Exercice 1 : Affines : le sens en un coup d'œil⭐
Donne le sens de variation de chaque fonction (justifie par le signe de a) :
f(x) = 4x − 9
g(x) = 5 − 2x
h(x) = −x
k(x) = 7
👆▶ Correction de l'exercice 1
1. a = 4 > 0 : croissante sur ℝ. 2. g(x) = −2x + 5, a = −2 < 0 : décroissante. 3. a = −1 < 0 : décroissante (c'est la fonction « opposé »). 4. a = 0 : constante.
Exercice 2 : Lire un tableau de variations⭐
Une fonction f, définie sur [−4 ; 6], est croissante sur [−4 ; 1] puis décroissante sur [1 ; 6], avec f(−4) = −2, f(1) = 5 et f(6) = 0.
Dresse le tableau de variations de f.
Quel est le maximum de f ? En quelle valeur est-il atteint ?
Combien l'équation f(x) = 3 a-t-elle de solutions ?
👆▶ Correction de l'exercice 2
1. Ligne x : −4, 1, 6 ; ligne f : flèche qui monte de −2 à 5, puis flèche qui descend de 5 à 0. Voici à quoi il doit ressembler :
Les valeurs s'écrivent au bout des flèches : en bas au départ d'une montée, en haut à son arrivée.2. Maximum 5 (la valeur), atteint en x = 1 (l'endroit) : deux informations différentes. 3. 3 est entre −2 et 5 (montée : une solution) et entre 0 et 5 (descente : une solution) : deux solutions.
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Comparer sans calculer⭐⭐
Sans aucun calcul d'image, complète par < ou > en justifiant :
f est croissante sur [0 ; 10] : f(2) … f(7) ;
g est décroissante sur ℝ : g(−3) … g(4) ;
h(x) = x² (fonction carré) : h(−6) … h(−2).
👆▶ Correction de l'exercice 3
1. 2 < 7, ordre conservé : f(2) < f(7). 2. −3 < 4, ordre renversé : g(−3) > g(4). 3. Sur ]−∞ ; 0], la fonction carré est décroissante : −6 < −2 donne h(−6) > h(−2) (36 > 4 ✔).
Exercice 4 : Retrouver une fonction affine⭐⭐
f est affine avec f(2) = 1 et f(5) = 10.
Exercice 5 : Le tableau complet d'une courbe⭐⭐
Une fonction f est définie sur [−5 ; 7]. Sa courbe descend de f(−5) = 4 jusqu'à f(−1) = −3, remonte jusqu'à f(3) = 6, puis redescend jusqu'à f(7) = 1.
Donne les intervalles de croissance et de décroissance.
Donne le maximum et le minimum de f sur [−5 ; 7] et où ils sont atteints.
👆▶ Correction de l'exercice 5
1. Décroissante sur [−5 ; −1] et sur [3 ; 7] ; croissante sur [−1 ; 3]. En tableau :
Trois flèches, donc trois intervalles de monotonie. Le maximum se lit en haut d'une flèche montante, le minimum en bas.2. Maximum 6 atteint en x = 3 (6 > 4) ; minimum −3 atteint en x = −1 : on compare TOUTES les valeurs charnières.
Exercice 6 : Encadrer avec la monotonie⭐⭐
f est croissante sur [1 ; 5], avec f(1) = 2 et f(5) = 9.
1. f croissante : pour 1 ≤ x ≤ 5, 2 ≤ f(x) ≤ 9. 2. Non : sans autre information, f(3) peut être n'importe où entre 2 et 9. Mais OUI pour f(3) ≥ 2 : 3 ≥ 1 et f croissante donnent f(3) ≥ f(1) = 2.
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Démontrer une variation⭐⭐⭐
Soit f(x) = x^2 + 3 définie sur [0 ; +∞[. Soit a et b positifs avec a < b.
Factorise f(b) − f(a).
Déduis-en le sens de variation de f sur [0 ; +∞[.
👆▶ Correction de l'exercice 7
1. f(b) − f(a) = (b² + 3) − (a² + 3) = b² − a² = (b − a)(b + a). 2. b − a > 0 et b + a > 0 (positifs non tous nuls) : f(b) − f(a) > 0, donc f(a) < f(b) : f est croissante sur [0 ; +∞[ (le « + 3 » translate la courbe sans changer les variations).
Exercice 8 : Le bénéfice du food-truck⭐⭐⭐
Le bénéfice quotidien (en euros) d'un food-truck vendant x menus est modélisé par une fonction B définie sur [0 ; 120], croissante sur [0 ; 80] puis décroissante sur [80 ; 120], avec B(0) = −150, B(80) = 490 et B(120) = 250.
Interprète B(0) = −150.
Combien de menus faut-il vendre pour un bénéfice maximal ? Quel est ce bénéfice ?
Explique pourquoi l'équation B(x) = 0 admet exactement une solution sur [0 ; 80].
👆▶ Correction de l'exercice 8
1. Sans aucune vente, le food-truck PERD 150 € (frais fixes). Le tableau de variations du bénéfice :
Le maximum de B est 490 € (une valeur, en euros), atteint pour x = 80 menus (un nombre de menus). Ne jamais confondre les deux.2. Maximum en x = 80 : 80 menus, pour un bénéfice de 490 €. 3. Sur [0 ; 80], B est croissante et passe de −150 (négatif) à 490 (positif) : elle franchit 0 une seule fois (la croissance interdit d'y revenir) : c'est le seuil de rentabilité.
