Fiche d'exercices Logimaths | Seconde
Fiche d'exercices : Fonction valeur absolue
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Calculs de base⭐
Calcule :
- |−12| ; |7| ; |0|
- |4 − 9| ; |9 − 4|
- −|−6| ; |−3| + |−5|
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. 12 ; 7 ; 0.
2. |−5| = 5 et |5| = 5 : |a − b| = |b − a| (même distance dans les deux sens).
3. −|−6| = −6 (le moins devant reste) ; 3 + 5 = 8.
2. |−5| = 5 et |5| = 5 : |a − b| = |b − a| (même distance dans les deux sens).
3. −|−6| = −6 (le moins devant reste) ; 3 + 5 = 8.
Exercice 2 : La fonction et sa courbe⭐
Soit f(x) = |x|.
- Calcule f(−4), f(0) et f(4). Que remarque-t-on ?
- Décris la courbe de f (forme, sommet, symétrie).
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. f(−4) = 4 = f(4) et f(0) = 0 : deux opposés ont la même image : f est paire.
2. Un V : pointe à l'origine, branche y = −x à gauche, y = x à droite, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
2. Un V : pointe à l'origine, branche y = −x à gauche, y = x à droite, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Variations et comparaisons⭐⭐
- Donne le tableau de variations de f(x) = |x| sur ℝ.
- Sans calculer, compare |−7,2| et |−7,5|, puis |3,1| et |−3,1|.
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. Décroissante sur ]−∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[, minimum 0 en x = 0.
2. |−7,2| < |−7,5| (7,2 < 7,5) ; |3,1| = |−3,1| (opposés).
2. |−7,2| < |−7,5| (7,2 < 7,5) ; |3,1| = |−3,1| (opposés).
Exercice 4 : Équations |x| = k⭐⭐
Résous :
- |x| = 9
- |x| = 0
- |x| = −4
- 2|x| − 5 = 11
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. S = {−9 ; 9}.
2. S = {0}.
3. Une distance n'est jamais négative : S = ∅.
4. 2|x| = 16, |x| = 8 : S = {−8 ; 8}.
2. S = {0}.
3. Une distance n'est jamais négative : S = ∅.
4. 2|x| = 16, |x| = 8 : S = {−8 ; 8}.
Exercice 5 : |x − a| : lire une distance⭐⭐
Traduis chaque équation en phrase de distance, puis résous :
- |x − 4| = 3
- |x + 2| = 5 (attention : x + 2 = x − (−2))
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. « x est à distance 3 de 4 » : x = 1 ou x = 7.
2. « x est à distance 5 de −2 » : x = −7 ou x = 3 (contrôle : |−7 + 2| = 5 ✔).
2. « x est à distance 5 de −2 » : x = −7 ou x = 3 (contrôle : |−7 + 2| = 5 ✔).
Exercice 6 : Inéquations par la distance⭐⭐
Résous en raisonnant en distances, et donne S en intervalle :
- |x| ≤ 4
- |x − 3| ≤ 2
- |x| > 5
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. À distance au plus 4 de zéro : S = [−4 ; 4].
2. À distance au plus 2 de 3 : S = [1 ; 5].
3. À distance PLUS de 5 de zéro : S = ]−∞ ; −5[ ∪ ]5 ; +∞[ (deux morceaux).
2. À distance au plus 2 de 3 : S = [1 ; 5].
3. À distance PLUS de 5 de zéro : S = ]−∞ ; −5[ ∪ ]5 ; +∞[ (deux morceaux).
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Vrai ou faux ?⭐⭐⭐
Vrai ou faux (justifie ou donne un contre-exemple) :
- Pour tous réels a et b : |a + b| = |a| + |b|.
- Pour tout réel x : |−x| = |x|.
- La fonction valeur absolue est croissante sur ℝ.
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. FAUX : a = 3, b = −5 : |−2| = 2 mais 3 + 5 = 8 (les barres ne traversent pas les sommes de signes opposés).
2. VRAI : x et −x sont à la même distance de zéro (c'est la parité).
3. FAUX : elle DÉCROÎT sur ]−∞ ; 0] (f(−3) = 3 > f(−1) = 1) : croissante seulement sur [0 ; +∞[.
2. VRAI : x et −x sont à la même distance de zéro (c'est la parité).
3. FAUX : elle DÉCROÎT sur ]−∞ ; 0] (f(−3) = 3 > f(−1) = 1) : croissante seulement sur [0 ; +∞[.
Exercice 8 : La tolérance de fabrication⭐⭐⭐
Une pièce doit mesurer 250 mm, avec une tolérance de 0,4 mm : une pièce de longueur x est acceptée si |x − 250| ≤ 0,4.
- Traduis la condition en phrase de distance, puis en encadrement de x.
- Les pièces de 249,7 mm et 250,5 mm sont-elles acceptées ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. « x est à distance au plus 0,4 de 250 » : 249,6 ≤ x ≤ 250,4.
2. |249,7 − 250| = 0,3 ≤ 0,4 : acceptée ; |250,5 − 250| = 0,5 > 0,4 : refusée : la valeur absolue est LE langage des tolérances industrielles.
2. |249,7 − 250| = 0,3 ≤ 0,4 : acceptée ; |250,5 − 250| = 0,5 > 0,4 : refusée : la valeur absolue est LE langage des tolérances industrielles.