Fiche d'exercices Logimaths | Seconde
Fiche d'exercices : Les racines carrées
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Carrés parfaits et existence⭐
- Calcule \sqrt{49}, \sqrt{121} et \sqrt{169}.
- Parmi \sqrt{-16}, \sqrt{0} et \sqrt{2}, lesquels existent ? Donne leur valeur (exacte ou approchée).
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. 7 ; 11 ; 13.
2. \sqrt{-16} n'existe pas (un carré n'est jamais négatif) ; \sqrt{0} = 0 ; \sqrt{2} \approx 1{,}414 existe (irrationnel).
2. \sqrt{-16} n'existe pas (un carré n'est jamais négatif) ; \sqrt{0} = 0 ; \sqrt{2} \approx 1{,}414 existe (irrationnel).
Exercice 2 : Produits et quotients⭐
Écris le plus simplement possible :
- \sqrt{32} \times \sqrt{2}
- \sqrt{3} \times \sqrt{27}
- \dfrac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. \sqrt{64} = 8.
2. \sqrt{81} = 9.
3. \begin{aligned}\sqrt{98/2} &= \sqrt{49} \\ &= 7\end{aligned}
2. \sqrt{81} = 9.
3. \begin{aligned}\sqrt{98/2} &= \sqrt{49} \\ &= 7\end{aligned}
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Simplifier des radicaux⭐⭐
Écris sous la forme a\sqrt{b} avec b le plus petit possible :
- \sqrt{50}
- \sqrt{75}
- \sqrt{72}
- \sqrt{180}
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. 50 = 25 × 2 : 5\sqrt{2}.
2. 75 = 25 × 3 : 5\sqrt{3}.
3. 72 = 36 × 2 : 6\sqrt{2}.
4. 180 = 36 × 5 : 6\sqrt{5}.
2. 75 = 25 × 3 : 5\sqrt{3}.
3. 72 = 36 × 2 : 6\sqrt{2}.
4. 180 = 36 × 5 : 6\sqrt{5}.
Exercice 4 : Additionner des radicaux⭐⭐
Simplifie chaque radical puis regroupe :
- \sqrt{50} + \sqrt{18}
- \sqrt{48} + \sqrt{27} - \sqrt{12}
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2}.
2. 4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 5\sqrt{3} (on ne peut regrouper que des radicaux IDENTIQUES, comme des « x » en calcul littéral).
2. 4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 5\sqrt{3} (on ne peut regrouper que des radicaux IDENTIQUES, comme des « x » en calcul littéral).
Exercice 5 : Carrés d'expressions avec radicaux⭐⭐
Calcule :
- (4\sqrt{5})^2
- (\sqrt{3} + 1)^2 (identité remarquable !)
- (\sqrt{7} - \sqrt{2})(\sqrt{7} + \sqrt{2})
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. 4^2 \times 5 = 80.
2. 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}.
3. Troisième identité : 7 - 2 = 5 (le produit « conjugué » efface les racines).
2. 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}.
3. Troisième identité : 7 - 2 = 5 (le produit « conjugué » efface les racines).
Exercice 6 : Vrai ou faux démontré⭐⭐
Vrai ou faux (justifie par un calcul ou un contre-exemple) :
- \sqrt{16 + 9} = \sqrt{16} + \sqrt{9}
- \sqrt{16 \times 9} = \sqrt{16} \times \sqrt{9}
- Pour tout x, \sqrt{x^2} = x.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. FAUX : \sqrt{25} = 5 mais 4 + 3 = 7.
2. VRAI : \begin{aligned}\sqrt{144} &= 12 \\ &= 4 \times 3\end{aligned} (le produit passe sous la racine).
3. FAUX : pour x = −5, \begin{aligned}\sqrt{25} &= 5 \\ &\neq -5\end{aligned} La racine renvoie toujours un positif.
2. VRAI : \begin{aligned}\sqrt{144} &= 12 \\ &= 4 \times 3\end{aligned} (le produit passe sous la racine).
3. FAUX : pour x = −5, \begin{aligned}\sqrt{25} &= 5 \\ &\neq -5\end{aligned} La racine renvoie toujours un positif.
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Équations x² = a⭐⭐⭐
Résous en donnant les solutions sous forme EXACTE (radicaux simplifiés) :
- x² = 20
- x² = 48
- 3x² = 21
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. \begin{aligned}x &= \pm\sqrt{20} \\ &= \pm 2\sqrt{5}\end{aligned}
2. x = \pm 4\sqrt{3}.
3. x² = 7 : x = \pm\sqrt{7} (deux solutions à chaque fois : ne pas oublier la négative).
2. x = \pm 4\sqrt{3}.
3. x² = 7 : x = \pm\sqrt{7} (deux solutions à chaque fois : ne pas oublier la négative).
Exercice 8 : La diagonale et Pythagore⭐⭐⭐
- Calcule la longueur EXACTE de la diagonale d'un carré de côté 6 cm.
- Un rectangle a pour côtés 4 cm et 2\sqrt{5} cm. Calcule la longueur exacte de sa diagonale.
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. Pythagore : \begin{aligned}d^2 &= 36 + 36 \\ &= 72\end{aligned} D'où \begin{aligned}d &= \sqrt{72} \\ &= 6\sqrt{2}\end{aligned} cm ≈ 8,49 cm.
2. \begin{aligned}d^2 &= 4^2 + (2\sqrt{5})^2 \\ &= 16 + 20 \\ &= 36\end{aligned} D'où d = 6 cm (un résultat entier caché derrière les radicaux !).
2. \begin{aligned}d^2 &= 4^2 + (2\sqrt{5})^2 \\ &= 16 + 20 \\ &= 36\end{aligned} D'où d = 6 cm (un résultat entier caché derrière les radicaux !).