OUI : P(A sachant B) = P(A) : savoir que c'est un roi ne change pas la chance que ce soit un cœur.
3. A = « cœur » et C = « carte rouge » : P(A) = 1/4 mais P(A sachant C) = 8/16 = 1/2 : pas indépendants.
2. OUI : P(A sachant B) = P(A) : savoir que c'est un roi ne change pas la chance que ce soit un cœur.
3. A = « cœur » et C = « carte rouge » : P(A) = 1/4 mais P(A sachant C) = 8/16 = 1/2 : pas indépendants.
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Le tableau reconstitué⭐⭐⭐
Dans un centre sportif de 120 adhérents, 45 % sont mineurs. Parmi les mineurs, 2/3 pratiquent la natation ; parmi les majeurs, un tiers seulement.
- Reconstitue le tableau croisé (mineurs/majeurs × natation/pas natation).
- On choisit un adhérent au hasard : calcule P(natation).
- Calcule P(mineur SACHANT natation).
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. Mineurs : 0,45 × 120 = 54, dont 36 nageurs (2/3) et 18 non ; majeurs : 66, dont 22 nageurs (1/3) et 44 non.
2. P(natation) = (36 + 22)/120 = 58/120 ≈ 0,48.
3. P(mineur sachant natation) = 36/58 = 18/29 ≈ 0,62 : environ 62 % des nageurs sont mineurs : le dénominateur est bien 58 (les nageurs), pas 120.
2. P(natation) = (36 + 22)/120 = 58/120 ≈ 0,48.
3. P(mineur sachant natation) = 36/58 = 18/29 ≈ 0,62 : environ 62 % des nageurs sont mineurs : le dénominateur est bien 58 (les nageurs), pas 120.
Exercice 8 : Le test de dépistage⭐⭐⭐
Une maladie touche 1 % d'une population. Un test la détecte chez 90 % des malades, mais se déclenche aussi (à tort) chez 5 % des personnes saines.
- Avec un arbre, calcule la probabilité qu'une personne soit malade ET testée positive, puis saine ET testée positive.
- Déduis-en P(test positif).
- Calcule P(malade SACHANT test positif) et commente.
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. 0,01 × 0,9 = 0,009 ; 0,99 × 0,05 = 0,0495.
2. 0,009 + 0,0495 = 0,0585.
3. 0,009/0,0585 ≈ 0,154 : malgré un test positif, la probabilité d'être réellement malade n'est que d'environ 15 % ! La maladie étant rare, les « faux positifs » dominent : P(malade sachant positif) ≠ P(positif sachant malade) = 0,9 : LE piège des probabilités conditionnelles.
2. 0,009 + 0,0495 = 0,0585.
3. 0,009/0,0585 ≈ 0,154 : malgré un test positif, la probabilité d'être réellement malade n'est que d'environ 15 % ! La maladie étant rare, les « faux positifs » dominent : P(malade sachant positif) ≠ P(positif sachant malade) = 0,9 : LE piège des probabilités conditionnelles.