Fiche de cours Logimaths | Seconde

Fiche de cours : Les puissances

Des exposants qui s'additionnent, se soustraient et se multiplient : les quatre règles et leurs pièges

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I. La définition et les cas particuliers

aⁿ : n facteurs identiques Pour n entier positif, aⁿ est le produit de n facteurs égaux à a : 2³ = 2 × 2 × 2 = 8. Cas particuliers à connaître (a non nul) :

a¹ = a et a⁰ = 1 (103⁰ = 1) ;
exposant négatif = INVERSE : {a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}} (2⁻³ = 1/8) ;
1ⁿ = 1 et 0ⁿ = 0 (pour n > 0).

II. Le signe d'une puissance : la parité décide

Règle du signe Soit a un nombre strictement positif et n un entier naturel non nul :

(-a)^n = +\,a^n quand n est pair ;
(-a)^n = -\,a^n quand n est impair.

Autrement dit : la valeur vient de a^n, le signe vient de la parité de n, et de rien d'autre.

Chaque paire de signes - redonne du positif : (-1)\times(-1) = +1. Quand n est pair, tout s'apparie et il ne reste rien de négatif. Quand n est impair, il en reste un tout seul : c'est lui qui donne le signe - au résultat.

La seule question à se poser Pour (-1)^{2026}, il n'y a rien à calculer : 2026 est pair, donc les 1 013 paires se referment toutes et le résultat vaut 1.
Pour (-1)^{2027}, 2027 est impair : il reste un signe - orphelin, le résultat vaut −1.
Un exposant énorme n'est pas un calcul difficile : c'est une question de parité déguisée.

(−1)^pair = +1 • (−1)^impair = −1

🎮 Entraîne-toi : positif ou négatif ?

Réponds sans poser un seul calcul : regarde la parenthèse, puis la parité de n.

III. Le piège des parenthèses : −1ⁿ ou (−1)ⁿ ?

⚠️ Une parenthèse n'est pas une décoration Tout vient de la priorité des opérations : on calcule la puissance AVANT de s'occuper du signe −.

(-2)^4 : le signe est dans la parenthèse, donc il fait partie du facteur qu'on répète :
(-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2) = \mathbf{16} ;
-2^4 : le signe reste dehors. On calcule d'abord 2^4 = 16, puis on prend l'opposé :
\begin{aligned}-2^4 &= -(2^4) \\ &= \mathbf{-16}\end{aligned}

Même chose avec 1 : \begin{aligned}-1^{2026} &= -(1^{2026}) \\ &= -1\end{aligned} alors que (-1)^{2026} = +1. Deux nombres opposés pour deux écritures qui se ressemblent.

Le réflexe de lecture Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur le nombre écrit juste avant lui, jamais sur le signe. Donc -a^n est toujours négatif (pour a > 0), pair ou impair, peu importe : la parité ne sert à rien ici.

Écriture	Ce qu'on calcule d'abord	Résultat
(−2)⁴	le facteur répété est (−2)	16
−2⁴	2⁴ = 16, puis l'opposé	−16
(−2)⁵	le facteur répété est (−2)	−32
−2⁵	2⁵ = 32, puis l'opposé	−32
(−1)²⁰²⁶	2026 est pair	1
−1²⁰²⁶	1²⁰²⁶ = 1, puis l'opposé	−1
(−1)²⁰²⁷	2027 est impair	−1
−1²⁰²⁷	1²⁰²⁷ = 1, puis l'opposé	−1

Lis les deux dernières lignes : quand n est impair, les deux écritures tombent sur le même résultat, mais pas pour la même raison. C'est ce qui rend le piège si efficace.

Exposant n n = 4

Avec parenthèses

Sans parenthèses

Fais glisser le curseur, ou saute directement à n = 2026 et n = 2027. Regarde bien : la carte de droite ne change jamais de résultat.

🎮 Entraîne-toi : les deux écritures d'un coup

Deux réponses à donner. Le bouton ± sert pour les réponses négatives.

(−1)ⁿ =

−1ⁿ =

🎮 Entraîne-toi : la chasse aux signes

Parenthèse = le signe entre dans la puissance ; sinon il reste dehors.

👆 ▶ À toi : calcule A = (−1)²⁰²⁶ + (−1)²⁰²⁷ et B = −1²⁰²⁶ + (−1)²⁰²⁶. Vérifie

A 2026 est pair donc (−1)²⁰²⁶ = 1 ; 2027 est impair donc (−1)²⁰²⁷ = −1.
A = 1 + (−1) = 0.
B Sans parenthèses : −1²⁰²⁶ = −(1²⁰²⁶) = −1. Avec parenthèses : (−1)²⁰²⁶ = 1.
B = −1 + 1 = 0 aussi, mais les deux termes n'ont pas la même valeur : ils sont opposés.

IV. Les quatre règles de calcul

Avec n et p entiers relatifs

produit : a^n \times a^p = a^{n+p} (4⁵ × 4⁷ = 4¹²) ;
quotient : \dfrac{a^n}{a^p} = a^{n-p} (5⁴/5⁶ = 5⁻²) ;
puissance de puissance : {(a^n)^p = a^{n \times p}} ((7²)⁶ = 7¹²) ;
produit de bases : (a \times b)^n = a^n \times b^n (6⁷ × 9⁷ = 54⁷).

Moyen mnémotechnique : produit → on ADDITIONNE les exposants, quotient → on SOUSTRAIT, puissance de puissance → on MULTIPLIE.

🎮 Entraîne-toi : appliquer les règles

Produit : additionne ; quotient : soustrais ; puissance de puissance : multiplie.

V. Puissances de 10 et notation scientifique

Les puissances de 10 Les règles s'appliquent telles quelles : 10⁴ × 10⁷ = 10¹¹, 10⁻⁴/10⁵ = 10⁻⁹, (10²)⁻⁶ = 10⁻¹².
Repères : 10³ = 1 000 ; 10⁻³ = 0,001 : l'exposant compte les rangs de décalage de la virgule.

La notation scientifique Un nombre est en notation scientifique quand il s'écrit a \times 10^n avec 1 ≤ a < 10.
Exemples : 45 000 = 4,5 × 10⁴ ; 0,0032 = 3,2 × 10⁻³ ; 28 × 10⁻¹³ n'est PAS en notation scientifique (28 ≥ 10) : on corrige en 2,8 × 10⁻¹². Indispensable en physique pour comparer des ordres de grandeur.

🎮 Entraîne-toi : les puissances de 10

Mêmes règles : additionne, soustrais ou multiplie les exposants.

🎮 Entraîne-toi : la notation scientifique

Place la virgule après le premier chiffre non nul, compte le décalage.

VI. Les pièges du chapitre

⚠️ On n'additionne pas des puissances différentes Les règles ne concernent que les PRODUITS et QUOTIENTS : 2³ + 2⁴ ne vaut ni 2⁷ ni 4⁷ (c'est 8 + 16 = 24). Et 2³ × 5² ne se simplifie pas : bases différentes, exposants différents : on calcule chaque facteur.

⚠️ Exposant négatif ≠ nombre négatif 2⁻³ = 1/8 : un nombre POSITIF. L'exposant négatif signale un inverse, pas un signe moins. Pour le signe, seule compte la règle pair/impair sur une base négative.

👆 ▶ À toi : écris (3²)⁴ × 3⁵ sous la forme 3ⁿ, puis 0,00052 en notation scientifique. Vérifie

(3²)⁴ = 3⁸, puis 3⁸ × 3⁵ = 3¹³.
0,00052 = 5,2 × 10⁻⁴ (virgule décalée de 4 rangs vers la droite : exposant −4).

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