Fiche d'exercices Logimaths | Seconde
Fiche d'exercices : Les puissances
9 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Définition et cas particuliers⭐
Calcule sans calculatrice :
- 2⁵ ; 3⁴ ; 10⁶
- 7¹ ; 249⁰ ; 1¹² ; 0⁵
- 2⁻³ ; 5⁻²
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. 32 ; 81 ; 1 000 000.
2. 7 ; 1 (exposant zéro) ; 1 ; 0.
3. 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 ; 5⁻² = 1/25 (des nombres POSITIFS).
2. 7 ; 1 (exposant zéro) ; 1 ; 0.
3. 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 ; 5⁻² = 1/25 (des nombres POSITIFS).
Exercice 2 : La chasse aux signes, avec et sans parenthèses⭐
Calcule en distinguant bien les deux écritures de chaque ligne :
- (−5)² et −5²
- (−2)³ et −2³
- (−2)⁴ et −2⁴
- (−1)²⁰²⁶ et −1²⁰²⁶
- (−1)²⁰²⁷ et −1²⁰²⁷
- (−9)⁰ et −9⁰
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
Le principe est toujours le même : l'exposant se calcule avant le signe −. Avec la parenthèse, le signe fait partie du facteur répété ; sans elle, il reste dehors.
1. (−5)² = 25 mais −5² = −(5²) = −25.
2. (−2)³ = −8 et −2³ = −8 aussi (exposant impair : même résultat, mais pour deux raisons différentes !).
3. (−2)⁴ = 16 (exposant pair) mais −2⁴ = −(2⁴) = −16.
4. 2026 est pair, donc (−1)²⁰²⁶ = 1 ; sans parenthèses, −1²⁰²⁶ = −(1²⁰²⁶) = −1. Rien à calculer : seule la parité compte à gauche, et à droite le 1 reste un 1.
5. 2027 est impair, donc (−1)²⁰²⁷ = −1 ; et −1²⁰²⁷ = −1. Les deux coïncident ici, alors qu'à la question 4 ils étaient opposés.
6. (−9)⁰ = 1 (toute puissance d'exposant 0 vaut 1) ; −9⁰ = −(9⁰) = −1.
1. (−5)² = 25 mais −5² = −(5²) = −25.
2. (−2)³ = −8 et −2³ = −8 aussi (exposant impair : même résultat, mais pour deux raisons différentes !).
3. (−2)⁴ = 16 (exposant pair) mais −2⁴ = −(2⁴) = −16.
4. 2026 est pair, donc (−1)²⁰²⁶ = 1 ; sans parenthèses, −1²⁰²⁶ = −(1²⁰²⁶) = −1. Rien à calculer : seule la parité compte à gauche, et à droite le 1 reste un 1.
5. 2027 est impair, donc (−1)²⁰²⁷ = −1 ; et −1²⁰²⁷ = −1. Les deux coïncident ici, alors qu'à la question 4 ils étaient opposés.
6. (−9)⁰ = 1 (toute puissance d'exposant 0 vaut 1) ; −9⁰ = −(9⁰) = −1.
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Une seule puissance⭐⭐
Écris sous la forme d'une seule puissance :
- 4⁵ × 4⁷
- 5⁴ / 5⁶
- 7³ × (7²)⁶
- 6⁷ × 9⁷
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. 4⁵⁺⁷ = 4¹².
2. 5⁴⁻⁶ = 5⁻².
3. (7²)⁶ = 7¹², puis 7³ × 7¹² = 7¹⁵.
4. Même exposant : (6 × 9)⁷ = 54⁷.
2. 5⁴⁻⁶ = 5⁻².
3. (7²)⁶ = 7¹², puis 7³ × 7¹² = 7¹⁵.
4. Même exposant : (6 × 9)⁷ = 54⁷.
Exercice 4 : Puissances de 10⭐⭐
Écris sous la forme 10ⁿ :
- 10⁴ × 10⁷
- 10⁻⁴ / 10⁵
- (10²)⁻⁶
- 10⁻⁴ × (10³)⁻¹
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. 10¹¹.
2. 10⁻⁴⁻⁵ = 10⁻⁹.
3. 10²ˣ⁽⁻⁶⁾ = 10⁻¹².
4. 10⁻⁴ × 10⁻³ = 10⁻⁷.
2. 10⁻⁴⁻⁵ = 10⁻⁹.
3. 10²ˣ⁽⁻⁶⁾ = 10⁻¹².
4. 10⁻⁴ × 10⁻³ = 10⁻⁷.
Exercice 5 : Notation scientifique⭐⭐
- Écris en notation scientifique : 45 000 ; 0,0032 ; 628 × 10⁵.
- Pourquoi 28 × 10⁻¹³ n'est-il pas en notation scientifique ? Corrige-le.
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. 4,5 × 10⁴ ; 3,2 × 10⁻³ ; 628 × 10⁵ = 6,28 × 10⁷.
2. Il faut 1 ≤ a < 10, or 28 ≥ 10 : on écrit 28 = 2,8 × 10, donc 28 × 10⁻¹³ = 2,8 × 10⁻¹².
2. Il faut 1 ≤ a < 10, or 28 ≥ 10 : on écrit 28 = 2,8 × 10, donc 28 × 10⁻¹³ = 2,8 × 10⁻¹².
Exercice 6 : Calculs en notation scientifique⭐⭐
Donne le résultat en notation scientifique :
- A = 4 × 7 × 10⁻⁵ × 10⁻⁸
- B = (7 × 10⁻⁴ × 5 × 10⁸) / (56 × 10⁻⁹)
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. A = 28 × 10⁻¹³ = 2,8 × 10⁻¹².
2. B = (7 × 5)/56 × 10⁻⁴⁺⁸⁺⁹ = 0,625 × 10¹³ = 6,25 × 10¹² (on regroupe les nombres d'un côté, les puissances de 10 de l'autre).
2. B = (7 × 5)/56 × 10⁻⁴⁺⁸⁺⁹ = 0,625 × 10¹³ = 6,25 × 10¹² (on regroupe les nombres d'un côté, les puissances de 10 de l'autre).
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Vrai ou faux ?⭐⭐⭐
Pour chaque égalité, vrai ou faux (justifie) :
- 2³ + 2⁴ = 2⁷
- (2³)⁴ = 2¹²
- 10⁻³ est un nombre négatif.
- 3²⁰ / 3¹⁰ = 3²
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. FAUX : 8 + 16 = 24, et 2⁷ = 128 : les règles ne s'appliquent pas aux SOMMES.
2. VRAI : puissance de puissance : 3 × 4 = 12.
3. FAUX : 10⁻³ = 0,001 > 0 : l'exposant négatif signale un inverse, pas un signe.
4. FAUX : on SOUSTRAIT les exposants : 3²⁰⁻¹⁰ = 3¹⁰ (pas 3²⁰ᐟ¹⁰).
2. VRAI : puissance de puissance : 3 × 4 = 12.
3. FAUX : 10⁻³ = 0,001 > 0 : l'exposant négatif signale un inverse, pas un signe.
4. FAUX : on SOUSTRAIT les exposants : 3²⁰⁻¹⁰ = 3¹⁰ (pas 3²⁰ᐟ¹⁰).
Exercice 8 : Ordres de grandeur⭐⭐⭐
La lumière parcourt environ 3 × 10⁸ m par seconde. Une année compte environ 3,15 × 10⁷ secondes.
- Calcule la distance parcourue par la lumière en un an (l'année-lumière), en notation scientifique.
- La galaxie d'Andromède est à 2,5 × 10⁶ années-lumière. Exprime cette distance en mètres.
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. 3 × 10⁸ × 3,15 × 10⁷ = 9,45 × 10¹⁵ : environ 9,45 × 10¹⁵ m (près de dix mille milliards de kilomètres).
2. 2,5 × 10⁶ × 9,45 × 10¹⁵ = 23,6 × 10²¹ ≈ 2,4 × 10²² m : les puissances de 10 rendent ces nombres manipulables.
2. 2,5 × 10⁶ × 9,45 × 10¹⁵ = 23,6 × 10²¹ ≈ 2,4 × 10²² m : les puissances de 10 rendent ces nombres manipulables.
Exercice 9 : Le signe de (−1)ⁿ⭐⭐⭐
- Que vaut (−1)ⁿ quand n est pair ? quand n est impair ? Justifie en appariant les facteurs deux par deux.
- Calcule sans calculatrice : A = (−1)²⁰²⁶ + (−1)²⁰²⁷ ; B = (−1)²⁰²⁶ × (−1)²⁰²⁷ ; C = −1²⁰²⁶ + (−1)²⁰²⁶.
- Pour a > 0, pour quelles valeurs de l'entier n a-t-on (−a)ⁿ = −aⁿ ?
- Un élève écrit « (−3)² = −9 ». Où est l'erreur ? Quelle expression vaut réellement −9 ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 9
1. (−1)ⁿ est un produit de n facteurs égaux à (−1). On les apparie : chaque paire donne (−1) × (−1) = +1.
Si n est pair, toutes les paires se referment : (−1)ⁿ = 1. Si n est impair, il reste un facteur (−1) tout seul : (−1)ⁿ = −1.
2. 2026 est pair et 2027 est impair, donc (−1)²⁰²⁶ = 1 et (−1)²⁰²⁷ = −1.
A = 1 + (−1) = 0 ; B = 1 × (−1) = −1.
Pour C, attention à l'écriture sans parenthèses : −1²⁰²⁶ = −(1²⁰²⁶) = −1. Donc C = −1 + 1 = 0.
3. (−a)ⁿ vaut aⁿ si n est pair et −aⁿ si n est impair. L'égalité (−a)ⁿ = −aⁿ a donc lieu exactement quand n est impair.
Cas à ne pas oublier : pour n = 0, (−a)⁰ = 1 alors que −a⁰ = −1 : les deux diffèrent bien.
4. L'élève a sorti le signe de la parenthèse alors qu'il était dedans. (−3)² = (−3) × (−3) = 9 : exposant pair, résultat positif.
L'expression qui vaut −9 est −3², sans parenthèses : on calcule 3² = 9, puis on prend l'opposé.
Si n est pair, toutes les paires se referment : (−1)ⁿ = 1. Si n est impair, il reste un facteur (−1) tout seul : (−1)ⁿ = −1.
2. 2026 est pair et 2027 est impair, donc (−1)²⁰²⁶ = 1 et (−1)²⁰²⁷ = −1.
A = 1 + (−1) = 0 ; B = 1 × (−1) = −1.
Pour C, attention à l'écriture sans parenthèses : −1²⁰²⁶ = −(1²⁰²⁶) = −1. Donc C = −1 + 1 = 0.
3. (−a)ⁿ vaut aⁿ si n est pair et −aⁿ si n est impair. L'égalité (−a)ⁿ = −aⁿ a donc lieu exactement quand n est impair.
Cas à ne pas oublier : pour n = 0, (−a)⁰ = 1 alors que −a⁰ = −1 : les deux diffèrent bien.
4. L'élève a sorti le signe de la parenthèse alors qu'il était dedans. (−3)² = (−3) × (−3) = 9 : exposant pair, résultat positif.
L'expression qui vaut −9 est −3², sans parenthèses : on calcule 3² = 9, puis on prend l'opposé.