Fiche de cours Logimaths | Seconde
Fiche de cours : Les racines carrées
Produit et quotient passent sous le radical, la somme jamais : les vraies règles de la racine carrée
I. La définition
Le nombre positif dont le carré est a
Pour a positif, la racine carrée de a, notée \sqrt{a}, est le nombre POSITIF dont le carré vaut a : 3² = 9 donc \sqrt{9} = 3.
- Carrés parfaits à connaître : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169 ;
- \sqrt{2} \approx 1{,}414 et \sqrt{3} \approx 1{,}732 sont IRRATIONNELS (décimales infinies non périodiques) ;
- \sqrt{-5} N'EXISTE PAS : aucun nombre au carré ne donne un négatif.
🎮 Entraîne-toi : les carrés parfaits
Cherche le nombre positif dont le carré vaut le nombre donné.
II. Produit et quotient : les deux règles qui marchent
Pour a et b positifs
- produit : \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} (\begin{aligned}\sqrt{32} \times \sqrt{2} &= \sqrt{64} \\ &= 8\end{aligned}) ;
- quotient : \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}} (\begin{aligned}\dfrac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}} &= \sqrt{49} \\ &= 7\end{aligned}) ;
- et bien sûr (\sqrt{a})^2 = a et \sqrt{a^2} = a.
▶ 🎓 Démonstration au programme (exigible) : \sqrt{a} imes \sqrt{b} = \sqrt{a imes b}
On compare les carrés des deux membres (tous deux positifs) :
Étape 1 \begin{aligned}(\sqrt{a} \times \sqrt{b})^2 &= (\sqrt{a})^2 \times (\sqrt{b})^2 \\ &= a \times b\end{aligned}
Étape 2 (\sqrt{a \times b})^2 = a \times b (par définition, a et b étant positifs).
Étape 3 Deux nombres POSITIFS qui ont le même carré sont égaux : \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}. ∎
Étape 1 \begin{aligned}(\sqrt{a} \times \sqrt{b})^2 &= (\sqrt{a})^2 \times (\sqrt{b})^2 \\ &= a \times b\end{aligned}
Étape 2 (\sqrt{a \times b})^2 = a \times b (par définition, a et b étant positifs).
Étape 3 Deux nombres POSITIFS qui ont le même carré sont égaux : \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}. ∎
🎮 Entraîne-toi : le produit de racines
Regroupe sous UNE racine et cherche le carré parfait.
III. Simplifier un radical
Faire sortir le carré parfait
Pour simplifier \sqrt{50}, on cherche le plus grand CARRÉ PARFAIT facteur de 50 : 50 = 25 × 2, donc
\begin{aligned}\sqrt{50} &= \sqrt{25} \times \sqrt{2} \\ &= 5\sqrt{2}\end{aligned}
Autres exemples : \sqrt{75} = 5\sqrt{3}, {\sqrt{72} = 6\sqrt{2}}. Cette forme permet d'ADDITIONNER des radicaux compatibles : \begin{aligned}\sqrt{50} + \sqrt{18} &= 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \\ &= 8\sqrt{2}\end{aligned}
🎮 Entraîne-toi : simplifier un radical
Décompose avec un carré parfait : \sqrt{k^2 imes d} = k\sqrt{d}.
IV. La somme : la règle qui ne marche PAS
⚠️ \sqrt{a} + \sqrt{b} n'est jamais \sqrt{a + b}
Test avec a = 9 et b = 16 : \begin{aligned}\sqrt{9} + \sqrt{16} &= 3 + 4 \\ &= 7\end{aligned} mais \sqrt{25} = 5 : la racine ne « traverse » ni les sommes ni les différences. Seuls les PRODUITS et QUOTIENTS passent sous le radical.
▶ 🎓 Démonstration au programme (exigible) : \sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a + b} (a, b > 0)
On compare encore les carrés (les deux membres sont positifs) :
Étape 1 (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{a}\sqrt{b} (identité remarquable).
Étape 2 (\sqrt{a + b})^2 = a + b.
Étape 3 2\sqrt{a}\sqrt{b} > 0 : le premier carré dépasse le second, donc \sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a + b}. ∎
Étape 1 (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{a}\sqrt{b} (identité remarquable).
Étape 2 (\sqrt{a + b})^2 = a + b.
Étape 3 2\sqrt{a}\sqrt{b} > 0 : le premier carré dépasse le second, donc \sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a + b}. ∎
🎮 Entraîne-toi : vrai ou faux ?
Existence, produits, sommes : applique les règles (et leurs limites).
V. Le piège récurrent
⚠️ \sqrt{x^2} vaut |x|, pas toujours x
\begin{aligned}\sqrt{(-5)^2} &= \sqrt{25} \\ &= 5\end{aligned} pas −5 : la racine renvoie TOUJOURS un positif. Écrire « \sqrt{x^2} = x » n'est vrai que pour x positif : en général, c'est la distance de x à zéro.
👆 ▶ À toi : simplifie \sqrt{48} + \sqrt{27}, puis calcule (2\sqrt{5})^2. Vérifie
\sqrt{48} = 4\sqrt{3} et \sqrt{27} = 3\sqrt{3} : somme = 7\sqrt{3}.
\begin{aligned}(2\sqrt{5})^2 &= 4 \times 5 \\ &= 20\end{aligned} (le carré s'applique aux DEUX facteurs).
\begin{aligned}(2\sqrt{5})^2 &= 4 \times 5 \\ &= 20\end{aligned} (le carré s'applique aux DEUX facteurs).