Fiche de cours Logimaths | Seconde

Fiche de cours : Variations d'une fonction

Monter, descendre, culminer : lire et démontrer le comportement d'une courbe

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I. Croissante, décroissante : la définition

Le sens de variation sur un intervalle Sur un intervalle I :

f est croissante si, quand x augmente, f(x) augmente : pour a < b, on a f(a) ≤ f(b) : f CONSERVE l'ordre ;
f est décroissante si, quand x augmente, f(x) diminue : pour a < b, on a f(a) ≥ f(b) : f RENVERSE l'ordre.

Image mentale : on marche sur la courbe de gauche à droite : ça monte (croissante) ou ça descend (décroissante).

Maximum, minimum, tableau de variations Le maximum de f sur I est la plus grande valeur f(a) atteinte : f(x) ≤ f(a) pour tout x de I (le minimum se définit de même avec ≥). Le tableau de variations résume tout : une ligne pour x, une ligne pour f avec des flèches qui montent ou descendent, et les valeurs aux changements de sens : ce sont les extremums.

🎮 Entraîne-toi : utiliser le sens de variation

Croissante = conserve l'ordre ; décroissante = renverse l'ordre.

🎮 Entraîne-toi : localiser l'extremum

L'extremum se trouve là où la flèche change de sens.

II. Les fonctions affines

f(x) = ax + b : tout dépend du signe de a Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b (droite de coefficient directeur a, d'ordonnée à l'origine b) :

a > 0 : croissante sur ℝ ;
a < 0 : décroissante sur ℝ ;
a = 0 : constante.

Pourquoi ? f(p) − f(m) = a(p − m) : si p > m, le signe de cette différence est celui de a. Si b = 0 (f(x) = ax), la fonction est dite linéaire : sa droite passe par l'origine.

Retrouver a par les accroissements Pour une fonction affine et deux réels distincts m et n :

a = \dfrac{f(m) - f(n)}{m - n}

Exemple : f(1) = 3 et f(4) = 12 : \begin{aligned}a &= \dfrac{12 - 3}{4 - 1} \\ &= 3\end{aligned} puis b = f(1) − 3 × 1 = 0 : f(x) = 3x. C'est le même calcul que la pente d'une droite : normal, la courbe d'une fonction affine EST une droite.

🎮 Entraîne-toi : le sens de variation d'une affine

Regarde uniquement le signe du coefficient de x.

🎮 Entraîne-toi : le taux d'accroissement

a = (différence des images) divisée par (différence des antécédents).

III. Carré et inverse : les variations démontrées

Ce qu'il faut retenir

Fonction carré : décroissante sur ]−∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[ : minimum 0 en 0 ;
fonction inverse : décroissante sur ]−∞ ; 0[ ET sur ]0 ; +∞[ (deux intervalles séparés, jamais « sur ℝ »).

Conséquence pour l'inverse : entre deux nombres de MÊME signe, a < b équivaut à 1/a > 1/b (l'ordre se renverse).

▶ 🎓 Démonstration au programme (exigible) : variations de la fonction carré

Soit a et b positifs avec a < b. On étudie le signe de f(b) − f(a) :
Étape 1 f(b) − f(a) = b² − a² = (b − a)(b + a) (identité remarquable).
Étape 2 b − a > 0 (car a < b) et b + a ≥ 0 (somme de positifs) : le produit est positif.
Étape 3 f(b) ≥ f(a) : f est croissante sur [0 ; +∞[. Sur ]−∞ ; 0], avec a < b négatifs, b + a ≤ 0 et le produit devient négatif : décroissante. ∎

▶ 🎓 Démonstration au programme (exigible) : variations de la fonction inverse

Soit a et b strictement positifs avec a < b.
Étape 1 \begin{aligned}f(b) - f(a) &= \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{a} \\ &= \dfrac{a - b}{ab}\end{aligned} (réduction au même dénominateur).
Étape 2 a − b < 0 et ab > 0 : le quotient est négatif.
Étape 3 f(b) ≤ f(a) : f est DÉCROISSANTE sur ]0 ; +∞[. Même raisonnement sur ]−∞ ; 0[. ∎

IV. Les pièges du chapitre

⚠️ Les variations se lisent sur des INTERVALLES « f est croissante » ne veut rien dire sans préciser OÙ. La fonction carré n'est ni croissante ni décroissante sur ℝ : elle est décroissante PUIS croissante. Et l'inverse est décroissante sur chacun de ses deux intervalles, mais pas « sur ℝ sauf 0 » : −1 < 1 et pourtant 1/(−1) < 1/1.

⚠️ Maximum : une VALEUR, atteinte quelque part Dire « le maximum est 6,25 atteint en 2,5 » distingue bien la valeur (6,25, sur l'axe vertical) et l'endroit (x = 2,5, sur l'axe horizontal). Confondre les deux est l'erreur la plus fréquente du chapitre : le maximum N'EST PAS 2,5.

👆 ▶ À toi : f(x) = −2x + 7. Sens de variation ? Puis compare f(10) et f(12) sans les calculer. Vérifie

a = −2 < 0 : f est décroissante sur ℝ.
10 < 12 et f décroissante : l'ordre se renverse : f(10) > f(12) (contrôle : −13 > −17 ✔).

V. Pour aller plus loin : fonctions paires et impaires

🧭 Approfondissement : hors programme cette année, tu le verras en 1ère La parité d'une fonction (paire ou impaire) est sortie du programme de 2nde avec le BO du 2 avril 2026 : elle n'a pas disparu, elle a déménagé. Tu la retrouveras l'an prochain en 1ère spécialité mathématiques, où elle est explicitement au programme (« représentation algébrique et graphique de fonctions paires, impaires »). Cette année, ce n'est donc pas du cours exigible : aucun contrôle de 2nde ne peut te demander de montrer qu'une fonction est paire ou impaire. Mais prendre de l'avance ici coûte dix minutes et fait comprendre d'un coup d'œil la forme des courbes rencontrées plus haut : pourquoi la parabole se replie sur elle-même, pourquoi l'hyperbole a deux branches qui se répondent.

👆 ▶ Ouvrir l'approfondissement (hors programme en 2nde, au programme en 1ère) : paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre

⚠️ Avant tout : le domaine doit être symétrique par rapport à 0 La toute première chose à regarder, c'est le domaine de définition \mathcal D de f. Pour pouvoir seulement écrire f(-x), il faut que -x soit dans \mathcal D dès que x y est : on dit que \mathcal D est symétrique par rapport à 0.

✅ symétriques : \mathbb R, \mathbb R^*, [-3\,;3], ]-5\,;5[ ;
❌ pas symétriques : [0\,;+\infty[ (le domaine de la racine carrée), [-2\,;5], ]0\,;+\infty[.

Si le domaine n'est pas symétrique, la question est réglée d'avance : f n'est ni paire ni impaire, et il est inutile de calculer quoi que ce soit.

Définitions Soit f définie sur un domaine \mathcal D symétrique par rapport à 0.

f est paire si, pour tout x de \mathcal D : {f(-x) = f(x)} ;
f est impaire si, pour tout x de \mathcal D : f(-x) = -f(x).

D'où viennent ces noms ? Des puissances de x : x^2, x^4, x^6 (exposants pairs) donnent des fonctions paires, tandis que x, x^3, x^5 (exposants impairs) donnent des fonctions impaires.

Ce que ça donne sur la courbe

f paire ⟺ sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (l'axe vertical). Image mentale : on plie la feuille le long de l'axe des ordonnées, les deux moitiés de la courbe se superposent.
f impaire ⟺ sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère. Image mentale : on fait faire un demi-tour (180°) à la feuille autour du point O, la courbe retombe sur elle-même.

Conséquence pratique : il suffit d'étudier la fonction sur la moitié droite du domaine, puis de compléter le dessin par symétrie.

À toi de jouer : choisis une fonction, choisis la symétrie testée, puis déplace le point M (au doigt ou à la souris) le long de la courbe. Le point bleu N est le point de la courbe d'abscisse -x, et le cercle ambre est l'image de M par la symétrie. Quand les deux se superposent, la relation est vérifiée en ce point.

La méthode de rédaction : on part de f(−x)

On vérifie que le domaine est symétrique par rapport à 0 (et on l'écrit).
On prend x quelconque du domaine et on calcule f(-x) : on remplace chaque x par (-x), avec les parenthèses, puis on simplifie.
On compare le résultat à f(x) et à -f(x), et on conclut.

Exemple rédigé avec {f(x) = 3x^2 - 5}.

f(-x)	= 3(-x)^2 - 5
	= 3x^2 - 5
	= f(x)

\mathcal D = \mathbb R est symétrique par rapport à 0, et pour tout réel x on a {f(-x) = f(x)} : f est paire. Sa courbe est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

⚠️ Le contre-exemple indispensable : presque aucune fonction n'est paire ou impaire « Paire » et « impaire » ne sont pas deux cas complémentaires : la très grande majorité des fonctions ne sont ni l'une ni l'autre. Prenons f(x) = x^2 + x, définie sur \mathbb R (domaine bien symétrique).

f(-x)	= (-x)^2 + (-x)
	= x^2 - x

Or x^2 - x n'est ni x^2 + x (donc f n'est pas paire), ni {-(x^2 + x) = -x^2 - x} (donc f n'est pas impaire).
Et pour être sûr, un seul contre-exemple numérique suffit :

\begin{aligned}f(1) &= 1 + 1 \\ &= 2\end{aligned} et \begin{aligned}f(-1) &= 1 - 1 \\ &= 0\end{aligned}
f(-1) \neq f(1) (car 0 \neq 2) : f n'est pas paire ;
f(-1) \neq -f(1) (car 0 \neq -2) : f n'est pas impaire.

Retiens la dissymétrie du raisonnement : pour affirmer qu'une fonction est paire, il faut le prouver pour tout x ; pour nier, une seule valeur de x qui coince suffit. C'est exactement la même logique que pour les variations, où un seul couple (a ; b) ne prouve jamais qu'une fonction est croissante.

Le lien avec les variations (partie III) La parité explique d'un coup ce qui a été démontré plus haut.

La fonction carré est paire : son tableau de variations est en miroir. Décroissante sur {]-\infty\,;0]}, elle est croissante sur [0\,;+\infty[ : le sens s'inverse quand on passe de l'autre côté de 0.
La fonction inverse est impaire : elle garde le même sens de variation de part et d'autre de 0. Décroissante sur ]-\infty\,;0[, elle est encore décroissante sur ]0\,;+\infty[.

Règle générale : une fonction paire renverse ses variations par symétrie, une fonction impaire les conserve. Attention tout de même : cela ne permet toujours pas d'écrire que la fonction inverse est décroissante « sur ℝ privé de 0 », comme rappelé dans les pièges de la partie IV.

Deux curiosités pour finir

Une fonction peut être paire et impaire à la fois : si {f(-x) = f(x)} et f(-x) = -f(x), alors f(x) = -f(x), donc 2f(x) = 0 et f(x) = 0. La fonction nulle est la seule dans ce cas.
Si f est impaire et définie en 0, alors f(0) = -f(0), donc {f(0) = 0} : sa courbe passe forcément par l'origine. Un moyen très rapide d'éliminer une candidate.

🎮 Entraîne-toi (bonus) : paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre ?

Calcule f(−x) de tête, puis compare à f(x) et à −f(x).

VI. Le tableau de variations : le dessiner et le lire

Deux lignes, et rien d'autre Un tableau de variations, ce sont deux lignes :

la ligne du haut est celle de x : on y écrit, dans l'ordre croissant, les bornes de l'intervalle d'étude et toutes les valeurs de x où le sens de variation change ;
la ligne du bas est celle de f(x) : une flèche par intervalle, qui monte si f y est croissante et qui descend si f y est décroissante.

Les valeurs de f s'écrivent au bout des flèches : en bas quand la flèche part d'en bas, en haut quand elle y arrive. Les valeurs écrites là où la flèche change de sens sont les extremums.

Le tableau de variations d'une fonction f définie sur [−4 ; 6]. Rien de plus, rien de moins : c'est tout ce que le tableau raconte.

Lire ce tableau, ligne par ligne

f est définie sur [−4 ; 6] : ce sont les deux valeurs extrêmes de la ligne des x ;
la première flèche monte de −2 à 5 : f est croissante sur [−4 ; 1] ;
la deuxième flèche descend de 5 à 0 : f est décroissante sur [1 ; 6] ;
le maximum de f est 5 (la valeur, sur l'axe vertical), atteint en x = 1 (l'endroit, sur l'axe horizontal) ;
le minimum est −2, atteint en x = −4 : il est au bord de l'intervalle, pas à un changement de sens. Un extremum n'est donc pas forcément au bout d'une flèche qui tourne.

Et une lecture qu'on oublie presque toujours : le nombre de solutions de l'équation f(x) = k. Pour k = 3, la valeur 3 est franchie une fois pendant la montée (de −2 à 5) et une fois pendant la descente (de 5 à 0) : l'équation f(x) = 3 a exactement deux solutions. Une flèche qui monte de p à q franchit une fois, et une seule, toute valeur strictement comprise entre p et q.

⚠️ Une flèche ne dessine pas la courbe La flèche qui monte de −2 à 5 ne dit pas que la courbe est un segment de droite. Elle dit seulement : « sur cet intervalle, ça monte, sans jamais redescendre ». La courbe peut être bombée, creuse, ou droite : le tableau ne fait pas la différence, et c'est justement pour ça qu'il est pratique.

À toi de jouer : fais glisser le point M le long de la courbe (au doigt ou à la souris). Le trait vertical descend du graphe jusqu'au tableau : tu vois en direct dans quelle colonne tu te trouves, et quelle flèche est en train d'être parcourue. Puis masque la courbe : il ne reste que le tableau, et c'est exactement ce que tu auras dans un contrôle.

Les deux tableaux à connaître par cœur Ce sont ceux des fonctions démontrées dans la partie III. Apprends-les comme des dessins, pas comme des phrases : le jour du contrôle, c'est le dessin qui revient.

Fonction carré f(x) = x^2 sur \mathbb R : décroissante puis croissante, avec un minimum égal à 0, atteint en x = 0. Le creux du tableau, c'est le sommet de la parabole.

Fonction inverse f(x) = \dfrac{1}{x} : la double barre en 0 marque la valeur interdite. Deux flèches qui descendent, mais deux intervalles séparés : on n'écrit jamais « décroissante sur ℝ privé de 0 » (voir les pièges de la partie IV).

🎮 Entraîne-toi : lire un tableau de variations

Le tableau est dessiné ci-dessous : tout est dedans.

🎮 Entraîne-toi : du tableau au graphe

Quelle courbe raconte la même histoire que ce tableau ?

VII. « Pour TOUS les a < b » : un seul couple ne prouve rien

La définition, avec son quantificateur Soit f définie sur un intervalle I. On dit que f est croissante sur I lorsque :

pour tous les réels a et b de I tels que a < b, on a f(a) ≤ f(b)

Le mot important n'est ni « a » ni « b » : c'est « pour tous ». Au lycée, on abrège ce « pour tout » par le symbole \forall, et la définition s'écrit {\forall a, b \in I,\ a < b \Rightarrow f(a) \leq f(b)}. Pour une fonction décroissante, on remplace la conclusion par f(a) \geq f(b) ; pour une fonction constante, par f(a) = f(b).

Les trois cas, sur un couple (a ; b) Place deux nombres a < b sur l'axe des abscisses et compare les deux hauteurs f(a) et f(b) :

f(a) < f(b) : entre a et b, ça monte (compatible avec « croissante ») ;
f(a) > f(b) : entre a et b, ça descend (compatible avec « décroissante ») ;
f(a) = f(b) : les deux hauteurs sont les mêmes (compatible avec « constante »).

Note bien le mot compatible : un seul couple ne décide de rien, il ne fait qu'être d'accord ou pas avec une hypothèse. C'est ce que l'atelier ci-dessous te fait toucher du doigt.

À toi de jouer : fais glisser a (rose) et b (bleu) sur l'axe des abscisses. Les deux hauteurs f(a) et f(b) se tracent toutes seules et le verdict s'affiche en direct. Choisis ensuite la montagne : ta mission est de trouver un couple qui monte, puis un couple qui descend, sur le même intervalle.

⚠️ Prouver et réfuter, ce n'est pas le même travail Le raisonnement est dissymétrique, et c'est tout le chapitre :

pour affirmer que f est croissante sur I, il faut que ce soit vrai pour tous les couples a < b de I : on ne peut pas les essayer un par un, il y en a une infinité. Il faut donc démontrer, en étudiant le signe de f(b) − f(a) (parties II et III) ;
pour réfuter, au contraire, un seul couple bien choisi suffit : si tu exhibes a < b avec f(a) > f(b), c'est fini, f n'est pas croissante sur I.

C'est exactement la logique du contre-exemple. Mille couples qui montent ne prouvent rien ; un seul couple qui descend démolit tout.

🎮 Entraîne-toi : peut-on conclure ?

Dans chaque cas, demande-toi si l'information porte sur UN couple ou sur TOUS.

VIII. Extremum local, extremum global

Deux mots pour deux idées différentes Soit f définie sur un intervalle I, et x_0 un point de I.

f(x_0) est le maximum global de f sur I si f(x) \leq f(x_0) pour tout x de I : c'est le record absolu, sur tout l'intervalle ;
f(x_0) est un maximum local si f(x) \leq f(x_0) seulement pour les x proches de x_0 : c'est un record de quartier, valable dans une petite fenêtre autour de x_0 et nulle part garanti au-delà.

On définit de même le minimum global et les minimums locaux, avec \geq. Le mot extremum désigne indifféremment un maximum ou un minimum (au pluriel : des extremums, ou des extrema). Image mentale : un sommet local, c'est la plus haute colline que tu vois depuis là où tu es ; le sommet global, c'est le plus haut point de tout le massif. Une colline peut très bien être le point le plus haut du coin sans être le point le plus haut du massif.

Le lien entre les deux, dans un seul sens Un extremum global est toujours local (s'il bat tout le monde, il bat déjà ses voisins). La réciproque est fausse : un maximum local n'est pas forcément le maximum global. C'est précisément la situation de l'atelier ci-dessous.

À toi de jouer : la courbe ne change pas, mais la fenêtre que tu regardes, si. Fais glisser les deux bords de la fenêtre ambre (ou utilise les boutons). Le point P, lui, ne bouge jamais : regarde son statut changer selon ce que la fenêtre contient. C'est ça, être un extremum local : ça dépend de l'intervalle sur lequel on regarde.

⚠️ Trois réflexes qui évitent les erreurs classiques

Le maximum global se cherche aussi aux bords. Dans le tableau de la partie VI, le minimum −2 était atteint en x = −4, une borne, et pas à un changement de sens. Il faut donc comparer toutes les valeurs charnières, bornes comprises.
Un maximum est une valeur, pas un endroit. « Le maximum est 6, atteint en x = 3 » : 6 se lit à la verticale, 3 à l'horizontale. Répondre « le maximum est 3 » est l'erreur numéro un du chapitre.
« Local » n'a de sens qu'avec une fenêtre. Dire « c'est un maximum » sans préciser sur quel intervalle, c'est comme dire « f est croissante » sans dire où : la phrase est incomplète.

🎮 Entraîne-toi : local ou global ?

Le point entouré en rose est un extremum. Compare sa valeur à TOUTES les autres du tableau.

Le bilan du chapitre en cinq phrases

Une variation se déclare toujours sur un intervalle, jamais « en général ».
Croissante = conserve l'ordre ; décroissante = renverse l'ordre ; et cela vaut pour tous les couples a < b, pas pour celui qu'on a essayé.
Le tableau de variations résume tout : une flèche par intervalle, les valeurs au bout des flèches.
Un extremum est une valeur, atteinte en un certain x : ne jamais confondre les deux.
Global = sur tout l'intervalle ; local = seulement autour du point. Le second ne garantit jamais le premier.

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