Fiche de cours Logimaths | Seconde

Fiche de cours : Information chiffrée

Pourcentages, évolutions, coefficients multiplicateurs : lire les chiffres sans se faire avoir

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I. Proportions et pourcentages

La proportion : toujours par rapport à une référence La proportion d'une sous-population dans une population de référence est :

p = \dfrac{\text{effectif de la sous-population}}{\text{effectif total}}

C'est un nombre entre 0 et 1, souvent exprimé en pourcentage.
Exemple : 108 externes parmi 480 élèves : p = 108/480 = 0,225 = 22,5 %. Dans l'autre sens, « 15 % de 480 » se calcule 0,15 × 480 = 72. La question à toujours se poser : « pourcentage DE QUOI ? ».

Proportion de proportion Si A est inclus dans B, et B dans C : la proportion de A dans C est le PRODUIT des deux proportions, p_3 = p_1 \times p_2.
Exemple : dans un bus, 40 % de scolaires, et 60 % des scolaires sont des filles : les filles scolaires représentent 0,6 × 0,4 = 0,24 = 24 % du bus. Un pourcentage DE pourcentage se multiplie, il ne s'additionne jamais.
Ce mécanisme est repris en détail, avec son schéma et sa démonstration, dans la partie VI sur les proportions emboîtées.

🎮 Entraîne-toi : calculer une proportion

Effectif de la sous-population divisé par l'effectif total, en %.

II. Le coefficient multiplicateur

L'outil central du chapitre Augmenter de t % revient à MULTIPLIER par 1 + \dfrac{t}{100} ; diminuer de t % revient à multiplier par 1 - \dfrac{t}{100}. Ces nombres sont les coefficients multiplicateurs (CM) :

+ 38 % : CM = 1,38 ; + 5 % : CM = 1,05 ;
− 45 % : CM = 0,55 ; − 4 % : CM = 0,96.

Un CM supérieur à 1 signale une hausse, inférieur à 1 une baisse. Exemple d'application : un blouson à 160 € réduit de 35 % : 160 × 0,65 = 104 €.

Taux d'évolution + 20 %

Déplace le curseur : le pourcentage change d'étiquette, mais c'est toujours le coefficient qui multiplie. Un CM plus grand que 1 fait monter la flèche, un CM plus petit que 1 la fait descendre.

🎮 Entraîne-toi : trouver le coefficient multiplicateur

Hausse de t % : 1 + t/100 ; baisse de t % : 1 − t/100.

🎮 Entraîne-toi : appliquer une évolution

Multiplie la valeur de départ par le coefficient multiplicateur.

Le triangle : trois questions, un seul dessin

Une relation, trois lectures Les trois grandeurs V_i, V_f et CM sont liées par une seule égalité. Dès qu'on en connaît deux, la troisième se déduit : on cache celle qu'on cherche sur le triangle et on lit ce qui reste.

V_f = V_i \times CM
Un pull à 80 € baisse de 25 % : 80 \times 0{,}75 = 60, soit 60 €.

V_i = \dfrac{V_f}{CM}
Après une hausse de 25 %, un article coûte 75 € : 75 \div 1{,}25 = 60, il valait 60 €. On DIVISE, on ne retire pas 25 %.

CM = \dfrac{V_f}{V_i}
De 50 € à 62 € : 62 \div 50 = 1{,}24, soit une hausse de 24 %.

Choisis la grandeur cherchée : elle se colore, et il ne reste plus qu'à lire les deux autres sur le triangle.

⚠️ Revenir en arrière, c'est DIVISER Retrouver V_i à partir de V_f, c'est diviser par le coefficient, ce n'est jamais « enlever le même pourcentage ». Après une hausse de 25 %, un article à 75 € valait 75 \div 1{,}25 = 60 €, et non {75 - 0{,}25 \times 75 = 56{,}25} €.

🎮 Entraîne-toi : les trois coins du triangle

Tantôt V_f, tantôt V_i, tantôt CM : repère ce qui manque, puis multiplie ou divise.

III. Le taux d'évolution

De V_i à V_f : quel pourcentage ? Quand une valeur passe de V_i à V_f, le taux d'évolution est :

t = \dfrac{V_f - V_i}{V_i}

positif pour une hausse, négatif pour une baisse. On divise toujours par la valeur de DÉPART.
Exemple : de 8 500 à 10 400 habitants : t = 1 900/8 500 ≈ 0,224 : hausse d'environ 22,4 %.

Remarque : certains manuels notent V_0 et V_1 au lieu de V_i et V_f. Ce sont les mêmes objets : la valeur de départ et la valeur d'arrivée.

Remarque : taux et coefficient disent la même chose de deux façons. t = CM - 1 (en écriture décimale), et CM = 1 + t. Multiplier par 100 ne sert qu'à passer en pourcentage.

🎮 Entraîne-toi : calculer un taux d'évolution

(arrivée − départ) divisé par le départ, puis en %.

IV. Évolutions successives : le coefficient global

⚠️ On n'enchaîne JAMAIS les pourcentages Une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 20 % ne redonne pas 0 % : elle donne 1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96, c'est-à-dire une baisse de 4 %. La raison tient en une phrase : les 20 % de baisse ne portent pas sur la même valeur que les 20 % de hausse. Seuls les coefficients s'enchaînent, parce qu'eux se multiplient sans se soucier de la valeur sur laquelle ils s'appliquent.

Coefficient multiplicateur global (CMG) Deux évolutions successives de coefficients CM_1 puis CM_2 équivalent à une seule évolution, de coefficient :

CMG = CM_1 \times CM_2

et le taux global se retrouve à la fin, une fois le produit calculé :

{t = (CMG - 1) \times 100}

Le pourcentage n'intervient qu'au départ (pour fabriquer les coefficients) et à l'arrivée (pour lire le résultat). Entre les deux, on ne travaille qu'avec des coefficients.

1^re évolution + 20 % 2^e évolution − 20 %

Bouge les deux curseurs : la somme des pourcentages est presque toujours fausse, le produit des coefficients est toujours juste.

Méthode : taux global de deux évolutions successives

Écrire les deux coefficients : {CM_1 = 1 + \dfrac{t_1}{100}} et CM_2 = 1 + \dfrac{t_2}{100} (avec t négatif pour une baisse) ;
les multiplier : CMG = CM_1 \times CM_2 ;
revenir au pourcentage seulement à la fin : {t = (CMG - 1) \times 100}.

Exemple : +5 % puis +20 % : {1{,}05 \times 1{,}20 = 1{,}26}, donc t = +26\ \% et non +25 %. Le supplément vient de la hausse de 20 % qui s'applique à une valeur déjà augmentée.

👆 ▶ À toi : trois baisses de 10 % à la suite, ça fait bien −30 % ? Vérifie

Les trois coefficientsChaque baisse de 10 % donne CM = 0{,}9. Le coefficient global\begin{aligned}CMG &= 0{,}9 \times 0{,}9 \times 0{,}9 \\ &= 0{,}729\end{aligned} Le taux global\begin{aligned}t &= (0{,}729 - 1) \times 100 \\ &= -27{,}1\end{aligned} soit une baisse de 27,1 % et non de 30 %.
La règle vaut pour autant d'évolutions qu'on veut : on multiplie tous les coefficients, puis on repasse au pourcentage une seule fois, tout à la fin.

🎮 Entraîne-toi : le taux global

Multiplie les coefficients, puis {t = (CMG - 1) \times 100}.

🎮 Entraîne-toi : au final, ça monte ou ça descend ?

Compare le produit des coefficients à 1, sans calculer le taux.

V. L'évolution réciproque : celle qui annule

⚠️ À ne pas confondre avec la partie précédente

Évolutions successives : deux évolutions qu'on subit l'une après l'autre. On cherche leur effet cumulé, CMG = CM_1 \times CM_2 ;
évolution réciproque : l'évolution qui annule la première et ramène exactement à la valeur de départ. On cherche CM' tel que {CM \times CM' = 1}, donc CM' = \dfrac{1}{CM}.

La réciproque est donc un cas particulier d'évolutions successives : celui où le coefficient global vaut exactement 1.

Le pourcentage du retour n'est jamais l'opposé de celui de l'aller : seul le coefficient s'inverse.

⚠️ L'erreur qui coûte le plus de points La réciproque d'une hausse de 25 % n'est pas une baisse de 25 % : {1{,}25 \times 0{,}75 = 0{,}9375}, il manquerait 6,25 %. C'est une baisse de 20 %, parce que \dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8.
Et une baisse de 50 % se rattrape par une hausse de 100 %, pas de 50 % : pour compenser une division par 2, il faut multiplier par 2.

🎮 Entraîne-toi : l'évolution réciproque

Prends l'inverse du coefficient, puis reviens au pourcentage.

VI. Proportions emboîtées

Trois ensembles l'un dans l'autre Prenons la population animale d'une réserve. Parmi tous les animaux, certains sont des mammifères ; et parmi les mammifères, certains sont des chats. Trois ensembles emboîtés, donc trois proportions :

p_1 : la proportion de mammifères parmi tous les animaux ;
p_2 : la proportion de chats parmi les mammifères ;
p_3 : la proportion de chats parmi tous les animaux.

Ces trois nombres sont liés par la même multiplication que les coefficients :

p_3 = p_1 \times p_2

p₁ (mammifères) 40 % p₂ (chats parmi eux) 25 %

Compare avec le schéma des évolutions successives : deux petits arcs, un grand arc par-dessus, et la même multiplication. p_3 = p_1 \times p_2 est le CMG des proportions.

💡 Pourquoi ça se multiplie ? La preuve avec les effectifs Aucune règle à retenir : il suffit d'écrire les trois proportions avec les effectifs, et l'ensemble intermédiaire disparaît tout seul.

n_mammifèresn_total × n_chatsn_mammifères = n_chatsn_total = p₃

L'ensemble intermédiaire (les mammifères) est au numérateur de la première fraction et au dénominateur de la seconde : il se simplifie. C'est exactement pour cette raison que p_2 DOIT être compté parmi les mammifères. Compté parmi tous les animaux, il n'y aurait rien à simplifier et la multiplication n'aurait aucun sens.

⚠️ « Pourcentage de quoi ? », la question qui décide de tout « 25 % de chats » ne veut rien dire tant qu'on n'a pas dit parmi quoi. 25 % des mammifères, ce n'est pas 25 % des animaux : dans notre réserve, les chats font 25 % des mammifères mais seulement 10 % de la population totale.
Conséquence directe : deux proportions rapportées à des ensembles différents ne s'additionnent jamais, et ne se comparent pas non plus.

Méthode 1 : l'énoncé donne des EFFECTIFS On écrit chaque proportion comme un quotient, en nommant à chaque fois les deux ensembles concernés.
Exemple : une réserve abrite 400 animaux, dont 160 mammifères, parmi lesquels 40 chats.

\begin{aligned}p_1 &= \dfrac{\text{nombre de mammifères}}{\text{nombre total d'animaux}} \\ &= \dfrac{160}{400} \\ &= 0{,}40\end{aligned} soit 40 % ;
\begin{aligned}p_2 &= \dfrac{\text{nombre de chats}}{\text{nombre de mammifères}} \\ &= \dfrac{40}{160} \\ &= 0{,}25\end{aligned} soit 25 % ;
\begin{aligned}p_3 &= \dfrac{\text{nombre de chats}}{\text{nombre total d'animaux}} \\ &= \dfrac{40}{400} \\ &= 0{,}10\end{aligned} soit 10 %.

Vérification : \begin{aligned}p_1 \times p_2 &= 0{,}40 \times 0{,}25 \\ &= 0{,}10 \\ &= p_3\end{aligned} Les deux chemins donnent bien la même chose.

Méthode 2 : l'énoncé donne directement des PROPORTIONS Il n'y a aucun effectif, et ce n'est pas gênant : la relation ne dépend pas de la taille de la population. On repère les deux proportions connues et on trouve la troisième.

Ce qu'on cherche	Ce qu'on connaît	Calcul
p_3	p_1 et p_2	p_3 = p_1 \times p_2
p_2	p_1 et p_3	p_2 = \dfrac{p_3}{p_1}
p_1	p_2 et p_3	p_1 = \dfrac{p_3}{p_2}

C'est le triangle de la partie II, avec p_3 en haut et p_1, p_2 en bas : la case du haut est toujours le produit des deux cases du bas.
Exemple : 40 % de mammifères et 25 % de chats parmi eux donnent {0{,}40 \times 0{,}25 = 0{,}10}, soit 10 % de chats dans toute la réserve.

👆 ▶ À toi : 60 % des animaux sont des mammifères et les chats forment 12 % de toute la réserve. Quelle part des mammifères ? Vérifie

Ce qu'on chercheLes chats parmi les mammifères, c'est p_2. On connaît p_1 = 0{,}60 et p_3 = 0{,}12. Le calcul\begin{aligned}p_2 &= \dfrac{p_3}{p_1} \\ &= \dfrac{0{,}12}{0{,}60} \\ &= 0{,}20\end{aligned} soit 20 %. La vérification0{,}60 \times 0{,}20 = 0{,}12 ✅
Le piège serait de répondre 12 % : 12 % est la part des chats dans toute la réserve, pas parmi les mammifères. La part parmi les mammifères est forcément plus grande, puisque l'ensemble de référence est plus petit.

🎮 Entraîne-toi : proportions emboîtées (énoncé en %)

Tantôt p_1, tantôt p_2, tantôt p_3 : repère bien l'ensemble de référence.

🎮 Entraîne-toi : proportions emboîtées (énoncé en effectifs)

Écris le quotient avec ses deux ensembles avant de calculer.

VII. Les pièges du chapitre

⚠️ Les pourcentages ne s'additionnent pas Deux hausses de 10 % ne font pas +20 % (1,1 × 1,1 = 1,21 : +21 %) ; une hausse puis une baisse de 10 % ne se compensent pas (0,99) ; et une hausse de 200 % ne veut pas dire « doubler » mais TRIPLER (CM = 3). Le réflexe sûr : repasser SYSTÉMATIQUEMENT par les coefficients multiplicateurs.

⚠️ Un taux se rapporte à la valeur de DÉPART De 50 € à 62 € : la hausse est de 12/50 = 24 % (pas 12/62). Et comparer deux proportions exige la même référence : 30 % des filles et 25 % des garçons ne disent RIEN sur les effectifs si les groupes n'ont pas la même taille.

👆 ▶ À toi : un article à 240 € baisse de 30 %, puis le nouveau prix augmente de 30 %. Prix final ? Vérifie

240 × 0,70 = 168 €, puis 168 × 1,30 = 218,40 €.
On ne retombe PAS sur 240 € : 0,7 × 1,3 = 0,91 : il manque 9 % (les 30 % de hausse portent sur une valeur plus petite).

📄 La fiche d'exercices du chapitre 🧮 M'entraîner en automatismes 🎯 Le QCM du chapitre