Fiche d'exercices Logimaths | Seconde
Fiche d'exercices : Systèmes d'équations et droites
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Solution ou pas ?⭐
On considère le système \left\{\begin{aligned}3x + y &= 10\\ x - 2y &= 1\end{aligned}\right.
- Le couple (3\,;1) est-il solution ?
- Le couple (2\,;4) est-il solution ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. 3 × 3 + 1 = 10 ✔ et 3 − 2 × 1 = 1 ✔ : oui, (3 ; 1) vérifie les deux équations.
2. 3 × 2 + 4 = 10 ✔ mais 2 − 2 × 4 = −6 ≠ 1 : non : une seule équation vérifiée ne suffit pas.
2. 3 × 2 + 4 = 10 ✔ mais 2 − 2 × 4 = −6 ≠ 1 : non : une seule équation vérifiée ne suffit pas.
Exercice 2 : Substitution guidée⭐
Résous le système \left\{\begin{aligned}y &= 3x - 2\\ 2x + y &= 13\end{aligned}\right. par substitution.
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
On remplace y dans la seconde équation : 2x + 3x − 2 = 13, donc 5x = 15, x = 3.
Puis y = 3 × 3 − 2 = 7.
Contrôle : 2 × 3 + 7 = 13 ✔ : S = {(3 ; 7)}.
Puis y = 3 × 3 − 2 = 7.
Contrôle : 2 × 3 + 7 = 13 ✔ : S = {(3 ; 7)}.
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Substitution : isoler soi-même⭐⭐
Résous le système \left\{\begin{aligned}x + 4y &= 14\\ 3x - 2y &= 0\end{aligned}\right. par substitution (quelle inconnue est la plus simple à isoler ?).
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
x a un coefficient 1 dans la première équation : x = 14 − 4y.
Report : 3(14 − 4y) − 2y = 0, soit 42 − 14y = 0, donc y = 3.
Puis x = 14 − 12 = 2. Contrôle : 3 × 2 − 2 × 3 = 0 ✔ : S = {(2 ; 3)}.
Report : 3(14 − 4y) − 2y = 0, soit 42 − 14y = 0, donc y = 3.
Puis x = 14 − 12 = 2. Contrôle : 3 × 2 − 2 × 3 = 0 ✔ : S = {(2 ; 3)}.
Exercice 4 : Combinaisons linéaires⭐⭐
Résous par combinaisons linéaires :
- \left\{\begin{aligned}2x + 3y &= 13\\ 2x - y &= 1\end{aligned}\right.
- \left\{\begin{aligned}3x + 2y &= 19\\ 5x - 3y &= 0\end{aligned}\right.
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. En SOUSTRAYANT (mêmes coefficients devant x) : 4y = 12, y = 3, puis 2x − 3 = 1 donne x = 2. Contrôle : 2 × 2 + 3 × 3 = 13 ✔ : S = {(2 ; 3)}.
2. Première × 3 et seconde × 2 : 9x + 6y = 57 et 10x − 6y = 0. En additionnant : 19x = 57, x = 3, puis 5 × 3 = 3y donne y = 5. Contrôle : 3 × 3 + 2 × 5 = 19 ✔ : S = {(3 ; 5)}.
2. Première × 3 et seconde × 2 : 9x + 6y = 57 et 10x − 6y = 0. En additionnant : 19x = 57, x = 3, puis 5 × 3 = 3y donne y = 5. Contrôle : 3 × 3 + 2 × 5 = 19 ✔ : S = {(3 ; 5)}.
Exercice 5 : Choisir sa méthode⭐⭐
Résous chaque système avec la méthode la MIEUX adaptée, en justifiant ton choix :
- \left\{\begin{aligned}y &= 5x - 7\\ 3x + 2y &= 12\end{aligned}\right.
- \left\{\begin{aligned}4x + 3y &= 18\\ 4x - 5y &= 2\end{aligned}\right.
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. y est déjà isolé : SUBSTITUTION. 3x + 2(5x − 7) = 12, soit 13x = 26, x = 2, puis y = 5 × 2 − 7 = 3 : S = {(2 ; 3)}.
2. Mêmes coefficients devant x : COMBINAISON (soustraction). 8y = 16, y = 2, puis 4x + 6 = 18 donne x = 3 : S = {(3 ; 2)}.
2. Mêmes coefficients devant x : COMBINAISON (soustraction). 8y = 16, y = 2, puis 4x + 6 = 18 donne x = 3 : S = {(3 ; 2)}.
Exercice 6 : Lecture graphique et nombre de solutions⭐⭐
Sans résoudre, donne le nombre de solutions de chaque système :
- \left\{\begin{aligned}y &= 2x + 3\\ y &= -x + 6\end{aligned}\right.
- \left\{\begin{aligned}y &= 3x - 1\\ 6x - 2y &= 8\end{aligned}\right.
- \left\{\begin{aligned}2x + y &= 5\\ 6x + 3y &= 15\end{aligned}\right.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. Pentes 2 et −1 différentes : sécantes : une solution.
2. La seconde s'écrit y = 3x − 4 : même pente 3, ordonnées à l'origine −1 et −4 différentes : parallèles strictes : aucune solution.
3. La seconde est la première multipliée par 3 : droites confondues : une infinité de solutions.
2. La seconde s'écrit y = 3x − 4 : même pente 3, ordonnées à l'origine −1 et −4 différentes : parallèles strictes : aucune solution.
3. La seconde est la première multipliée par 3 : droites confondues : une infinité de solutions.
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Le problème du kiosque⭐⭐⭐
Deux amis achètent au même kiosque. Le premier paie 2 croissants et 3 pains au chocolat 6,60 €. Le second paie 4 croissants et 1 pain au chocolat 5,70 €.
- Mets le problème en système (x = prix du croissant, y = prix du pain au chocolat).
- Résous-le et donne les deux prix.
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. \left\{\begin{aligned}2x + 3y &= 6{,}60\\ 4x + y &= 5{,}70\end{aligned}\right.
2. Première × 2 : 4x + 6y = 13,20 ; en soustrayant la seconde : 5y = 7,50, y = 1,50 €. Puis 4x + 1,50 = 5,70 donne 4x = 4,20, x = 1,05 €.
Contrôle : 2 × 1,05 + 3 × 1,50 = 2,10 + 4,50 = 6,60 ✔.
2. Première × 2 : 4x + 6y = 13,20 ; en soustrayant la seconde : 5y = 7,50, y = 1,50 €. Puis 4x + 1,50 = 5,70 donne 4x = 4,20, x = 1,05 €.
Contrôle : 2 × 1,05 + 3 × 1,50 = 2,10 + 4,50 = 6,60 ✔.
Exercice 8 : Point d'intersection et alignement⭐⭐⭐
On donne les droites d : y = 2x − 1 et d′ : y = −3x + 14.
- Calcule les coordonnées du point d'intersection I de d et d′.
- La droite d″ d'équation y = x + 2 passe-t-elle aussi par I ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. 2x − 1 = −3x + 14 donne 5x = 15, x = 3, puis y = 2 × 3 − 1 = 5 : I(3 ; 5).
2. Test : 3 + 2 = 5 = y_I ✔ : oui, les trois droites sont concourantes en I.
2. Test : 3 + 2 = 5 = y_I ✔ : oui, les trois droites sont concourantes en I.