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Fiche de cours Logimaths | Seconde

Fiche de cours : Probabilités conditionnelles

« Sachant que… » : quand une information change les probabilités

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I. La probabilité « sachant que »

Une information qui restreint l'univers La probabilité de A sachant B, notée P_B(A), est la probabilité que A se réalise QUAND ON SAIT que B est réalisé : on ne raisonne plus sur tout l'univers, mais SEULEMENT sur les issues de B.
Exemple : dans un lycée, « probabilité qu'un élève soit interne SACHANT que c'est un élève de seconde » : on ne compte que parmi les secondes. L'information « sachant que » change la population de référence, donc souvent la probabilité.
Lire dans un tableau croisé Dans un tableau croisé, PB(A) se lit : effectif de la case « A et B » divisé par le TOTAL DE LA LIGNE (ou colonne) de B.
Exemple : 20 filles dont 12 demi-pensionnaires : P(demi-pensionnaire sachant fille) = 12/20 = 0,6 : le dénominateur est 20 (les filles), pas l'effectif total du groupe.
Les 100 élèves d'un lycée : S = « fait du sport », M = « joue d'un instrument ».
M M Total
S 12 38 50
S 18 32 50
Total 30 70 100
numérateur dénominateur l'univers qui reste
Choisis une probabilité. Pour un « sachant », tout ce qui sort de la bande s'efface : c'est littéralement l'univers qui rétrécit. Le numérateur reste la case de croisement ; seul le dénominateur change.
La formule, et ce qu'elle dit vraiment
\begin{aligned}P_B(A) &= \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \\ &= \dfrac{\mathrm{card}(A \cap B)}{\mathrm{card}(B)}\end{aligned}
Conditionner, c'est rétrécir l'univers. Le numérateur est toujours la case de croisement ; c'est le dénominateur qui change : il passe de \mathrm{card}(\Omega) à \mathrm{card}(B). Les deux écritures (probabilités ou effectifs) donnent le même nombre, puisque le \mathrm{card}(\Omega) se simplifie : \dfrac{12/100}{30/100} = \dfrac{12}{30}.
🎮 Entraîne-toi : construis la fraction
D'abord on désigne le nouvel univers, ensuite on construit la fraction.
🎮 Entraîne-toi : la même fraction, en l'écrivant
Cette fois tu écris les deux effectifs toi-même.
🎮 Entraîne-toi : calculer un « sachant que »
Le dénominateur est l'effectif du groupe donné par le « sachant », pas le total.

II. L'arbre pondéré

Les deux règles de l'arbre Un arbre pondéré porte une probabilité sur chaque branche : au premier niveau les probabilités des premiers événements, au second les probabilités CONDITIONNELLES (« sachant » la branche précédente).
  • Règle 1 : la somme des probabilités des branches partant d'un même nœud vaut 1 ;
  • règle 2 : la probabilité d'un CHEMIN se calcule en MULTIPLIANT les probabilités de ses branches.
La formule du produit La règle 2 s'écrit :
P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)
Exemple : 40 % des clients d'un magasin prennent un café (P(A) = 0{,}4), et parmi eux, 50 % prennent aussi un croissant (P_A(B) = 0{,}5) : P(café ET croissant) = 0,4 × 0,5 = 0,2 : 20 % des clients.
On MULTIPLIE les branches d'un même chemin.On ADDITIONNE les chemins entre eux.
👆 Appuie sur une probabilité de l'arbre (ou sur un résultat de chemin, à droite) : la fiche te dit ce que ce nombre est vraiment.
Les mêmes 100 élèves que dans le tableau. Règle 1 : à chaque nœud, les branches totalisent 1 (0,5 + 0,5 = 1 ; 0,24 + 0,76 = 1). Règle 2 : on multiplie le long d'un chemin.
Le second niveau porte des probabilités conditionnelles : 0,24, c'est P_S(M) = 12/50, la proportion de musiciens parmi les sportifs, pas parmi les 100.
⚠️ L'arbre a un SENS : il ne se lit pas à l'envers Sur cet arbre (S d'abord, M ensuite), PS(M) = 0,24 est écrit sur une branche : on le lit. Mais PM(S) n'y figure nulle part : il faut le calculer. \begin{aligned}P_M(S) &= \dfrac{P(S \cap M)}{P(M)} \\ &= \dfrac{0{,}12}{0{,}12 + 0{,}18} \\ &= \dfrac{0{,}12}{0{,}3} \\ &= 0{,}4\end{aligned} Pour le lire directement, il faudrait redessiner l'arbre dans l'AUTRE sens (M d'abord, S ensuite).
🎮 Entraîne-toi : compléter un nœud de l'arbre
Les branches d'un même nœud totalisent 1.
🎮 Entraîne-toi : la probabilité d'un chemin
Multiplie les probabilités le long du chemin.

III. Trois vues d'une seule situation

Tableau, diagramme de Venn et arbre ne sont pas trois chapitres : ce sont trois façons de regarder les mêmes 100 élèves. Chacune rend une chose facile et une autre difficile. Choisis une probabilité : elle s'allume en même temps dans les trois vues.

1. Le tableau

M M Total
S 12 38 50
S 18 32 50
Total 30 70 100

2. Le diagramme de Venn

Ω = 100 S M 38 12 18 32

3. L'arbre

0,5 S 0,5 S 0,24 M 0,76 M 0,36 M 0,64 M 0,12 0,38 0,18 0,32
Une même situation, trois vues. Le tableau donne les conditionnelles d'un coup de masque ; le Venn montre l'univers qui rétrécit ; l'arbre montre le calcul d'un chemin, mais il est orienté : il ne donne pas les deux conditionnelles.
🎮 Entraîne-toi : conditionner sur un diagramme de Venn
Le dénominateur est l'effectif du « sachant », pas l'effectif total.
🎮 Entraîne-toi : les DEUX conditionnelles du même tableau
On ne masque pas la même bande : les deux réponses n'ont aucune raison d'être égales.
PB(A) = PA(B) =

IV. Indépendance de deux événements

Quand l'information ne change rien Deux événements A et B sont indépendants quand savoir que B est réalisé ne change PAS la probabilité de A. Deux façons de le montrer : elles disent la même chose, on prend celle dont on a les nombres.
1
Le « sachant » ne change rien
P_B(A) = P(A)
On compare la probabilité sachant B à la probabilité tout court.
On l'utilise quand les questions précédentes ont fait calculer une probabilité « sachant ».
2
Le produit tombe juste
P(A \cap B) = P(A) \times P(B)
On multiplie les deux probabilités simples et on compare au résultat.
On l'utilise quand les questions précédentes ont fait calculer P(A ∩ B) et les deux probabilités simples.
Laquelle choisir ? Celle dont un exercice t'a déjà fait calculer les nombres : les questions précédentes donnent presque toujours l'une des deux listes, et c'est elle qui décide.

Exemple à retenir pour comprendre la notion d'indépendance.
I = « je suis intelligent », L = « je porte des lunettes ».
Si la probabilité d'être intelligent sachant qu'on porte des lunettes est la même que la probabilité d'être intelligent tout court, alors :P_L(I) = P(I)Autrement dit : qu'on porte des lunettes ou non, on a la même intelligence.
Porter des lunettes n'apprend rien sur l'intelligence : I et L sont indépendants.

Le contre-exemple, dans la même forme.
S = « je fais du sport », B = « je suis blessé ».
P_B(S) \neq P(S)Parmi les blessés, il y a beaucoup plus de sportifs que dans la population entière. Savoir qu'on est blessé change la probabilité de faire du sport : S et B ne sont pas indépendants.
⚠️ Indépendants ≠ incompatibles Incompatibles : A ∩ B = ∅ (ne peuvent pas arriver ensemble) : alors P(A ∩ B) = 0. Indépendants : P(A ∩ B) = P(A)P(B). Deux événements de probabilités non nulles incompatibles ne sont JAMAIS indépendants : savoir que A est arrivé interdit B, c'est une information maximale !
👆 ▶ À toi : P(A) = 0,5 ; P(B) = 0,4 ; P(A ∩ B) = 0,2. A et B sont-ils indépendants ? Vérifie
\begin{aligned}P(A) \times P(B) &= 0{,}5 \times 0{,}4 \\ &= 0{,}2 \\ &= P(A \cap B)\end{aligned} Oui, indépendants, et on vérifie : \begin{aligned}P_B(A) &= \dfrac{0{,}2}{0{,}4} \\ &= 0{,}5 \\ &= P(A)\end{aligned}
Sujet type 1
On t'a fait calculer les trois probabilités
  1. Calculer P(A).
  2. Calculer P(B).
  3. Calculer P(A ∩ B).
  4. Les événements A et B sont-ils indépendants ?
Tu as les trois nombres : c'est le produit qu'on vérifie.
\begin{aligned}P(A) \times P(B) &= 0{,}5 \times 0{,}4 \\ &= 0{,}2 \\ &= P(A \cap B)\end{aligned}
Donc A et B sont indépendants.
Sujet type 2
On t'a fait calculer une probabilité « sachant »
  1. Calculer P(A).
  2. Calculer PB(A), la probabilité de A sachant B.
  3. Les événements A et B sont-ils indépendants ?
Tu as une probabilité « sachant » : c'est elle qu'on compare à P(A).
\begin{aligned}P_B(A) &= 0{,}3 \\ P(A) &= 0{,}3 \\ \text{donc } P_B(A) &= P(A)\end{aligned}
Donc A et B sont indépendants.
🎮 Entraîne-toi : quelle formule, et alors ?
D'abord la formule que les données permettent, ensuite la conclusion.

V. Les pièges du chapitre

⚠️ PB(A) et PA(B) : attention à ne pas confondre les deux probabilités ! P_{\text{Positif}}(\text{Malade}) \neq P_{\text{Malade}}(\text{Positif}) À gauche on ne regarde que les testés positifs ; à droite, que les malades. Deux univers, donc deux nombres.
⚠️ Le bon dénominateur Dans un tableau croisé, le « sachant B » impose de diviser par le TOTAL DE B, jamais par l'effectif total.
L'astuce : cache toutes les lignes et toutes les colonnes qui ne sont PAS le « sachant ». Ce qui reste est l'univers, et son total est le dénominateur. C'est exactement ce que fait l'atelier de la partie I.
👆 ▶ Exemple avec uniquement des % dans l'énoncé : 60 % des élèves ont un vélo ; parmi eux, 25 % viennent au lycée avec. Quelle proportion des élèves vient à vélo ?
On dessine l'arbre : V = « a un vélo », L = « vient au lycée à vélo ».
Le chemin allumé est le seul qui compte : on multiplie ses deux branches. \begin{aligned}P(V \cap L) &= P(V) \times P_V(L) \\ &= 0{,}6 \times 0{,}25 \\ &= 0{,}15\end{aligned} 15 % des élèves viennent au lycée à vélo.
Le 25 % ne porte que sur les possesseurs de vélo : c'est bien une probabilité conditionnelle, et c'est pourquoi la réponse n'est pas 25 %.
📄 La fiche d'exercices du chapitre 🧮 M'entraîner en automatismes 🎯 Le QCM du chapitre