Fiche de cours Logimaths | Seconde

Fiche de cours : Notion de fonction

Une machine à transformer les nombres : images, antécédents, courbes

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I. La fonction : une machine à nombres

Image et antécédent Une fonction f associe à chaque nombre x (l'entrée) UN SEUL nombre noté f(x) (la sortie) :

f(x) est l'image de x (l'image est UNIQUE) ;
x est un antécédent de f(x) (un nombre peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun).

Écriture : f(2) = 5 se lit « l'image de 2 par f est 5 », et donc 2 est UN antécédent de 5. Le sens de lecture est toute la difficulté du chapitre.

Le nombre qui entre : 4

Change le nombre qui entre, puis lance la machine. La machine, c'est f ; le nombre qui sort, c'est f(x). Une même entrée donne toujours la même sortie : c'est ce qui fait de f une fonction.

Et dans l'autre sens ? Faire tourner la machine à l'endroit, c'est calculer une image : on remplace, on calcule, c'est fini. Faire tourner la machine à l'envers (je connais la sortie, je cherche l'entrée), c'est chercher un antécédent : cette fois il faut résoudre une équation. Et l'équation peut avoir plusieurs solutions, ou aucune : c'est toute la dissymétrie du chapitre.

🎮 Entraîne-toi : du programme à la formule

L'ordre des opérations compte : « multiplier puis ajouter » ne donne pas la même machine que « ajouter puis multiplier ».

🎮 Entraîne-toi : image ou antécédent ?

f(entrée) = sortie : la sortie est l'image, l'entrée un antécédent.

II. UNE image, mais DES antécédents

Le test de la verticale et de l'horizontale Sur la courbe d'une fonction :

toute verticale (une droite x = a) coupe la courbe au plus une fois : un nombre a une seule image ;
une horizontale (une droite y = k) peut la couper 0, 1, 2 fois ou plus : un nombre peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun.

Ce n'est pas une propriété de plus : c'est la définition même du mot « fonction », lue sur le dessin. Un tracé qu'une verticale coupe deux fois n'est pas la courbe d'une fonction.

Attrape la poignée rouge (en bas) pour déplacer la verticale, la poignée verte (à gauche) pour déplacer l'horizontale. Compte à chaque fois le nombre de points d'intersection.

🎮 Entraîne-toi : combien d'antécédents ?

Compte les solutions de l'équation f(x) = k.

III. Calculer une image, chercher un antécédent

Deux gestes opposés

Image de 4 par f(x) = 3x - 5 : on REMPLACE : f(4) = 7 : un simple calcul ;
antécédent(s) de 7 : on RÉSOUT 3x - 5 = 7 : une équation (x = 4).

Image = calcul direct ; antécédent = équation. Avec un carré, l'équation peut avoir DEUX solutions : les antécédents de 9 par x \mapsto x^2 sont 3 ET −3.

🎮 Entraîne-toi : calculer une image

Remplace x par la valeur donnée, calcule.

🎮 Entraîne-toi : trouver un antécédent

Écris l'équation f(x) = valeur et résous-la.

IV. Une fonction, quatre visages

Quatre façons de dire la même chose Une même fonction se présente sous quatre habits : un programme de calcul (en français), une formule, un tableau de valeurs, une courbe. Ce ne sont pas quatre objets : c'est un seul objet vu de quatre côtés. Un exercice donne l'un des quatre et demande d'en lire un autre : savoir passer de l'un à l'autre, c'est la moitié du chapitre.

Je choisis : 1

① Le programme de calcul

Je choisis un nombre : 1

Je le multiplie par 2 : 2

J'ajoute 1 : 3

② La formule

f(x) = 2x + 1

f(1) = 2 × 1 + 1 = 3

La formule est le programme de calcul écrit en une ligne : elle dit la même chose, plus vite.

③ Le tableau de valeurs

Le tableau ne montre que quelques entrées : entre deux colonnes, il ne dit rien.

④ La courbe

Chaque colonne du tableau devient un point (x ; f(x)).

Change la valeur choisie : les quatre panneaux bougent en même temps. C'est le signe qu'ils décrivent un seul et même objet.

🎮 Entraîne-toi : lire un tableau de valeurs

Ligne du haut = les entrées ; ligne du bas = les sorties.

V. Lire une courbe

Le va-et-vient graphique La courbe de f est l'ensemble des points (x ; f(x)) :

lire l'image de a : partir de a sur l'axe HORIZONTAL, monter à la courbe, lire sur l'axe vertical ;
lire les antécédents de k : partir de k sur l'axe VERTICAL, tracer l'horizontale, lire TOUTES les abscisses des intersections ;
résoudre f(x) = k graphiquement, c'est exactement chercher les antécédents de k.

Un point (a ; b) est sur la courbe ⟺ f(a) = b : le test d'appartenance, très fréquent en exercice.

Fais glisser le point M le long de la courbe : on descend sur l'axe des abscisses pour lire x, on va vers la gauche pour lire f(x). Puis affiche l'horizontale et promène-la : le nombre de solutions change.

🎮 Entraîne-toi : le point est-il sur la courbe ?

Calcule f(abscisse) et compare à l'ordonnée.

VI. L'ensemble de définition

Ensemble de définition L'ensemble de définition de f, noté \mathcal{D}_f, regroupe les x pour lesquels f(x) EXISTE. Deux interdits en 2nde :

diviser par zéro : f(x) = \dfrac{1}{x - 3} est définie pour x ≠ 3 ;
racine carrée d'un négatif : {g(x) = \sqrt{x - 3}} est définie pour x ≥ 3.

Sur le dessin, ce n'est pas une subtilité d'écriture : là où la fonction n'existe pas, il n'y a pas de courbe. Le tracé s'interrompt.

Ici f(x)=\dfrac{1}{x-3} et \mathcal{D}_f = \left]-\infty\,;3\right[\,\cup\,\left]3\,;+\infty\right[ : la courbe est en deux morceaux, et aucun point n'a pour abscisse 3.
Fais glisser le repère rouge sur l'axe des abscisses.

🎮 Entraîne-toi : quel ensemble de définition ?

Cherche l'interdit : un dénominateur qui s'annule, ou une racine d'un négatif.

VII. Les pièges du vocabulaire

⚠️ UNE image, DES antécédents Chaque x a exactement UNE image (sinon f n'est pas une fonction) ; mais un nombre peut avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents. Sur une courbe : toute VERTICALE coupe la courbe au plus une fois ; une HORIZONTALE peut la couper plusieurs fois.

⚠️ f(x) et f ne se confondent pas f est la fonction (la machine) ; f(x) est un NOMBRE (la sortie pour l'entrée x). Écrire « la fonction f(x) = 2x + 1 » est toléré, mais dans les raisonnements, distinguer la machine de ses sorties évite bien des confusions (surtout l'an prochain avec f′).

👆 ▶ À toi : f(x) = x² − 4. Calcule f(3), puis trouve TOUS les antécédents de 0. Vérifie

\begin{aligned}f(3) &= 9 - 4 \\ &= 5\end{aligned}
Antécédents de 0 : x^2 - 4 = 0 ⟺ {(x-2)(x+2) = 0} : 2 et −2 (deux antécédents !).

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