Fiche de cours Logimaths | Seconde
Fiche de cours : Fonction valeur absolue
La courbe en V : distance à zéro devenue fonction
I. La fonction x ↦ |x|
De la notation à la fonction
La fonction valeur absolue associe à chaque réel x sa distance à zéro : f(x) = |x|, définie sur ℝ. Elle se définit par cas :|x| = \left\{\begin{aligned}&x &&\text{si } x \geqslant 0 \\ &{-x} &&\text{si } x < 0\end{aligned}\right.Autrement dit : un positif ne change pas, un négatif devient son opposé : |−7| = 7.
|x| est TOUJOURS positif ou nul, et |x| = 0 seulement pour x = 0.
La notation |a| et la distance entre deux réels ont été vues au chapitre Nombres réels : ici, on en fait une FONCTION à étudier.
|x| est TOUJOURS positif ou nul, et |x| = 0 seulement pour x = 0.
La notation |a| et la distance entre deux réels ont été vues au chapitre Nombres réels : ici, on en fait une FONCTION à étudier.
🎮 Entraîne-toi : images par la valeur absolue
Positif : inchangé ; négatif : on prend l'opposé.
II. La courbe en V
Courbe, parité, signe, variations
La courbe de f(x) = |x| est un V : la droite y = −x pour x ≤ 0, la droite y = x pour x ≥ 0, avec la pointe à l'origine.
- Parité : |−x| = |x| : fonction PAIRE, courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
⚠️ La parité n'est normalement plus au programme à partir de la rentrée 2026 (on la garde ici pour la culture). - signe : |x| ≥ 0 partout ;
- variations : DÉCROISSANTE sur ]−∞ ; 0], CROISSANTE sur [0 ; +∞[ : minimum 0 atteint en x = 0.
🎮 Entraîne-toi : comparer des valeurs absolues
Compare les distances à zéro, pas les nombres.
III. Les équations |x| = k
Trois scénarios (comme x² = a)
- k > 0 : DEUX solutions, k et −k (|x| = 5 donne 5 et −5) ;
- k = 0 : une seule solution, 0 ;
- k < 0 : AUCUNE solution (une distance n'est jamais négative).
🎮 Entraîne-toi : résoudre |x| = k
Deux solutions opposées quand k est positif : donne la positive.
IV. |x − a| : une distance qui se déplace
La distance à a
|x − a| est la DISTANCE entre x et a sur la droite des réels : |x − 3| = distance entre x et 3.
- |x − 3| = 2 se lit « x est à distance 2 de 3 » : x = 1 ou x = 5 ;
- |x − 3| ≤ 2 se lit « x est à distance au plus 2 de 3 » : x ∈ [1 ; 5].
La même écriture, trois lectures
Selon le signe qui suit, |x − a| décrit deux points, un segment, ou tout ce qui est en dehors. Choisis un cas et fais varier le centre a et le rayon r :
Et pour aller plus loin
Ces lectures sont aussi celles du chapitre Nombres réels, où le programme les installe : tu y trouveras d'autres entraînements sur les intervalles.
🎮 Entraîne-toi : distance entre deux réels
|a − b| : la distance entre a et b sur la droite graduée.
V. Les pièges du chapitre
⚠️ |x| n'efface pas ce qu'il y a DANS les barres
|3 − 8| = |−5| = 5 : on calcule D'ABORD l'intérieur, PUIS on prend la valeur absolue. Écrire |3 − 8| = 3 + 8 = 11 est un contresens classique : les barres ne changent pas les signes à l'intérieur, elles s'appliquent au RÉSULTAT.
⚠️ −|x| est toujours négatif (ou nul)
Comme pour les puissances : |−4| = 4 mais −|4| = −4. Le signe moins DEVANT les barres reste dehors. Et |x| = x n'est vrai que pour x positif : pour x = −2, |x| = 2 ≠ −2.
👆 ▶ À toi : résous |x| = 7, puis |x − 5| = 3 (avec la distance). Vérifie
|x| = 7 : deux solutions, 7 et −7.
|x − 5| = 3 : x est à distance 3 de 5 : x = 2 ou x = 8 (contrôle : |2 − 5| = 3 ✔ et |8 − 5| = 3 ✔).
Le graphe d'aide : règle a et r, et retrouve les deux réponses sur l'axe. Avec a = 0 et r = 7 pour la première ; a = 5 et r = 3 pour la seconde.
|x − 5| = 3 : x est à distance 3 de 5 : x = 2 ou x = 8 (contrôle : |2 − 5| = 3 ✔ et |8 − 5| = 3 ✔).
Le graphe d'aide : règle a et r, et retrouve les deux réponses sur l'axe. Avec a = 0 et r = 7 pour la première ; a = 5 et r = 3 pour la seconde.