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Fiche de cours Logimaths | Seconde

Fiche de cours : Systèmes d'équations et droites

Deux équations, deux inconnues : substitution, combinaisons, et ce que disent les droites

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I. Un système, un couple solution

Système de deux équations à deux inconnues Un système regroupe deux équations qui doivent être vraies EN MÊME TEMPS :
\left\{\begin{aligned}2x + y &= 8\\ x - y &= 1\end{aligned}\right.
Une solution est un COUPLE (x\,;y) qui vérifie les DEUX équations à la fois. Ici (3\,;2) est solution : 2 × 3 + 2 = 8 ✔ et 3 − 2 = 1 ✔. Le couple (4\,;0) vérifie la première (2 × 4 + 0 = 8 ✔) mais pas la seconde (4 − 0 = 4, et non 1) : ce n'est PAS une solution.

L'accolade se lit « et en même temps ». Elle n'est pas décorative : elle dit que les deux lignes parlent du MÊME couple (x\,;y). Deux équations écrites l'une sous l'autre sans accolade, ce sont deux problèmes séparés.

🎮 Entraîne-toi : le couple est-il solution ?
Teste le couple dans LES DEUX équations : il doit vérifier les deux.

II. La méthode de substitution

Substituer = remplacer Méthode idéale quand une inconnue a un coefficient 1 (elle s'isole alors sans faire apparaître de fraction) :
  • Isoler une inconnue dans l'une des deux équations ;
  • remplacer cette inconnue par son expression dans l'AUTRE équation : cette équation n'a plus qu'une seule inconnue ;
  • résoudre cette équation à une inconnue ;
  • reporter la valeur trouvée dans l'expression isolée pour obtenir l'autre inconnue ;
  • vérifier le couple dans les deux équations de départ.
Le geste à retenir : on ne remplace jamais dans l'équation d'où l'on vient. Sinon on obtient « 2 = 2 », une phrase vraie qui n'apprend rien.
1. j'isole x = y + 2 2. je remplace y + 2 dans l'AUTRE équation 3 x + 2y = 16 3. plus qu'une inconnue ! 3(y + 2) + 2y = 16
Ce qu'il faut regarder : l'expression y+2 quitte la ligne où x a été isolé et vient prendre la place du x dans l'autre ligne. Après le voyage, cette ligne ne contient plus qu'une seule inconnue.

Un exemple complet, rédigé du début à la fin

Résolvons \left\{\begin{aligned}3x + 2y &= 16\\ x - y &= 2\end{aligned}\right.. La seconde équation contient un x « tout seul » (coefficient 1) : c'est lui qu'on isole.

\left\{\begin{aligned}3x + 2y &= 16\\ x - y &= 2\end{aligned}\right. le système de départ \Longleftrightarrow \left\{\begin{aligned}3x + 2y &= 16\\ x &= y + 2\end{aligned}\right. J'isole x dans la seconde équation : {x - y = 2} donne x = y + 2. \Longleftrightarrow \left\{\begin{aligned}3\textcolor{#E13280}{(y + 2)} + 2y &= 16\\ x &= y + 2\end{aligned}\right. Je remplace x par \textcolor{#E13280}{y+2} dans la première équation. Les parenthèses sont obligatoires : le 3 multiplie tout le paquet. \Longleftrightarrow \left\{\begin{aligned}3y + 6 + 2y &= 16\\ x &= y + 2\end{aligned}\right. Je développe : 3 \times y = 3y et 3 \times 2 = 6. \Longleftrightarrow \left\{\begin{aligned}5y &= 10\\ x &= y + 2\end{aligned}\right. Je réduis (3y + 2y = 5y) puis je retire 6 des deux côtés. \Longleftrightarrow \left\{\begin{aligned}y &= 2\\ x &= y + 2\end{aligned}\right. Je divise par 5. La première inconnue est trouvée. \Longleftrightarrow \left\{\begin{aligned}y &= 2\\ x &= \textcolor{#E13280}{2} + 2 = 4\end{aligned}\right. Je reporte y = 2 dans l'expression isolée.

Vérification : 3 \times 4 + 2 \times 2 = 16 ✔ et {4 - 2 = 2} ✔.
Le système admet un unique couple solution : S = \{(4\,;2)\}

⚠️ L'erreur qui coûte le plus de points Isoler x dans la seconde équation puis remplacer dans cette même seconde équation : on obtient (y+2) - y = 2, c'est-à-dire 2 = 2. C'est vrai, mais cela ne donne aucune valeur. Le remplacement se fait TOUJOURS dans l'autre équation.
🎮 Entraîne-toi : résoudre par substitution
Remplace y dans la seconde équation, puis isole x.

III. La méthode des combinaisons linéaires

Combiner = additionner pour éliminer Méthode idéale quand aucune inconnue n'est facile à isoler (tous les coefficients sont différents de 1, donc isoler ferait apparaître des fractions) :
  • Choisir l'inconnue à faire disparaître ;
  • multiplier une équation (ou les deux) pour que les coefficients de cette inconnue deviennent OPPOSÉS ;
  • additionner les deux équations membre à membre : l'inconnue choisie s'élimine ;
  • résoudre l'équation à une inconnue obtenue ;
  • reporter dans l'une des équations de départ, puis vérifier.
Pourquoi a-t-on le droit ? Multiplier une ligne par un nombre non nul et remplacer une ligne par sa somme avec l'autre sont des opérations réversibles : on peut revenir en arrière. C'est exactement ce qui autorise le symbole \Longleftrightarrow entre les systèmes.
on additionne membre à membre 3x + 4y = 18 + 10x − 4y = 8 0 4y − 4y = 0 13x = 26 plus qu'une inconnue x = 2 on divise par 13
Ce qu'il faut regarder : +4y et -4y se rejoignent et disparaissent, parce que leur somme vaut 0. Ce qui reste sous le trait n'a plus qu'une inconnue. C'est toute l'idée de la méthode : fabriquer deux termes opposés, puis additionner.

Un exemple complet, rédigé du début à la fin

Résolvons \left\{\begin{aligned}3x + 4y &= 18\\ 5x - 2y &= 4\end{aligned}\right.. Aucun coefficient ne vaut 1 : isoler donnerait des fractions. On élimine plutôt y, car 4 est un multiple de 2 : une seule multiplication suffira.

\left\{\begin{aligned}3x + 4y &= 18\\ 5x - 2y &= 4\end{aligned}\right. le système de départ \Longleftrightarrow \left\{\begin{aligned}3x + \textcolor{#E13280}{4y} &= 18\\ 10x \textcolor{#E13280}{- 4y} &= 8\end{aligned}\right. Je multiplie la seconde ligne par 2 ({L_2 \leftarrow 2 \times L_2}), TOUS les termes compris, y compris le second membre : \textcolor{#E13280}{+4y} et \textcolor{#E13280}{-4y} sont maintenant opposés. \Longleftrightarrow \left\{\begin{aligned}13x &= 26\\ 10x - 4y &= 8\end{aligned}\right. J'additionne les deux lignes (L_1 \leftarrow L_1 + L_2) : 3x + 10x = 13x, 4y - 4y = 0 et 18 + 8 = 26. Je garde une ligne intacte pour finir : sans elle, y serait perdu. \Longleftrightarrow \left\{\begin{aligned}x &= 2\\ 10x - 4y &= 8\end{aligned}\right. Je divise par 13. \Longleftrightarrow \left\{\begin{aligned}x &= 2\\ 10 \times \textcolor{#E13280}{2} - 4y &= 8\end{aligned}\right. Je reporte x = 2 dans la ligne restée intacte. \Longleftrightarrow \left\{\begin{aligned}x &= 2\\ y &= 3\end{aligned}\right. 20 - 4y = 8 donne -4y = -12, donc y = 3.

Vérification : 3 \times 2 + 4 \times 3 = 18 ✔ et {5 \times 2 - 2 \times 3 = 4} ✔.
S = \{(2\,;3)\}

On aurait aussi pu éliminer x : L_1 \leftarrow 5 \times L_1 et L_2 \leftarrow -3 \times L_2 donnent 15x + 20y = 90 et -15x + 6y = -12, dont la somme est 26y = 78, soit y = 3. Même solution, deux multiplications au lieu d'une : c'est pour cela qu'on regarde d'abord quelle inconnue coûte le moins cher.

⚠️ Multiplier une ligne, c'est multiplier TOUT {L_2 \leftarrow 2 \times L_2} transforme 5x - 2y = 4 en 10x - 4y = 8. Oublier le second membre (écrire 10x - 4y = 4) change complètement le système. Et attention : multiplier par 0 est interdit, cela effacerait l'équation.
🎮 Entraîne-toi : éliminer par addition
Les coefficients de y sont opposés : additionne les deux équations.

IV. Quelle méthode choisir ?

Les deux méthodes donnent toujours la même solution : aucune n'est « fausse ». Mais l'une est souvent bien plus rapide. Le tri se fait en deux secondes, avant de commencer.

Ce que je vois dans le systèmeMéthode la plus rapide
Une inconnue est déjà isolée (y = \ldots)Substitution (le travail est déjà fait)
Une inconnue a le coefficient 1 ou -1Substitution (isoler ne crée pas de fraction)
Deux coefficients déjà opposés (+3y et -3y)Combinaison (on additionne, c'est fini)
Un coefficient est multiple de l'autre (2y et 6y)Combinaison (une seule multiplication)
Tous les coefficients valent 2, 3, 5 …Combinaison (la substitution donnerait des fractions)
🎮 Entraîne-toi : quelle méthode ?
Regarde les coefficients, ne résous rien.
🎮 Entraîne-toi : par quel nombre multiplier ?
Trouve le facteur qui rend les coefficients de y opposés.

V. LE point clé : deux équations, deux droites

Une équation, une droite Écrite sous la forme y = mx + p, une équation à deux inconnues n'a pas UNE solution mais une infinité : tous les couples (x\,;y) qui la vérifient. Dessinés dans un repère, ces couples forment une droite de coefficient directeur m et d'ordonnée à l'origine p.

Un système, c'est donc deux droites, et une solution du système est un point qui est sur les deux à la fois :
\text{résoudre le système} \;\Longleftrightarrow\; \text{trouver les points d'intersection des deux droites}
C'est le même « en même temps » que l'accolade, mais vu avec les yeux.
x y O D₁ D₂
D₁ (première équation) D₂ (seconde équation)
Mission :
Attrape les quatre poignées et déplace-les. Les grosses (sur l'axe des ordonnées) règlent p, les petites règlent la pente m. Rose = D_1, bleu = D_2. Le point jaune, quand il existe, est LA solution du système.

VI. Les trois cas de figure

Interprétation graphique Chaque équation du système est l'équation d'une DROITE : résoudre le système, c'est chercher les points COMMUNS aux deux droites. Trois scénarios, et trois seulement :
  • pentes différentes : droites sécantes : UNE solution (le point d'intersection) ;
  • même pente, ordonnées à l'origine différentes : parallèles strictes : AUCUNE solution ;
  • même pente ET même ordonnée à l'origine (équations proportionnelles) : droites confondues : une INFINITÉ de solutions.
Réflexe : mettre les deux équations sous forme réduite y = mx + p et comparer les pentes AVANT de se lancer dans les calculs.
Les droitesLes pentesLe systèmeCe que donne le calcul
sécantesm_1 \neq m_21 solutionon trouve une valeur de x
parallèles strictesm_1 = m_2, p_1 \neq p_20 solutionégalité fausse (ex. : 0 = 5)
confonduesm_1 = m_2, p_1 = p_2infinitéégalité toujours vraie (0 = 0)

La dernière colonne est précieuse le jour du contrôle : si tes calculs aboutissent à 0 = 5, ce n'est pas une erreur, c'est la réponse. Tu écris alors « le système n'a pas de solution », S = \varnothing.

🎮 Entraîne-toi : lire la solution sur le graphique
Le point d'intersection donne directement le couple solution.
x = y =
🎮 Entraîne-toi : combien de solutions ?
Compare les deux équations réduites : pentes, puis ordonnées à l'origine.

VII. Les pièges du chapitre

⚠️ Vérifier dans LES DEUX équations Un couple qui vérifie une seule équation n'est pas une solution du système. Et à la fin d'une résolution, le test des deux équations détecte presque toutes les erreurs de calcul : dix secondes bien investies.
⚠️ Un COUPLE, dans le bon ordre La solution s'écrit (x\,;y), toujours x en premier. Si le calcul donne y = 5 puis x = 3, la solution est (3\,;5), pas (5\,;3). L'écriture S = \{(3\,;5)\} rappelle qu'il s'agit d'UN SEUL objet : le couple.
⚠️ Le graphique montre, il ne démontre pas Lire un point d'intersection sur un dessin donne une valeur approchée : si la solution est \left(\dfrac{7}{3}\,;\dfrac{1}{3}\right), aucun graphique ne le dira. Le graphique sert à prévoir le nombre de solutions et à contrôler le résultat ; la valeur exacte vient toujours du calcul.
⚠️ « 0 = 0 » et « 0 = 5 » ne veulent pas dire la même chose Arriver à 0 = 0 ne signifie pas « x = 0 » ni « pas de solution » : c'est une égalité toujours vraie, donc les droites sont confondues et il y a une infinité de solutions. Arriver à 0 = 5, égalité toujours fausse, signifie au contraire qu'il n'y en a aucune.
👆 ▶ À toi : résous \left\{\begin{aligned}2x + y &= 11\\ x - y &= 1\end{aligned}\right. (méthode au choix), puis vérifie
Les +y et -y sont déjà opposés : la combinaison ne demande aucune multiplication.
\left\{\begin{aligned}2x + y &= 11\\ x - y &= 1\end{aligned}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{aligned}3x &= 12\\ x - y &= 1\end{aligned}\right. L_1 \leftarrow L_1 + L_2 \Longleftrightarrow \left\{\begin{aligned}x &= 4\\ 4 - y &= 1\end{aligned}\right. on divise par 3, puis on reporte \Longleftrightarrow \left\{\begin{aligned}x &= 4\\ y &= 3\end{aligned}\right.
Contrôle : 2 \times 4 + 3 = 11 ✔ et 4 - 3 = 1 ✔, donc S = \{(4\,;3)\}.
👆 ▶ À toi : sans calculer, que peux-tu dire de \left\{\begin{aligned}y &= 2x - 3\\ 4x - 2y &= 6\end{aligned}\right. ?
On met la seconde équation sous forme réduite : 4x - 2y = 6 donne {-2y = -4x + 6}, puis en divisant par -2 : {y = 2x - 3}.
C'est exactement la première équation : les deux droites sont confondues. Le système a donc une infinité de solutions : tous les couples (x\,;2x-3), c'est-à-dire tous les points de la droite.
Attention au signe : en divisant par -2, TOUS les termes changent de signe. C'est là que la moitié des erreurs se produisent.
📄 La fiche d'exercices du chapitre 🧮 M'entraîner en automatismes 🎯 Le QCM du chapitre